Сумма углов треугольника
В евклидовом пространстве сумма углов треугольника равна прямому углу (180 градусов , π радиан , двум прямым углам или полуобороту ) .Треугольник вершине имеет три угла, по одному в каждой , ограниченных парой смежных сторон .
Долгое время было неизвестно, существуют ли другие геометрии, для которых эта сумма иная. Влияние этой проблемы на математику было особенно сильным в XIX веке. В конечном итоге ответ оказался положительным: в других пространствах (геометриях) эта сумма может быть больше или меньше, но тогда она должна зависеть от треугольника. Его отличие от 180° является случаем углового дефекта и служит важным отличием для геометрических систем.
Дела [ править ]
Евклидова геометрия [ править ]
В евклидовой геометрии постулат треугольника гласит, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам . Этот постулат эквивалентен постулату параллельности . [1] При наличии остальных аксиом евклидовой геометрии следующие утверждения эквивалентны: [2]
- Постулат треугольника : сумма углов треугольника равна двум прямым углам.
- Аксиома Плейфэра : если дана прямая линия и точка, не лежащая на этой прямой, то через точку, параллельную данной прямой, можно провести ровно одну прямую линию.
- Аксиома Прокла : если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, она должна пересечь и другую. [3]
- Постулат равноудаления : параллельные линии везде равноудалены (т. е. расстояние от каждой точки одной линии до другой линии всегда одинаково).
- Свойство площади треугольника : площадь треугольника может быть сколь угодно большой.
- Свойство трех точек : Три точки лежат либо на прямой, либо на окружности .
- Теорема Пифагора : В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон. [1]
Гиперболическая геометрия [ править ]
Сумма углов гиперболического треугольника меньше 180°. Связь между угловым дефектом и площадью треугольника была впервые доказана Иоганном Генрихом Ламбертом . [4]
Можно легко увидеть, как гиперболическая геометрия нарушает аксиому Плейфера, аксиому Прокла (параллелизм, определяемый как непересечение, непересекающийся в гиперболической плоскости), постулат равноудаленности (точки, находящиеся по одну сторону от заданной прямой и равноудаленные от нее). не образуют линию) и теорему Пифагора. Круг [5] не может иметь сколь угодно малой кривизны , [6] поэтому свойство трех точек также не работает.
Сумма углов может быть сколь угодно малой (но положительной). Для идеального треугольника , обобщения гиперболических треугольников, эта сумма равна нулю.
Сферическая геометрия [ править ]
У сферического треугольника сумма углов больше 180° и может достигать 540°. В частности, сумма углов равна
- 180° × (1 + 4 ж ),
где f — доля площади сферы, заключенная в треугольник.
Обратите внимание, что сферическая геометрия не удовлетворяет некоторым аксиомам Евклида (включая постулат о параллельности ).
![[икона]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Wiki_letter_w_cropped.svg/20px-Wiki_letter_w_cropped.svg.png){kind=small} | Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( ноябрь 2013 г. ) |
Внешние углы [ править ]
Углы между соседними сторонами треугольника называются внутренними углами в евклидовой и других геометриях. внешние Также можно определить углы, а постулат Евклидова треугольника можно сформулировать как теорему о внешнем угле . Также можно рассмотреть сумму всех трех внешних углов, которая равна 360°. [7] в евклидовом случае (как и для любого выпуклого многоугольника ), меньше 360° в сферическом случае и больше 360° в гиперболическом случае.
В дифференциальной геометрии [ править ]
В дифференциальной геометрии поверхностей вопрос об угловом дефекте треугольника понимается как частный случай теоремы Гаусса-Бонне , где кривизна замкнутой кривой является не функцией, а мерой с опорой ровно в трёх точках – вершинах. треугольника.
| Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( ноябрь 2013 г. ) |
См. также [ править ]
- Евклида Элементы
- Основы геометрии
- Аксиомы Гильберта
- Четырехугольник Саккери (рассматриваемый Омаром Хайямом раньше, чем Саккери )
- Четырехугольник Ламберта
Ссылки [ править ]
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Эрик В. Вайсштейн (2003). CRC краткая энциклопедия математики (2-е изд.). п. 2147. ИСБН 1-58488-347-2 .
Постулат параллельности эквивалентен постулату равноудаления , аксиоме Плейфэра , аксиоме Прокла , постулату треугольника и теореме Пифагора .
- ^ Кейт Дж. Девлин (2000). Язык математики: делаем невидимое видимым . Макмиллан. п. 161. ИСБН 0-8050-7254-3 .
- ^ По сути, транзитивность параллелизма.
- ^ Рэтклифф, Джон (2006), Основы гиперболических многообразий , Тексты для аспирантов по математике, том. 149, Спрингер, с. 99, ISBN 9780387331973 То ,
что площадь гиперболического треугольника пропорциональна дефекту его угла, впервые появилось в монографии Ламберта «Теория параллелизма» , которая была опубликована посмертно в 1786 году.
- ^ Определяется как набор точек на фиксированном расстоянии от его центра.
- ^ Определено в дифференциально-геометрическом смысле.
- ^ Судя по определению внешнего угла, он складывается в прямой угол с внутренними углами. Итак, сумма трех внешних углов, добавленная к сумме трех внутренних углов, всегда дает три прямых угла.