Пучок волокон

В математике , и особенно в топологии , расслоение ( англ . Fibre Bundle ) — это пространство является , которое локально пространством продукта , но глобально может иметь различную топологическую структуру . В частности, сходство между пространством $E$ и пространство для продукта $B\times F$ определяется с помощью непрерывного сюръективного отображения , $\pi :E\to B,$ что в небольших регионах $E$ ведет себя точно так же, как проекция соответствующих областей $B\times F$ к $B.$ Карта $\pi ,$ называемая проекцией или погружением расслоения, рассматривается как часть структуры расслоения. Пространство $E$ известен как общее пространство расслоения, $B$ в качестве базового пространства и $F$ волокно .

В тривиальном случае $E$ это просто $B\times F,$ и карта $\pi$ — это всего лишь проекция пространства продукта на первый фактор. Это называется тривиальным расслоением . Примеры нетривиальных расслоений включают полосу Мёбиуса и бутылку Клейна , а также нетривиальные накрывающие пространства . Расслоения расслоений, такие как касательное расслоение многообразия , и другие более общие векторные расслоения , играют важную роль в дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии как и основные расслоения .

Отображения между тотальными пространствами расслоений, которые «коммутируют» с картами проекций, известны как карты расслоений , и класс расслоений образует категорию относительно таких отображений. Карта расслоения из самого базового пространства (с тождественным отображением в качестве проекции) в $E$ называется частью $E.$ Пучки волокон могут быть специализированы несколькими способами, наиболее распространенным из которых является требование, чтобы карты перехода между локальными тривиальными участками лежали в определенной топологической группе , известной как структурная группа , действующей на волокно. $F$ .

История

В топологии термины «волокно» (нем. Faser ) и «расслоенное пространство » ( gefaserter Raum ) впервые появились в статье Герберта Зейферта в 1933 году. ^[1]^[2]^[3] но его определения ограничены совершенно особым случаем. Однако главное отличие от современной концепции расслоенного пространства заключалось в том, что для Зейферта то, что сейчас называется базовым пространством (топологическим пространством) расслоенного (топологического) пространства E, не было частью структуры, а производилось от нее как факторпространство E . Первое определение волоконного пространства было дано Хасслером Уитни в 1935 году. ^[4] под названием «сфера-пространство» , но в 1940 году Уитни изменила название на «сферический пучок» . ^[5]

Теория расслоенных пространств, частным случаем которой являются векторные расслоения , главные расслоения , топологические расслоения и расслоенные многообразия , приписывают Зейферту, Хайнцу Хопфу , Жаку Фельдбау , ^[6] Уитни, Норман Стинрод , Чарльз Эресманн , ^[7]^[8]^[9] Жан-Пьер Серр , ^[10] и другие.

Пучки волокон стали самостоятельным объектом изучения в период 1935–1940 гг. Первое общее определение появилось в работах Уитни. ^[11]

Уитни пришел к общему определению расслоения из своего исследования более частного понятия расслоения сфер . ^[12] это расслоение, слоем которого является сфера произвольной размерности . ^[13]

Формальное определение

Пучок волокон представляет собой структуру $(E,\,B,\,\pi ,\,F),$ где $E,B,$ и $F$ являются топологическими пространствами и $\pi :E\to B$ является непрерывной сюръекцией, удовлетворяющей локальному условию тривиальности, изложенному ниже. Пространство $B$ называется базовое пространство пакета, $E$ тот общая площадь и $F$ тот волокно . Карта $\pi$ называется карта проекции (или проекция пучка ). В дальнейшем будем считать, что базовое пространство $B$ подключен .

Мы требуем, чтобы для каждого $x\in B$ , есть открытое окружение $U\subseteq B$ из $x$ (которую будем называть тривиализирующей окрестностью) такую, что существует гомеоморфизм $\varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F$ (где $\pi ^{-1}(U)$ задана топология подпространства и $U\times F$ — пространство продукта) таким образом, что $\pi$ согласуется с проекцией на первый фактор. То есть следующая диаграмма должна коммутировать :

где $\operatorname {proj} _{1}:U\times F\to U$ является естественной проекцией и $\varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F$ является гомеоморфизмом. Набор всего $\left\{\left(U_{i},\,\varphi _{i}\right)\right\}$ называется локальная тривиализация расслоения.

Таким образом, для любого $p\in B$ , прообраз $\pi ^{-1}(\{p\})$ гомеоморфен $F$ (поскольку это справедливо для $\operatorname {proj} _{1}^{-1}(\{p\})$ ) и называется слоем над $p.$ Каждый пучок волокон $\pi :E\to B$ является открытой картой , поскольку проекции продуктов являются открытыми картами. Поэтому $B$ несет фактор-топологию, определенную отображением $\pi .$

Пучок волокон $(E,\,B,\,\pi ,\,F)$ часто обозначается

{\begin{matrix}{}\\F\longrightarrow E\ {\xrightarrow {\,\ \pi \ }}\ B\\{}\end{matrix}}

( 1 )

что, по аналогии с короткой точной последовательностью , указывает, какое пространство является слоем, общим пространством и базовым пространством, а также отображением общего пространства в базовое.

А Гладкое расслоение — расслоение из категории многообразий гладких . То есть, $E,B,$ и $F$ должны быть гладкими многообразиями, а все вышеперечисленные функции должны быть гладкими отображениями .

Примеры

Тривиальный комплект

Позволять $E=B\times F$ и пусть $\pi :E\to B$ быть проекцией на первый фактор. Затем $\pi$ представляет собой пучок волокон (из $F$ ) над $B.$ Здесь $E$ это не только локальный продукт, но и глобальный . Любой такой пучок волокон называется банальный комплект . Любое расслоение над сжимаемым CW-комплексом тривиально.

Нетривиальные расслоения

Лента Мёбиуса

Возможно, самый простой пример нетривиального расслоения $E$ это лента Мёбиуса . В качестве основания у него есть круг , проходящий вдоль центра полосы. $B$ и отрезок линии для волокна $F$ , поэтому лента Мёбиуса представляет собой пучок отрезков над окружностью. Район $U$ из $\pi (x)\in B$ (где $x\in E$ ) — дуга ; на картинке это длина одного из квадратов. Прообраз $\pi ^{-1}(U)$ на картинке изображен (несколько скрученный) кусок полосы шириной в четыре квадрата и один в длину (т.е. все точки, которые выступают на $U$ ).

Гомеоморфизм ( $\varphi$ в § Формальное определение ) существует, отображающее прообраз $U$ (тривиализирующая окрестность) к срезу цилиндра: изогнутому, но не скрученному. Эта пара локально тривиализует полосу. Соответствующее тривиальное расслоение $B\times F$ был бы цилиндр , но лента Мёбиуса имеет общий «изгиб». Этот поворот виден только глобально; локально лента Мёбиуса и цилиндр идентичны (единственный вертикальный разрез в любом из них дает одинаковое пространство).

бутылка Клейна

Аналогичным нетривиальным расслоением является бутылка Клейна , которую можно рассматривать как «скрученное» расслоение кругов над другим кругом. Соответствующее нескрученное (тривиальное) расслоение представляет собой 2- тор , $S^{1}\times S^{1}$ .

Карта покрытия

Накрывающее пространство — это расслоение такое, что проекция расслоения является локальным гомеоморфизмом . Отсюда следует, что слой представляет собой дискретное пространство .

Векторные и главные расслоения

Специальный класс расслоений, называемый векторными расслоениями , — это те, чьи слои представляют собой векторные пространства (чтобы квалифицироваться как векторное расслоение, структурная группа расслоения — см. ниже — должна быть линейной группой ). Важные примеры векторных расслоений включают касательное расслоение и кокасательное расслоение гладкого многообразия. Из любого векторного расслоения можно построить фреймовое расслоение баз , которое является главным расслоением (см. ниже).

Другой специальный класс расслоений, называемый главными расслоениями , — это расслоения, на слоях которых свободно и транзитивно действует группа $G$ задано так, что каждый слой является главным однородным пространством . Пакет часто указывается вместе с группой, называя его основным. $G$ -пучок. Группа $G$ также является структурной группой расслоения. Учитывая представление $\rho$ из $G$ в векторном пространстве $V$ , векторное расслоение с $\rho (G)\subseteq {\text{Aut}}(V)$ в качестве структурной группы может быть построена так называемая связанная связка .

Пакеты сфер

Расслоение сфер — это расслоение, слоем которого является n -сфера . Учитывая векторное расслоение $E$ с метрикой (такой как касательное расслоение к риманову многообразию ) можно построить ассоциированное расслоение единичных сфер , для которого слой над точкой $x$ - это набор всех единичных векторов в $E_{x}$ . Когда рассматриваемое векторное расслоение является касательным расслоением $TM$ расслоение единичной сферы известно как единичное касательное расслоение .

Расслоение сфер частично характеризуется своим классом Эйлера , который является степенью $n+1$ класс когомологий в тотальном пространстве расслоения. В случае $n=1$ расслоение сфер называется расслоением окружностей , а класс Эйлера равен первому классу Чженя , который полностью характеризует топологию расслоения. Для любого $n$ , учитывая класс Эйлера расслоения, можно вычислить его когомологии, используя длинную точную последовательность, называемую последовательностью Гайзина .

Отображение торов

Если $X$ является топологическим пространством и $f:X\to X$ является гомеоморфизмом , то тор отображения $M_{f}$ имеет естественную структуру расслоения над кругом со слоем $X.$ Отображения торов гомеоморфизмов поверхностей имеют особое значение в топологии 3-многообразия .

Факторпространства

Если $G$ является топологической группой и $H$ является замкнутой подгруппой , то при некоторых обстоятельствах факторпространство $G/H$ вместе с факторкартой $\pi :G\to G/H$ — расслоение, слоем которого является топологическое пространство $H$ . для Необходимое и достаточное условие ( $G,\,G/H,\,\pi ,\,H$ ) для формирования расслоения заключается в том, что отображение $\pi$ допускает локальные сечения ( Стинрод 1951 , §7).

Наиболее общие условия, при которых фактор-отображение допускает локальные сечения, неизвестны, хотя если $G$ является группой Ли и $H$ замкнутая подгруппа (и, следовательно, подгруппа Ли по теореме Картана ), то фактор-отображение является расслоением. Одним из примеров этого является расслоение Хопфа . $S^{3}\to S^{2}$ , представляющее собой расслоение над сферой $S^{2}$ общая площадь которого $S^{3}$ . С точки зрения групп Ли, $S^{3}$ можно отнести к особой унитарной группе $SU(2)$ . Абелева подгруппа диагональных изоморфна группе окружностей матриц $U(1)$ , и частное $SU(2)/U(1)$ диффеоморфна . сфере

В более общем смысле, если $G$ любая топологическая группа и $H$ замкнутая подгруппа, которая также является группой Ли, то $G\to G/H$ представляет собой пучок волокон.

Разделы

А сечение (или поперечное сечение ) пучка волокон $\pi$ представляет собой непрерывную карту $f:B\to E$ такой, что $\pi (f(x))=x$ для x в B. всех Поскольку пучки, как правило, не имеют глобально определенных секций, одна из целей теории — объяснить их существование. Препятствие характеристических существованию сечения часто можно измерить с помощью класса когомологий, что приводит к теории классов в алгебраической топологии .

Наиболее известным примером является теорема о волосатом шаре , где класс Эйлера является препятствием для касательного расслоения , 2-сферы имеющего никуда не исчезающее сечение.

Часто хочется определять разделы только локально (особенно, когда глобальные разделы не существуют). Локальное сечение расслоения — это непрерывное отображение $f:U\to E$ где U — открытое множество в B и $\pi (f(x))=x$ для x в U. всех Если $(U,\,\varphi )$ является локальной диаграммой всегда существуют локальные сечения тривиализации, то над U . Такие сечения находятся в 1-1 соответствии с непрерывными отображениями. $U\to F$ . Секции образуют связку .

Структурные группы и функции перехода

Пучки волокон часто содержат группу симметрий, которые описывают условия совпадения между перекрывающимися локальными диаграммами тривиализации. В частности, пусть G — топологическая группа , которая непрерывно действует на расслоении F слева. Мы ничего не потеряем, если потребуем, G действовала точно на F , чтобы ее можно было рассматривать как группу гомеоморфизмов F чтобы . А Г – атлас для связки $(E,B,\pi ,F)$ представляет собой набор локальных диаграмм тривиализации $\{(U_{k},\,\varphi _{k})\}$ такой, что для любого $\varphi _{i},\varphi _{j}$ для перекрывающихся диаграмм $(U_{i},\,\varphi _{i})$ и $(U_{j},\,\varphi _{j})$ функция $\varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}:\left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F\to \left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F$ дается $\varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}(x,\,\xi )=\left(x,\,t_{ij}(x)\xi \right)$ где $t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G$ является непрерывным отображением, называемым функция перехода . Два G -атласа эквивалентны, если их объединение также является G -атласом. G — это -расслоение расслоение с классом эквивалентности G -атласов. Группа G называется структурная группа пакета; аналогичный термин в физике — калибровочная группа .

В гладкой категории G -расслоение — это гладкое расслоение, где G — группа Ли , соответствующее действие на F является гладким, а все функции перехода — гладкие отображения.

Функции перехода $t_{ij}$ удовлетворять следующим условиям

$t_{ii}(x)=1\,$
$t_{ij}(x)=t_{ji}(x)^{-1}\,$
$t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x).\,$

Третье условие применяется к тройным перекрытиям U _i ∩ U _j ∩ U _k и называется коцикла условием (см. когомологии Чеха ). Важность этого состоит в том, что функции перехода определяют расслоение (если принять условие коцикла Чеха).

Главное (эквивалентно, можно указать , G -расслоение — это G -расслоение, в котором слой F является главным однородным пространством для левого действия самого G что действие G на слое F является свободным и транзитивным, т. е. регулярным ). В этом случае часто бывает удобно отождествить F с G и таким образом получить (правое) действие G на главном расслоении.

Пакетные карты

Полезно иметь представление об отображении между двумя расслоениями. Предположим, что M и N — базовые пространства и $\pi _{E}:E\to M$ и $\pi _{F}:F\to N$ являются расслоениями над M и N соответственно. А карта пакета или Морфизм расслоения состоит из пары непрерывных ^[14] функции $\varphi :E\to F,\quad f:M\to N$ такой, что $\pi _{F}\circ \varphi =f\circ \pi _{E}.$ То есть следующая диаграмма является коммутативной :

Для расслоений со структурной группой G , тотальные пространства которых являются (правыми) G -пространствами (такими как главное расслоение), морфизмы расслоений также должны быть G - эквивариантными на слоях. Это означает, что $\varphi :E\to F$ также является G -морфизмом одного G -пространства в другое, т. е. $\varphi (xs)=\varphi (x)s$ для всех $x\in E$ и $s\in G.$

Если базисные пространства M и N совпадают, то морфизм расслоения над M из расслоения $\pi _{E}:E\to M$ к $\pi _{F}:F\to M$ это карта $\varphi :E\to F$ такой, что $\pi _{E}=\pi _{F}\circ \varphi .$ Это означает, что карта пакета $\varphi :E\to F$ раскрывает личность М. То есть, $f\equiv \mathrm {id} _{M}$ и следующая диаграмма коммутирует:

Предположим, что оба $\pi _{E}:E\to M$ и $\pi _{F}:F\to M$ определены в одном и том же базовом пространстве M . расслоения Изоморфизм — это отображение расслоения. $(\varphi ,\,f)$ между $\pi _{E}:E\to M$ и $\pi _{F}:F\to M$ такой, что $f\equiv \mathrm {id} _{M}$ и такое, что $\varphi$ также является гомеоморфизмом. ^[15]

Дифференцируемые пучки волокон

В категории дифференцируемых многообразий расслоения естественным образом возникают как погружения одного многообразия в другое. Не всякое (дифференцируемое) погружение $f:M\to N$ из дифференцируемого многообразия M в другое дифференцируемое многообразие N порождает дифференцируемое расслоение. Во-первых, карта должна быть сюръективной, и $(M,N,f)$ называется расслоенным многообразием . Однако это необходимое условие не совсем достаточно, и в обычном использовании существует множество достаточных условий.

Если M и N компактны и , то любая связны субмерсия $f:M\to N$ порождает расслоение в том смысле, что существует расслоение F, диффеоморфное каждому из слоев, такое, что $(E,B,\pi ,F)=(M,N,f,F)$ представляет собой пучок волокон. (Сюръективность $f$ следует из уже сделанных в этом случае предположений.) В более общем плане предположение о компактности можно ослабить, если погружение $f:M\to N$ предполагается, что это сюръективное собственное отображение , а это означает, что $f^{-1}(K)$ компактно для любого компактного подмножества K из N . Другое достаточное условие, предложенное Эресманном (1951) , состоит в том, что если $f:M\to N$ является сюръективной субмерсией с M и N дифференцируемыми многообразиями , такими что прообраз $f^{-1}\{x\}$ компактен и подключен для всех $x\in N,$ затем $f$ допускает совместимую структуру расслоения ( Michor 2008 , §17).

Обобщения

Понятие пучка применимо ко многим другим категориям в математике за счет соответствующего изменения условия локальной тривиальности; ср. главное однородное пространство и торсор (алгебраическая геометрия) .
В топологии расслоение — это отображение $\pi :E\to B$ который имеет определенные гомотопические свойства, общие с расслоениями. В частности, при мягких технических предположениях расслоение всегда обладает свойством гомотопического подъема или свойством гомотопического накрытия ( см. Стинрод (1951 подробнее , 11.7)). Это определяющее свойство расслоения.
Секция пучка волокон — это «функция, выходной диапазон которой постоянно зависит от входных данных». Это свойство формально фиксируется в понятии зависимого типа .

См. также

Примечания

^ Зайферт, Герберт (1933). «Топология трехмерных расслоенных пространств» . Акта Математика . 60 : 147–238. дои : 10.1007/bf02398271 .
^ «Топология трехмерных волокнистых пространств» в проекте «Евклид» .
^ Зайферт, Х. (1980). Зейферт и Трелфолл, Учебник топологии . В. Трелфолл, Джоан С. Бирман, Джулиан Эйснер. Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN 0-12-634850-2 . OCLC 5831391 .
^ Уитни, Хасслер (1935). «Сферические пространства» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 21 (7): 464–468. Бибкод : 1935PNAS...21..464W . дои : 10.1073/pnas.21.7.464 . ПМЦ 1076627 . ПМИД 16588001 .
^ Уитни, Хасслер (1940). «К теории расслоений сфер» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 26 (2): 148–153. Бибкод : 1940PNAS...26..148W . дои : 10.1073/pnas.26.2.148 . ПМК 1078023 . ПМИД 16588328 .
^ Фельдбау, Жак (1939). «О классификации расслоенных пространств». Известия Академии наук . 208 : 1621–1623.
^ Эресманн, Чарльз (1947). «К теории расслоенных пространств». Колл. Большой. Алг. Париж . НЦРС: 3–15.
^ Эресманн, Чарльз (1947). «О дифференцируемых расслоенных пространствах». Известия Академии наук . 224 : 1611–1612.
^ Эресманн, Чарльз (1955). «Расширения дифференцируемого расслоенного пространства». Известия Академии наук . 240 : 1755–1757.
^ Серр, Жан-Пьер (1951). «Сингулярные гомологии расслоенных пространств. Приложения». Анналы математики . 54 (3): 425–505. дои : 10.2307/1969485 . JSTOR 1969485 .
^ См. Стинрод (1951 , предисловие).
↑
В своих ранних работах Уитни называл пучки сфер «сферическими пространствами». См., например:
- Уитни, Хасслер (1935). «Сферические пространства» . Учеб. Натл. акад. Наука . 21 (7): 462–468. Бибкод : 1935PNAS...21..464W . дои : 10.1073/pnas.21.7.464 . ПМЦ 1076627 . ПМИД 16588001 .
- Уитни, Хасслер (1937). «Топологические свойства дифференцируемых многообразий» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц . 43 (12): 785–805. дои : 10.1090/s0002-9904-1937-06642-0 .
^ Уитни, Хасслер (1940). «К теории расслоений сфер» (PDF) . Учеб. Натл. акад. Наука . 26 (2): 148–153. Бибкод : 1940PNAS...26..148W . дои : 10.1073/pnas.26.2.148 . ПМЦ 1078023 . ПМИД 16588328 .
^ В зависимости от категории рассматриваемых пространств можно предположить, что функции обладают свойствами, отличными от непрерывности. Например, в категории дифференцируемых многообразий функции предполагаются гладкими. В категории алгебраических многообразий они являются регулярными морфизмами.
^ Или, по крайней мере, обратима в соответствующей категории; например, диффеоморфизм.

Ссылки

Стинрод, Норман (1951), Топология пучков волокон , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08055-0
Стинрод, Норман (5 апреля 1999 г.). Топология пучков волокон . Принстонская математическая серия. Том. 14. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-00548-5 . OCLC 40734875 .
Бликер, Дэвид (1981), Калибровочная теория и вариационные принципы , Ридинг, Массачусетс: издательство Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-10096-9
Эресманн, Чарльз (1951). «Бесконечно малые связности в дифференцируемом расслоенном пространстве». Конференция по топологии (расслоенные пространства), Брюссель, 1950 г. Париж: Жорж Тон, Льеж; Массон и Ко. стр. 29–55.
Хуземоллер, Дейл (1994), Пучки волокон , Springer Verlag, ISBN 978-0-387-94087-8
Михор, Питер В. (2008), Темы дифференциальной геометрии , Аспирантура по математике , том. 93, Провиденс: Американское математическое общество, ISBN. 978-0-8218-2003-2
Войцеховский, М.И. (2001) [1994], «Расслоенное пространство» , Энциклопедия Математики , EMS Press

Внешние ссылки

Пакет волокон , PlanetMath
Роуленд, Тодд. «Пучок волокон» . Математический мир .
Создание символической скульптуры Джона Робинсона «Вечность»
Сарданашвили, Геннадий , Расслоения, струйные многообразия и теория Лагранжа. Лекции для теоретиков, arXiv : 0908.1886

[1] Зайферт, Герберт (1933). «Топология трехмерных расслоенных пространств» . Акта Математика . 60 : 147–238. дои : 10.1007/bf02398271 .

[2] «Топология трехмерных волокнистых пространств» в проекте «Евклид» .

[3] Зайферт, Х. (1980). Зейферт и Трелфолл, Учебник топологии . В. Трелфолл, Джоан С. Бирман, Джулиан Эйснер. Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN 0-12-634850-2 . OCLC 5831391 .

[4] Уитни, Хасслер (1935). «Сферические пространства» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 21 (7): 464–468. Бибкод : 1935PNAS...21..464W . дои : 10.1073/pnas.21.7.464 . ПМЦ 1076627 . ПМИД 16588001 .

[5] Уитни, Хасслер (1940). «К теории расслоений сфер» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 26 (2): 148–153. Бибкод : 1940PNAS...26..148W . дои : 10.1073/pnas.26.2.148 . ПМК 1078023 . ПМИД 16588328 .

[6] Фельдбау, Жак (1939). «О классификации расслоенных пространств». Известия Академии наук . 208 : 1621–1623.

[7] Эресманн, Чарльз (1947). «К теории расслоенных пространств». Колл. Большой. Алг. Париж . НЦРС: 3–15.

[8] Эресманн, Чарльз (1947). «О дифференцируемых расслоенных пространствах». Известия Академии наук . 224 : 1611–1612.

[9] Эресманн, Чарльз (1955). «Расширения дифференцируемого расслоенного пространства». Известия Академии наук . 240 : 1755–1757.

[10] Серр, Жан-Пьер (1951). «Сингулярные гомологии расслоенных пространств. Приложения». Анналы математики . 54 (3): 425–505. дои : 10.2307/1969485 . JSTOR 1969485 .

[11] См. Стинрод (1951 , предисловие).

[12] В своих ранних работах Уитни называл пучки сфер «сферическими пространствами». См., например:
Уитни, Хасслер (1935). «Сферические пространства» . Учеб. Натл. акад. Наука . 21 (7): 462–468. Бибкод : 1935PNAS...21..464W . дои : 10.1073/pnas.21.7.464 . ПМЦ 1076627 . ПМИД 16588001 .
Уитни, Хасслер (1937). «Топологические свойства дифференцируемых многообразий» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц . 43 (12): 785–805. дои : 10.1090/s0002-9904-1937-06642-0 .

[13] Уитни, Хасслер (1935). «Сферические пространства» . Учеб. Натл. акад. Наука . 21 (7): 462–468. Бибкод : 1935PNAS...21..464W . дои : 10.1073/pnas.21.7.464 . ПМЦ 1076627 . ПМИД 16588001 .

[14] Уитни, Хасслер (1937). «Топологические свойства дифференцируемых многообразий» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц . 43 (12): 785–805. дои : 10.1090/s0002-9904-1937-06642-0 .

[13] Уитни, Хасслер (1940). «К теории расслоений сфер» (PDF) . Учеб. Натл. акад. Наука . 26 (2): 148–153. Бибкод : 1940PNAS...26..148W . дои : 10.1073/pnas.26.2.148 . ПМЦ 1078023 . ПМИД 16588328 .

[14] В зависимости от категории рассматриваемых пространств можно предположить, что функции обладают свойствами, отличными от непрерывности. Например, в категории дифференцируемых многообразий функции предполагаются гладкими. В категории алгебраических многообразий они являются регулярными морфизмами.

[15] Или, по крайней мере, обратима в соответствующей категории; например, диффеоморфизм.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]