Неравенство Кона-Фоссена

В дифференциальной геометрии неравенство Кона-Фоссена , названное в честь Стефана Кона-Фоссена , связывает интеграл гауссовой кривизны некомпактной поверхности с эйлеровой характеристикой . Это похоже на теорему Гаусса–Бонне для компактной поверхности.

внутри Расходящийся путь риманова многообразия — это гладкая кривая в многообразии, не содержащаяся ни в одном компактном подмножестве многообразия. — Полное многообразие это многообразие, в котором каждый расходящийся путь имеет бесконечную длину относительно римановой метрики на многообразии. Неравенство Кона-Воссена утверждает, что в каждом полном римановом 2-многообразии S с конечной полной кривизной и конечной эйлеровой характеристикой имеем

$\iint _{S}K\,dA\leq 2\pi \chi (S),$

где K — гауссова кривизна, dA — элемент площади, а χ — эйлерова характеристика.

Примеры

• Если S — компактная поверхность (без края), то неравенство представляет собой равенство по обычной теореме Гаусса–Бонне для компактных многообразий.
• Если S имеет границу, то теорема Гаусса – Бонне дает

$\iint _{S}K\,dA=2\pi \chi (S)-\int _{\partial S}k_{g}\,ds$

где $k_{g}$ - геодезическая кривизна границы, а ее интеграл - полная кривизна , которая обязательно положительна для граничной кривой, и неравенство является строгим. (Аналогичный результат верен, когда граница S кусочно гладкая.)

• Если S — плоскость R ² , то кривизна S равна нулю и χ ( S ) = 1, поэтому неравенство строгое: 0 < 2 π .

Примечания и ссылки

• Кон-Воссен, Стефан (1935). «Кратчайшие пути и полная кривизна поверхностей» . Математическая композиция . 2 :69–13. ЖФМ   61.0789.01 . МР1556908   . Например,   0011.22501 .
• Хубер, Альфред (1957). «О субгармонических функциях и дифференциальной геометрии в целом» . Гельветический математический комментарий . 32 (1): 13–72. дои : 10.1007/BF02564570 . hdl : 2027/mdp.39015095254580 . МР   0094452 . Збл   0080.15001 .
• Ли, Питер (2000). «Теория кривизны и функций на римановых многообразиях». В Яу, С.-Т. (ред.). Обзоры по дифференциальной геометрии . Том. 7. Сомервилл, Массачусетс: Международная пресса. стр. 375–432. дои : 10.4310/SDG.2002.v7.n1.a13 . ISBN  1-57146-069-1 . МР   1919432 . Збл   1066.53084 .
• Сиохама, Кацухиро; Сиоя, Такаши; Танака, Минору (2003). Геометрия полной кривизны на полностью открытых поверхностях . Кембриджские трактаты по математике. Том. 159. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/CBO9780511543159 . ISBN  0-521-45054-3 . МР   2028047 . Збл   1086.53056 .

Внешние ссылки

• Теорема Гаусса-Бонне в Энциклопедии математики , включая краткое описание неравенства Кона-Фоссена.