геодезический

Эта статья о геодезике в целом. Чтобы узнать о геодезике в общей теории относительности, см. Геодезика (общая теория относительности) . Для изучения формы Земли см. Геодезия . Чтобы узнать о применении на Земле, см. Геодезические исследования Земли . Чтобы узнать о других значениях, см. Геодезические (значения) .

Квартика Клейна с 28 геодезическими (отмечена 7 цветами и 4 узорами)

В геометрии геодезическая d ( / ˌ dʒ iː . ə ˈ d ɛ s ɪ k , - oʊ , - ˈ - iː s ɪ k , - z ɪ k / ) кривая , представляющая в некотором смысле кратчайший путь ( дуга ) между двумя точками на поверхности или, в более общем смысле, в римановом многообразии . Этот термин также имеет значение в любом дифференцируемом многообразии со связностью . Это обобщение понятия « прямая линия ».

Существительное «геодезический» и прилагательное « геодезический» происходят от геодезии , науки об измерении размера и формы Земли , хотя многие из основных принципов могут быть применены к любой эллипсоидной геометрии. Земли В первоначальном смысле геодезическая представляла собой кратчайший путь между двумя точками на поверхности . Для сферической Земли это сегмент большого круга (см. также Расстояние по большому кругу ). С тех пор этот термин был распространен на более абстрактные математические пространства; например, в теории графов можно рассматривать геодезическую между двумя вершинами /узлами графа .

В римановом многообразии или подмногообразии геодезические характеризуются свойством обращаться в нуль геодезической кривизны . В более общем смысле, при наличии аффинной связности геодезическая определяется как кривая, касательные векторы которой остаются параллельными, если они переносятся вдоль нее. Применение этого к связности Леви-Чивита римановой метрики восстанавливает предыдущее понятие.

Геодезические имеют особое значение в общей теории относительности . Времяподобные геодезические в общей теории относительности описывают движение свободно падающих пробных частиц .

Введение

Предполагается, что локально кратчайший путь между двумя заданными точками в искривленном пространстве чтобы быть римановым многообразием используя уравнение для длины кривой определить , (функция f от открытого интервала R , можно до пространства), а затем минимизируя эту длину между точками с помощью вариационного исчисления . Это имеет некоторые незначительные технические проблемы, поскольку существует бесконечномерное пространство различных способов параметризации кратчайшего пути. Проще ограничить набор кривых теми, которые параметризованы «с постоянной скоростью» 1, то есть расстояние от f ( s ) до f ( t ) вдоль кривой равно | с - т |. Эквивалентно можно использовать другую величину, называемую энергией кривой; минимизация энергии приводит к тем же уравнениям для геодезической (здесь «постоянная скорость» является следствием минимизации). Интуитивно можно понять вторую формулировку, заметив, что эластичная лента, натянутая между двумя точками, сожмет свою ширину и тем самым минимизирует свою энергию. Полученная форма полосы представляет собой геодезическую.

Возможно, что несколько разных кривых между двумя точками минимизируют расстояние, как в случае двух диаметрально противоположных точек на сфере. В таком случае любая из этих кривых является геодезической.

Непрерывный отрезок геодезической снова является геодезической.

В общем, геодезические — это не то же самое, что «кратчайшие кривые» между двумя точками, хотя эти две концепции тесно связаны. Разница в том, что геодезические являются лишь локально кратчайшим расстоянием между точками и параметризуются с «постоянной скоростью». Прохождение «длинного круга» по большому кругу между двумя точками сферы является геодезическим, но не кратчайшим путем между точками. Карта $t\to t^{2}$ от единичного интервала на прямой вещественной оси до самой себя дает кратчайший путь между 0 и 1, но не является геодезической, поскольку скорость соответствующего движения точки не является постоянной.

Геодезические обычно встречаются при изучении римановой геометрии и, в более общем плане, метрической геометрии . В общей теории относительности геодезические в пространстве-времени описывают движение точечных частиц только под действием силы тяжести. В частности, путь, пройденный падающим камнем, орбитальным спутником или форма планетарной орбиты — все это геодезические. в искривленном пространстве-времени. В более общем плане тема субримановой геометрии касается путей, по которым могут двигаться объекты, когда они несвободны и их движение ограничено различными способами.

В этой статье представлен математический формализм, используемый для определения, нахождения и доказательства существования геодезических в случае римановых многообразий . В статье « Связь Леви-Чивита» обсуждается более общий случай псевдориманова многообразия , а в геодезической (общая теория относительности) более подробно обсуждается частный случай общей теории относительности.

Примеры

Геодезическая на трехосном эллипсоиде .

Если насекомое поместить на поверхность и постоянно идти «вперед», оно по определению проведет геодезическую линию.

Наиболее знакомыми примерами являются прямые линии в евклидовой геометрии . На сфере изображениями геодезических являются большие круги . Кратчайший путь от точки А к точке В на сфере определяется более короткой дугой большого круга, проходящей через А и В. точки Если A и B — противоположные точки существует бесконечно много , то между ними кратчайших путей. Геодезические на эллипсоиде ведут себя сложнее, чем на сфере; в частности, они вообще не замкнуты (см. рисунок).

Треугольники

См. Также: Теорема Гаусса – Бонне § Для треугольников и теорема Топоногова.

Геодезический треугольник на сфере.

Геодезический треугольник образуется геодезическими, соединяющими каждую пару из трех точек на данной поверхности. На сфере геодезические представляют собой большие дуги окружностей, образующие сферический треугольник .

Геодезические треугольники в пространствах положительной (вверху), отрицательной (средней) и нулевой (внизу) кривизны.

Метрическая геометрия

В метрической геометрии геодезическая — это кривая, которая всюду локально является минимизатором расстояния . Точнее, кривая γ : I → M из интервала I действительных чисел в метрическое пространство M является геодезической , если существует константа v ≥ 0 такая, что для любого t ∈ I существует окрестность J точки t в I такая, что любых t1 _для , t2 _имеем ∈ J что

$d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=v\left|t_{1}-t_{2}\right|.$

Это обобщает понятие геодезической для римановых многообразий. Однако в метрической геометрии рассматриваемая геодезическая часто снабжена естественной параметризацией , т.е. в приведенном выше тождестве v = 1 и

$d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=\left|t_{1}-t_{2}\right|.$

Если последнее равенство выполняется для всех t ₁ , t ₂ ∈ I , геодезическая называется минимизирующей геодезической или кратчайшим путем .

Вообще, в метрическом пространстве не может быть геодезических, кроме постоянных кривых. С другой стороны, любые две точки в метрическом пространстве длины соединяются минимизирующей последовательностью спрямляемых путей , хотя эта минимизирующая последовательность не обязательно должна сходиться к геодезической.

Риманова геометрия

В римановом многообразии M с метрическим тензором g длина L непрерывно дифференцируемой кривой γ: [ a , b ] → M определяется формулой

$L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt.$

Расстояние d ( p , q ) между двумя точками p и q из M определяется как нижняя грань длины, взятой по всем непрерывным, кусочно непрерывно дифференцируемым кривым γ: [ a , b ] → M таким, что γ( a ) = p и γ( б ) знак равно q . В римановой геометрии все геодезические являются локальными путями, минимизирующими расстояние, но обратное неверно. Фактически, геодезическими являются только пути, которые одновременно минимизируют локальное расстояние и параметризуются пропорционально длине дуги. Другой эквивалентный способ определения геодезических на римановом многообразии - это определить их как минимумы следующего функционала действия или энергии:

$E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt.$

Все минимумы E также являются минимумами L , но L представляет собой большее множество, поскольку пути, являющиеся минимумами L, могут быть произвольно перепараметризованы (без изменения их длины), а минимумы E — нет.Для кусочного $C^{1}$ кривая (в более общем смысле, $W^{1,2}$ кривая), неравенство Коши–Шварца дает

$L(\gamma )^{2}\leq 2(b-a)E(\gamma )$

с равенством тогда и только тогда, когда $g(\gamma ',\gamma ')$ равен константе ae; путь следует проходить с постоянной скоростью. Бывает, что минимизаторы $E(\gamma )$ также свести к минимуму $L(\gamma )$, поскольку они оказываются аффинно параметризованными, а неравенство представляет собой равенство. Полезность этого подхода заключается в том, что проблема поиска минимизаторов E является более устойчивой вариационной проблемой. Действительно, E является «выпуклой функцией» $\gamma$, так что внутри каждого изотопического класса «разумных функций» следует ожидать существования, единственности и регулярности минимизаторов. Напротив, «минимизаторы» функционала $L(\gamma )$ обычно не очень регулярны, поскольку допускается произвольная перепараметризация.

Тогда уравнения движения Эйлера –Лагранжа для функционала E задаются в локальных координатах выражением

${\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0,$

где $\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }$ – символы Кристоффеля метрики. Это уравнение геодезических , обсуждаемое ниже .

Вариационное исчисление

методы классического вариационного исчисления можно применить Для исследования функционала энергии E . Первая вариация энергии определяется в местных координатах выражением

$\delta E(\gamma )(\varphi )=\left.{\frac {\partial }{\partial t}}\right|_{t=0}E(\gamma +t\varphi ).$

Критическими точками первого варианта являются именно геодезические. Второй вариант определяется

$\delta ^{2}E(\gamma )(\varphi ,\psi )=\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\,\partial t}}\right|_{s=t=0}E(\gamma +t\varphi +s\psi ).$

В соответствующем смысле нули второй вариации вдоль геодезической γ возникают вдоль полей Якоби . Таким образом, поля Якоби рассматриваются как вариации геодезических.

Применяя вариационные методы классической механики , можно также рассматривать геодезические как гамильтоновы потоки . Они являются решениями связанных уравнений Гамильтона с (псевдо)римановой метрикой, взятой в качестве гамильтониана .

Аффинная геодезия

Смотрите также: Геодезика в общей теории относительности.

Геодезическая параллельный на гладком многообразии M с аффинной связностью ∇ определяется как кривая γ( t ) такая, что транспорт вдоль кривой сохраняет касательный вектор к кривой, поэтому

$\nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0$ ( 1 )

в каждой точке кривой, где ${\dot {\gamma }}$ является производной по $t$. Точнее, чтобы определить ковариантную производную ${\dot {\gamma }}$ необходимо сначала продлить ${\dot {\gamma }}$ к непрерывно дифференцируемому векторному полю в открытом множестве . Однако результирующее значение ( 1 ) не зависит от выбора расширения.

Используя локальные координаты на M , мы можем записать уравнение геодезических (используя соглашение о суммировании ) как

${\frac {d^{2}\gamma ^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {d\gamma ^{\mu }}{dt}}{\frac {d\gamma ^{\nu }}{dt}}=0\ ,$

где $\gamma ^{\mu }=x^{\mu }\circ \gamma (t)$ – координаты кривой γ( t ) и $\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }$ — символы Кристоффеля связности ∇. Это обыкновенное дифференциальное уравнение для координат. Оно имеет единственное решение при заданном начальном положении и начальной скорости. Поэтому с точки зрения классической механики геодезические можно рассматривать как траектории свободных частиц в многообразии. Действительно, уравнение $\nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=0$ означает, что вектор ускорения кривой не имеет составляющих в направлении поверхности (и, следовательно, он перпендикулярен касательной плоскости поверхности в каждой точке кривой). Итак, движение полностью определяется изгибом поверхности. Это также идея общей теории относительности, где частицы движутся по геодезическим линиям, а изгиб вызывается гравитацией.

Существование и уникальность

Теорема локального существования и единственности геодезических утверждает, что геодезические на гладком многообразии с аффинной связностью существуют и уникальны. Точнее:

Для любой точки p в M и для любого вектора V в T _p M ( касательное пространство к M в точке p ) существует единственная геодезическая $\gamma \,$ : I → M такой, что

$\gamma (0)=p\,$ и

${\dot {\gamma }}(0)=V,$

где I — максимальный открытый интервал в R, содержащий 0.

Доказательство этой теоремы следует из теории обыкновенных дифференциальных уравнений , если отметить, что уравнение геодезических является ОДУ второго порядка. Существование и единственность тогда следуют из теоремы Пикара–Линделёфа для решений ОДУ с заданными начальными условиями. γ плавно зависит как от p, так и от V .

А вообще у меня может не весь R как например для открытого диска в R ² . Любое γ распространяется на все ℝ тогда и только тогда, когда M полно геодезически .

Геодезический поток

Геодезический поток — это локальное R - действие на касательном расслоении TM многообразия M, определяемое следующим образом

$G^{t}(V)={\dot {\gamma }}_{V}(t)$

где t ∈ R , V ∈ TM и $\gamma _{V}$ обозначает геодезическую с исходными данными ${\dot {\gamma }}_{V}(0)=V$. Таким образом, $G^{t}(V)=\exp(tV)$ — экспоненциальное отображение вектора tV . Замкнутой орбите геодезического потока соответствует замкнутая геодезическая на M .

На (псевдо)римановом многообразии геодезический поток отождествляется с гамильтоновым потоком на кокасательном расслоении. Гамильтониан канонической тогда задается обратной (псевдо)римановой метрикой, вычисляемой по одной форме . В частности, поток сохраняет (псевдо)риманову метрику $g$, то есть

$g(G^{t}(V),G^{t}(V))=g(V,V).\,$

В частности, когда V является единичным вектором, $\gamma _{V}$ остается единичной скоростью на всем протяжении, поэтому геодезический поток касается единичного касательного пучка . Из теоремы Лиувилля следует инвариантность кинематической меры на единичном касательном расслоении.

Геодезический спрей

Дополнительная информация: Спрей (математика) § Геодезический.

Геодезический поток определяет семейство кривых в касательном расслоении . Производные этих кривых определяют векторное поле на всем пространстве касательного расслоения, известное как геодезический спрей .

Точнее, аффинная связность приводит к расщеплению двойного касательного расслоения TT ​​M на горизонтальные и вертикальные расслоения :

$TTM=H\oplus V.$

Геодезический спрей — это уникальное горизонтальное векторное поле W, удовлетворяющее

$\pi _{*}W_{v}=v\,$

в каждой точке v ∈ TM ; здесь π _∗ : TT M → TM обозначает движение вперед (дифференциал) вдоль проекции π : TM → M , связанной с касательным расслоением.

В более общем смысле та же конструкция позволяет построить векторное поле для любой связности Эресмана на касательном расслоении. Чтобы результирующее векторное поле было спреем (на удаленном касательном расслоении TM \ {0}), достаточно, чтобы связность была эквивариантной относительно положительных масштабов: она не обязательно должна быть линейной. То есть (см. связь Эресмана #Векторные расслоения и ковариантные производные ) достаточно, чтобы горизонтальное распределение удовлетворяло

$H_{\lambda X}=d(S_{\lambda })_{X}H_{X}\,$

для каждого X ∈ TM \ {0} и λ > 0. Здесь d ( S _λ ) — движение вперёд вдоль скалярной гомотетии $S_{\lambda }:X\mapsto \lambda X.$ Частным случаем возникающей таким образом нелинейной связности является связность, связанная с финслеровым многообразием .

Аффинная и проективная геодезика

Уравнение ( 1 ) инвариантно относительно аффинных перепараметризаций; то есть параметризации формы

$t\mapsto at+b$

где a и b — постоянные действительные числа. Таким образом, помимо указания определенного класса вложенных кривых, уравнение геодезических также определяет предпочтительный класс параметризаций каждой из кривых. Соответственно, решения ( 1 ) называются геодезическими с аффинным параметром .

Аффинная связность определяется своим семейством аффинно параметризованных геодезических с точностью до кручения ( Спивак 1999 , глава 6, приложение I). Само кручение фактически не влияет на семейство геодезических, поскольку уравнение геодезических зависит только от симметричной части связности. Точнее, если $\nabla ,{\bar {\nabla }}$ две связи такие, что разностный тензор

$D(X,Y)=\nabla _{X}Y-{\bar {\nabla }}_{X}Y$

кососимметричен то , $\nabla$ и ${\bar {\nabla }}$ имеют одинаковые геодезические и одинаковые аффинные параметризации. Кроме того, существует единственная связь, имеющая те же геодезические, что и $\nabla$, но с исчезающим кручением.

Геодезические без определенной параметризации описываются проективной связностью .

Вычислительные методы

Эффективные средства решения минимальной геодезической задачи на поверхностях были предложены Митчеллом. Киммел, Кран, и другие.

Тест ленты

Ленточный «тест» — это способ найти геодезическую на физической поверхности. Идея состоит в том, чтобы как можно плотнее разместить кусочек бумаги вокруг прямой линии (ленты) на изогнутой поверхности, не растягивая и не сжимая ленту (не изменяя ее внутреннюю геометрию).

Например, если ленту намотать кольцом на конус, лента не будет лежать на поверхности конуса, а будет торчать, так что круг не будет геодезической на конусе. Если ленту настроить так, чтобы все ее части касались поверхности конуса, это будет приближение к геодезической.

Математически ленточный тест можно сформулировать как поиск отображения $f:N(\ell )\to S$ района ​ $N$ линии $\ell$ в плоскости на поверхность $S$ так что отображение $f$ "не меняет расстояния вокруг $\ell$ намного»; то есть на расстоянии $\varepsilon$ от $l$ у нас есть $g_{N}-f^{*}(g_{S})=O(\varepsilon ^{2})$ где $g_{N}$ и $g_{S}$ являются показателями ​ $N$ и $S$.

Приложения

Геодезические служат основой для расчета:

• геодезические планеры; см. геодезический планер или геодезический планер
• геодезические конструкции – например, геодезические купола
• горизонтальные расстояния на Земле или вблизи нее; см. геодезию Земли
• отображение изображений на поверхностях для рендеринга; см. УФ-картирование
• робота планирование движения (например, при покраске деталей автомобиля); см. задачу о кратчайшем пути
• коррекция геодезического кратчайшего пути (GSP) при реконструкции поверхности Пуассона (например, в цифровой стоматологии ); без реконструкции GSP часто приводит к самопересечениям внутри поверхности

См. также

• Введение в математику общей теории относительности – нетехническое введение в математику общей теории относительности. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Отношение Клеро - Формула классической дифференциальной геометрии. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Дифференцируемая кривая - Исследование кривых с дифференциальной точки зрения.
• Дифференциальная геометрия поверхностей
• Геодезический круг
• Теорема Хопфа – Ринова - дает эквивалентные утверждения о геодезической полноте римановых многообразий.
• Внутренняя метрика - концепция геометрии / топологии.
• Изотропная линия
• Поле Якоби
• Теория Морса - анализирует топологию многообразия путем изучения дифференцируемых функций на этом многообразии.
• Поверхность Золля - поверхность, гомеоморфная сфере.
• Задача о пауке и мухе - Задача рекреационной геодезии

Ссылки

• Спивак, Майкл (1999), Всеобъемлющее введение в дифференциальную геометрию (Том 2) , Хьюстон, Техас: Опубликуй или погибни, ISBN  978-0-914098-71-3

Дальнейшее чтение

• Адлер, Рональд; Базен, Морис; Шиффер, Менахем (1975), Введение в общую теорию относительности (2-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN.  978-0-07-000423-8 . См. главу 2 .
• Авраам, Ральф Х .; Марсден, Джеррольд Э. (1978), Основы механики , Лондон: Бенджамин-Каммингс, ISBN  978-0-8053-0102-1 . См. раздел 2.7 .
• Йост, Юрген (2002), Риманова геометрия и геометрический анализ , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-42627-1 . См. раздел 1.4 .
• Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , том. 1 (Новое издание), Wiley-Interscience, ISBN  0-471-15733-3 .
• Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1975), Классическая теория полей , Оксфорд: Пергамон, ISBN  978-0-08-018176-9 . См. раздел 87 .
• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип ; Уилер, Джон Арчибальд (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN  978-0-7167-0344-0
• Ортин, Томас (2004), Гравитация и струны , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-82475-0 . Обратите особое внимание на страницы 7 и 10.
• Волков, Ю.А. (2001) [1994], «Геодезическая линия» , Математическая энциклопедия , EMS Press .
• Вайнберг, Стивен (1972), Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN  978-0-471-92567-5 . См. главу 3 .

Внешние ссылки

• Возвращение к геодезии - Введение в геодезическую, включая два способа вывода уравнения геодезической с приложениями в геометрии (геодезическая на сфере и на торе ), механике ( брахистохрона ) и оптике (световой луч в неоднородной среде).
• Полностью геодезическое подмногообразие в Атласе многообразий