Параллелизуемое многообразие

«Параллелизуемый» перенаправляется сюда. Информацию об использовании в информатике см. в разделе « Параллельный алгоритм» .

В математике дифференцируемое многообразие $M$ размерности n называется распараллеливаемым если существуют гладкие векторные поля

$$\{V_{1},\ldots ,V_{n}\}$$

на многообразии такое, что в каждой точке $p$ из $M$ касательные векторы

$$\{V_{1}(p),\ldots ,V_{n}(p)\}$$

обеспечить основу касательного пространства в $p$. Эквивалентно, касательное расслоение является тривиальным расслоением , так что связанный основной пучок линейных фреймов имеет глобальное сечение на $M.$

Частный выбор такого базиса векторных полей на $M$ называется распараллеливанием (или абсолютным параллелизмом ) $M$.

Примеры

• Пример с $n=1$— это круг : мы можем принять V ₁ за единичное касательное векторное поле, скажем, указывающее против часовой стрелки. Тор ​ измерения $n$также распараллеливаема, в чем можно убедиться, выразив ее как декартово произведение окружностей. Например, возьмите $n=2,$и постройте тор из квадрата миллиметровой бумаги со склеенными друг с другом противоположными краями, чтобы получить представление о двух касательных направлениях в каждой точке. В более общем смысле, каждая группа Ли G распараллеливаема, поскольку базис касательного пространства в единичном элементе может перемещаться действием группы сдвигов G на G (каждый сдвиг является диффеоморфизмом, и, следовательно, эти сдвиги вызывают линейные изоморфизмы между касательные пространства точек в G ).
• Классической задачей было определить, какая из сфер S ^н являются распараллеливаемыми. Нульмерный случай S ⁰ тривиально распараллеливаема. Дело С ¹ — это круг, который, как уже объяснялось, можно распараллелить. Теорема о волосатом шаре показывает, что S ² не является распараллеливаемым. Однако С ³ распараллеливаема, так как это группа Ли SU(2) . Единственная другая распараллеливаемая сфера - это S ⁷ ; это было доказано в 1958 году Фридрихом Хирцебрухом , Мишелем Кервером , а также Раулем Боттом и Джоном Милнором в независимой работе. Распараллеливаемые сферы точно соответствуют элементам единичной нормы в нормированных алгебрах вещественных чисел, комплексных чисел, кватернионов и октонионов , что позволяет построить параллелизм для каждого. Доказать, что другие сферы не поддаются распараллеливанию, сложнее и требует алгебраической топологии .
• Произведение распараллеливаемых многообразий распараллеливаемо.
• Каждое ориентируемое замкнутое трехмерное многообразие распараллеливаемо.

Замечания

• параллелизуемое многообразие ориентируемо . Любое
• Термин оснащенное многообразие (иногда оснащенное многообразие ) чаще всего применяется к вложенному многообразию с заданной тривиализацией нормального расслоения , а также к абстрактному (то есть невложенному) многообразию с заданной стабильной тривиализацией касательного расслоения .
• Связанным с этим понятием является понятие π-многообразия . Гладкое многообразие $M$называется π-многообразием , если при вложении в многомерное евклидово пространство его нормальное расслоение тривиально. В частности, каждое параллелизуемое многообразие является π-многообразием.

См. также

• Диаграмма (топология)
• Дифференцируемое многообразие
• Комплект рамок
• Инвариант Кервера
• Пакет ортонормированных рамок
• Основной пакет
• Связь (математика)
• G-структура

Ссылки

• Бишоп, Ричард Л .; Гольдберг, Сэмюэл И. (1968), Тензорный анализ многообразий (первое изд. Дувра, 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN  0-486-64039-6
• Милнор, Джон В .; Сташефф, Джеймс Д. (1974), Характеристические классы , Princeton University Press
• Милнор, Джон В. (1958), Дифференцируемые многообразия, являющиеся гомотопическими сферами (PDF) , мимеографированные примечания