Геодезическая кривизна

В римановой геометрии геодезическая кривизна $k_{g}$ кривой $\gamma$ измеряет, насколько далека кривая от геодезической . Например, для 1D-кривых на 2D-поверхности, встроенной в 3D-пространство , это кривизна кривой, проецируемая на касательную плоскость поверхности. В более общем смысле, в данном многообразии ${\bar {M}}$ , кривизна — это обычная кривизна геодезическая $\gamma$ (см. ниже). Однако, когда кривая $\gamma$ ограничено тем, что лежит на подмногообразии $M$ из ${\bar {M}}$ (например, для кривых на поверхностях ), геодезическая кривизна относится к кривизне $\gamma$ в $M$ и она в целом отличается от кривизны $\gamma$ в окружающем коллекторе ${\bar {M}}$ . (Окружающая) кривизна $k$ из $\gamma$ зависит от двух факторов: кривизны подмногообразия $M$ в направлении $\gamma$ ( нормальная кривизна $k_{n}$ ), которое зависит только от направления кривой и кривизны $\gamma$ видел в $M$ (геодезическая кривизна $k_{g}$ ), что является количеством второго заказа. Связь между ними $k={\sqrt {k_{g}^{2}+k_{n}^{2}}}$ . В частности, геодезия на $M$ имеют нулевую геодезическую кривизну (они «прямые»), так что $k=k_{n}$ , что объясняет, почему они кажутся искривленными в окружающем пространстве, где бы ни было подмногообразие.

Определение

Рассмотрим кривую $\gamma$ в многообразии ${\bar {M}}$ , параметризованный длиной дуги , с единичным касательным вектором $T=d\gamma /ds$ . Его кривизна является нормой производной ковариантной $T$ : $k=\|DT/ds\|$ . Если $\gamma$ лежит на $M$ , геодезическая кривизна является нормой проекции ковариантной производной $DT/ds$ на касательном пространстве к подмногообразию. И наоборот, нормальная кривизна является нормой проекции $DT/ds$ на нормальном расслоении на подмногообразие в рассматриваемой точке.

Если объемлющее многообразие является евклидовым пространством $\mathbb {R} ^{n}$ , то ковариантная производная $DT/ds$ это обычная производная $dT/ds$ .

Если $\gamma$ является единичной скоростью, т.е. $\|\gamma '(s)\|=1$ , и $N$ обозначает единичное нормальное поле $M$ вдоль $\gamma$ , геодезическая кривизна определяется выражением

k_{g}=\gamma ''(s)\cdot {\Big (}N(\gamma (s))\times \gamma '(s){\Big )}=\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}\gamma (s)}{\mathrm {d} s^{2}}},N(\gamma (s)),{\frac {\mathrm {d} \gamma (s)}{\mathrm {d} s}}\right]\,,

где квадратные скобки обозначают скалярное тройное произведение .

Пример

Позволять $M$ быть единичной сферой $S^{2}$ в трехмерном евклидовом пространстве. Нормальная кривизна $S^{2}$ тождественно 1, независимо от рассматриваемого направления. Большие круги имеют кривизну $k=1$ , поэтому они имеют нулевую геодезическую кривизну и, следовательно, являются геодезическими. Меньшие круги радиуса $r$ будет иметь кривизну $1/r$ и геодезическая кривизна $k_{g}={\frac {\sqrt {1-r^{2}}}{r}}$ .

Некоторые результаты, связанные с геодезической кривизной

Геодезическая кривизна - это не что иное, как обычная кривизна кривой, вычисляемая внутри подмногообразия. $M$ . Это не зависит от способа подмногообразия $M$ сидит в ${\bar {M}}$ .
Геодезика $M$ имеют нулевую геодезическую кривизну, что эквивалентно тому, что $DT/ds$ ортогонален касательному пространству к $M$ .
С другой стороны, нормальная кривизна сильно зависит от того, как подмногообразие лежит в окружающем пространстве, но незначительно от кривой: $k_{n}$ зависит только от точки подмногообразия и направления $T$ , но не на $DT/ds$ .
В общей римановой геометрии производная вычисляется с использованием связи Леви-Чивита. ${\bar {\nabla }}$ окружающего многообразия: $DT/ds={\bar {\nabla }}_{T}T$ . Оно распадается на касательную часть и нормальную часть к подмногообразию: ${\bar {\nabla }}_{T}T=\nabla _{T}T+({\bar {\nabla }}_{T}T)^{\perp }$ . Касательная часть – это обычная производная $\nabla _{T}T$ в $M$ (это частный случай уравнения Гаусса в уравнениях Гаусса-Кодацци ), а нормальная часть равна $\mathrm {I\!I} (T,T)$ , где $\mathrm {I\!I}$ обозначает вторую фундаментальную форму .
Теорема Гаусса –Бонне .