Теорема Гаусса – Бонне

«Гаусс – Бонне» перенаправляется сюда. Не путать с гравитацией Гаусса – Бонне .

Пример сложной области, к которой может применяться теорема Гаусса – Бонне. Показывает знак геодезической кривизны.

В математической области дифференциальной геометрии теорема Гаусса -Бонне (или формула Гаусса-Бонне ) является фундаментальной формулой, которая связывает кривизну поверхности с ее основной топологией .

В простейшем случае, когда треугольник лежит на плоскости , сумма его углов равна 180 градусам. Теорема Гаусса-Бонне распространяет это на более сложные формы и искривленные поверхности, соединяя локальную и глобальную геометрии.

Теорема названа в честь Карла Фридриха Гаусса , который разработал версию, но так и не опубликовал ее, и Пьера Оссиана Бонне , опубликовавшего частный случай в 1848 году.

Заявление

Предположим, что M — компактное двумерное риманово многообразие с ∂M краем . Пусть K — гауссова кривизна M k , пусть _g — кривизна ∂ и M. геодезическая Затем

$\int _{M}K\,dA+\int _{\partial M}k_{g}\,ds=2\pi \chi (M),\,$

где dA — элемент площади поверхности, а ds — элемент линии вдоль границы M . Здесь χ ( M ) — характеристика M. ​ эйлерова

Если граница ∂ M кусочно -гладкая интерпретируем , то интеграл ∫ _{∂ M} k _g ds как сумму соответствующих интегралов по гладким участкам границы плюс сумму углов поворота гладких участков на углах границы.

Во многих стандартных доказательствах используется теорема о повороте касательных, которая грубо утверждает, что число витков жордановой кривой равно точно ±1.

Простой пример

Предположим, М вырезанное из сферы радиуса R. — северное полушарие , Его эйлерова характеристика равна 1. В левой части теоремы имеем $K=1/R^{2}$ и $k_{g}=0$, потому что граница — это экватор, а экватор — это геодезическая сферы. Затем $\int _{M}KdA=2\pi$.

С другой стороны, предположим, что мы сплющили полушарие, превратив его в диск. Это преобразование является гомеоморфизмом, поэтому эйлерова характеристика по-прежнему равна 1. Однако в левой части теоремы теперь имеем $K=0$ и $k_{g}=1/R$, потому что окружность не является геодезической плоскости. Затем $\int _{\partial M}k_{g}ds=2\pi$.

Наконец, возьмем сферический октант, также гомеоморфный предыдущим случаям. Затем $\int _{M}KdA={\frac {1}{R^{2}}}{\frac {4\pi R^{2}}{8}}={\frac {\pi }{2}}$. Сейчас $k_{g}=0$ почти везде вдоль границы, представляющей собой геодезический треугольник. Но у нас есть три прямых угла, поэтому $\int _{\partial M}k_{g}ds={\frac {3\pi }{2}}$.

и

Теорема применима, в частности, к компактным поверхностям без края, и в этом случае интеграл

$\int _{\partial M}k_{g}\,ds$

можно опустить. В нем говорится, что общая гауссова кривизна такой замкнутой поверхности равна 2 π- кратной эйлеровой характеристике поверхности. Обратите внимание, что для ориентируемых компактных поверхностей без края эйлерова характеристика равна 2 − 2 g , где g — род поверхности: Любая ориентируемая компактная поверхность без края топологически эквивалентна сфере с некоторыми прикрепленными ручками, а g подсчитывает количество ручки.

Если изогнуть и деформировать поверхность M , ее эйлерова характеристика, будучи топологическим инвариантом, не изменится, а кривизна в некоторых точках изменится. В теореме, что несколько удивительно, утверждается, что общий интеграл всех кривизн останется неизменным, независимо от того, как осуществляется деформация. Так, например, если у вас есть сфера с «вмятиной», то ее общая кривизна равна 4 π (эйлерова характеристика сферы равна 2), независимо от того, насколько велика или глубока вмятина.

Плотность поверхности имеет решающее значение. Рассмотрим, например, открытый единичный диск , некомпактную риманову поверхность без края, с кривизной 0 и с эйлеровой характеристикой 1: формула Гаусса – Бонне не работает. Однако это справедливо для компактного замкнутого единичного круга, который также имеет эйлерову характеристику 1 из-за добавленного граничного интеграла со значением 2 π .

В качестве приложения тор имеет эйлерову характеристику 0, поэтому его общая кривизна также должна быть равна нулю. Если тор несет обычную риманову метрику из-за его вложения в R ³ , то внутренняя часть имеет отрицательную гауссову кривизну, внешняя часть имеет положительную гауссову кривизну, а полная кривизна действительно равна 0. Также можно построить тор, идентифицируя противоположные стороны квадрата, и в этом случае риманова метрика на торе равна плоский и имеет постоянную кривизну 0, что снова приводит к полной кривизне 0. Невозможно указать риманову метрику на торе со всюду положительной или всюду отрицательной гауссовой кривизной.

Для треугольников

Иногда формулу Гаусса – Бонне формулируют как

$\int _{T}K=2\pi -\sum \alpha -\int _{\partial T}\kappa _{g},$

где Т — геодезический треугольник . Здесь мы определяем «треугольник» на М как односвязную область, граница которой состоит из трех геодезических . Затем мы можем применить GB к поверхности T, образованной внутренней частью этого треугольника и кусочной границей треугольника.

Геодезическая кривизна граничащих геодезических равна 0, а эйлерова характеристика T равна 1.

Следовательно, сумма углов поворота геодезического треугольника равна 2 π минус полная кривизна внутри треугольника. Поскольку угол поворота в углу равен π минус внутренний угол, мы можем перефразировать это следующим образом:

Сумма внутренних углов геодезического треугольника равна π плюс полная кривизна, заключенная в треугольнике: $\sum (\pi -\alpha )=\pi +\int _{T}K.$

В случае плоскости (где гауссова кривизна равна 0, а геодезические — прямые) мы восстанавливаем знакомую формулу суммы углов обыкновенного треугольника. На стандартной сфере, где кривизна всюду равна 1, мы видим, что сумма углов геодезических треугольников всегда больше π .

Особые случаи

Ряд более ранних результатов в сферической геометрии и гиперболической геометрии, открытых за предыдущие столетия, были отнесены к частным случаям Гаусса – Бонне.

Треугольники

В сферической тригонометрии и гиперболической тригонометрии площадь треугольника пропорциональна величине, на которую его внутренние углы не составляют в сумме 180°, или, что эквивалентно, (обратной) величине, на которую его внешние углы не составляют в сумме 360°. .

площадь сферического треугольника пропорциональна его избытку По теореме Жирара - сумме, на которую его внутренние углы составляют более 180 °, что равно сумме, на которую сумма его внешних углов составляет менее 360 °.

Площадь гиперболического треугольника , наоборот, пропорциональна его дефекту , как установил Иоганн Генрих Ламберт .

Многогранники

Основная статья: Теорема Декарта о полном угловом дефекте

Теорема Декарта о полном угловом дефекте является многогранника многогранным аналогом:он утверждает, что сумма дефектов во всех вершинах многогранника, гомеоморфного сфере , равна 4 π . В более общем смысле, если многогранник имеет эйлерову характеристику χ = 2 − 2 g (где g — род, что означает «количество дырок»), то сумма дефекта равна 2 πχ . Это частный случай Гаусса – Бонне, когда кривизна сосредоточена в дискретных точках (вершинах).

Рассматривая кривизну как меру , а не как функцию, теорема Декарта представляет собой теорему Гаусса-Бонне, где кривизна является дискретной мерой , а Гаусса-Бонне для мер обобщает как Гаусса-Бонне для гладких многообразий, так и теорему Декарта.

Комбинаторный аналог

Существует несколько комбинаторных аналогов теоремы Гаусса – Бонне. Мы констатируем следующее. Пусть M — конечное двумерное псевдомногообразие . Пусть χ ( v ) обозначает количество треугольников, содержащих вершину v . Затем

$\sum _{v\,\in \,\operatorname {int} M}{\bigl (}6-\chi (v){\bigr )}+\sum _{v\,\in \,\partial M}{\bigl (}3-\chi (v){\bigr )}=6\chi (M),\$

где первая сумма распространяется по вершинам внутри M , вторая сумма распространяется по граничным вершинам, а χ ( M ) является эйлеровой характеристикой M .

Аналогичные формулы можно получить для двумерного псевдомногообразия, если заменить треугольники высшими многоугольниками. Для многоугольников из n вершин мы должны заменить 3 и 6 в приведенной выше формуле на п / п - 2 и 2 n / n − 2 соответственно.Например, для четырехугольников мы должны заменить 3 и 6 в приведенной выше формуле на 2 и 4 соответственно. Точнее, если M — замкнутое двумерное цифровое многообразие , то род оказывается

$g=1+{\frac {M_{5}+2M_{6}-M_{3}}{8}},$

где Mi _i указывает количество точек поверхности, каждая из которых имеет смежных точек на поверхности. Это простейшая формула теоремы Гаусса–Бонне в трехмерном цифровом пространстве.

Обобщения

Теорема Черна (по Шиинг-Шену Черну, 1945 г.) представляет собой 2 n -мерное обобщение GB (см. также гомоморфизм Черна – Вейля ).

Теорему Римана-Роха также можно рассматривать как обобщение ГБ на комплексные многообразия .

Далеко идущим обобщением, включающим все вышеупомянутые теоремы, является теорема об индексе Атьи-Зингера .

Обобщением на 2-многообразия, которые не обязательно должны быть компактными, является неравенство Кона-Фоссена .

В популярной культуре

Скульптура из плоских материалов по теореме Гаусса – Бонне.

В Грега Игана романе «Диаспора » два персонажа обсуждают вывод этой теоремы.

Теорему можно использовать непосредственно как систему управления скульптурой — например, в работе Эдмунда Харриса в коллекции Honors College Университета Арканзаса .

См. также

• Chern–Gauss–Bonnet theorem
• Теорема Атьи – Зингера об индексе

Ссылки

Дальнейшее чтение

• Гринфельд, Павел (2014). Введение в тензорный анализ и исчисление движущихся поверхностей . Спрингер. ISBN  978-1-4614-7866-9 .
• «Теорема Гаусса – Бонне» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Внешние ссылки

• Теорема Гаусса – Бонне в Wolfram Mathworld