Геодезические как гамильтоновы потоки

В математике представляют уравнения геодезических собой нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка и обычно представляются в форме Эйлера – Лагранжа уравнений движения . Однако их также можно представить как совокупность связанных уравнений первого порядка в виде уравнений Гамильтона . Последняя формулировка развита в данной статье.

Обзор

Часто говорят, что геодезические – это «прямые линии в искривленном пространстве». Используя подход Гамильтона-Якоби к уравнению геодезических , этому утверждению можно придать очень интуитивный смысл: геодезические описывают движения частиц, на которые не действуют никакие силы. Хорошо известно, что в плоском пространстве частица, движущаяся прямолинейно, будет продолжать двигаться прямолинейно, если на нее не действуют внешние силы; это первый закон Ньютона . Хорошо известно, что гамильтониан, описывающий такое движение, имеет вид $H=p^{2}/2m$ где p — импульс . Именно сохранение импульса приводит к прямолинейному движению частицы. На искривленной поверхности действуют точно такие же идеи, за исключением того, что для правильного измерения расстояний необходимо использовать риманову метрику . Чтобы правильно измерить импульсы, необходимо использовать обратную метрику. Движение свободной частицы по искривленной поверхности по-прежнему имеет точно такую ​​же форму, как указано выше, т. е. целиком состоит из кинетического члена . Результирующее движение по-прежнему в некотором смысле является «прямой линией», поэтому иногда говорят, что геодезические — это «прямые линии в искривленном пространстве». Более подробно эта идея развита ниже.

Геодезика как применение принципа наименьшего действия

Учитывая ( псевдо- ) риманово многообразие M , геодезическую можно определить как кривую, полученную в результате применения принципа наименьшего действия . Дифференциальное уравнение, описывающее их форму, может быть получено с использованием вариационных принципов путем минимизации (или нахождения экстремума) энергии кривой . Учитывая плавную кривую

$\gamma :I\to M$

который отображает интервал I прямой действительной числовой формы в многообразие M , записывают энергию

$E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{I}g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt,$

где ${\dot {\gamma }}(t)$ - касательный вектор к кривой $\gamma$ в точку $t\in I$.Здесь, $g(\cdot ,\cdot )$ – метрический тензор на многообразии M .

Используя приведенную выше энергию в качестве действия, можно решить либо уравнения Эйлера-Лагранжа , либо уравнения Гамильтона-Якоби . Оба метода дают уравнение геодезических в качестве решения ; однако уравнения Гамильтона – Якоби дают лучшее понимание структуры многообразия, как показано ниже. В терминах локальных координат на M уравнение геодезических (Эйлера – Лагранжа) имеет вид

${\frac {d^{2}x^{a}}{dt^{2}}}+\Gamma _{bc}^{a}{\frac {dx^{b}}{dt}}{\frac {dx^{c}}{dt}}=0$

где х ^а ( t ) — координаты кривой γ( t ), $\Gamma _{bc}^{a}$ являются символами Кристоффеля , а повторяющиеся индексы подразумевают использование соглашения о суммировании .

Гамильтонов подход к уравнениям геодезических

Геодезическими можно понимать как гамильтоновы потоки специального гамильтонова векторного поля, определенного в кокасательном пространстве многообразия. Гамильтониан строится из метрики на многообразии и, таким образом, представляет собой квадратичную форму, полностью состоящую из кинетического члена .

Уравнения геодезических являются дифференциальными уравнениями второго порядка; их можно переобразить как уравнения первого порядка, введя дополнительные независимые переменные, как показано ниже. Заметим, что координатная окрестность U с координатами x _a индуцирует локальную тривиализацию

$T^{*}M|_{U}\simeq U\times \mathbb {R} ^{n}$

по карте, которая отправляет точку

$\eta \in T_{x}^{*}M|_{U}$

формы $\eta =p_{a}dx^{a}$ в точку $(x,p_{a})\in U\times \mathbb {R} ^{n}$.Затем введем гамильтониан как

$H(x,p)={\frac {1}{2}}g^{ab}(x)p_{a}p_{b}.$

Вот, г ^аб ( x ) является обратным метрическому тензору : g ^аб ( Икс ) г _{до н.э.} ( Икс ) знак равно $\delta _{c}^{a}$. Поведение метрического тензора при преобразованиях координат означает, что относительно замены H инвариантен переменной. Тогда уравнения геодезических можно записать в виде

${\dot {x}}^{a}={\frac {\partial H}{\partial p_{a}}}=g^{ab}(x)p_{b}$

и

${\dot {p}}_{a}=-{\frac {\partial H}{\partial x^{a}}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g^{bc}(x)}{\partial x^{a}}}p_{b}p_{c}.$

Поток , определяемый этими уравнениями, называется когеодезическим потоком ; простая замена одного в другое дает уравнения Эйлера–Лагранжа, которые задают геодезический поток на касательном расслоении TM . Геодезические линии являются проекциями интегральных кривых геодезического потока на многообразие M . Это гамильтонов поток , причем гамильтониан постоянен вдоль геодезических:

${\frac {dH}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial x^{a}}}{\dot {x}}^{a}+{\frac {\partial H}{\partial p_{a}}}{\dot {p}}_{a}=-{\dot {p}}_{a}{\dot {x}}^{a}+{\dot {x}}^{a}{\dot {p}}_{a}=0.$

Таким образом, геодезический поток разбивает кокасательное расслоение на множества уровней постоянной энергии

$M_{E}=\{(x,p)\in T^{*}M:H(x,p)=E\}$

для каждой энергии E ≥ 0, так что

$T^{*}M=\bigcup _{E\geq 0}M_{E}$.

Ссылки

• Теренс Тао, Уравнение Эйлера-Арнольда , 2010: http://terrytao.wordpress.com/2010/06/07/the-euler-arnold-equation/ См. обсуждение в начале.
• Ральф Абрахам и Джеррольд Э. Марсден, Основы механики , (1978) Бенджамин-Каммингс, Лондон ISBN   0-8053-0102-X См. раздел 2.7 .
• Б. А. Дубровин, А. Т. Фоменко, С. П. Новиков, Современная геометрия: методы и приложения, часть I , (1984) Springer-Verlag, Берлин. ISBN   0-387-90872-2 См. главу 5, в частности раздел 33 .