Теория Морса

«Функция Морса» перенаправляется сюда. Для ангармонических осцилляторов см. потенциал Морзе .

В математике , особенно в дифференциальной топологии , теория Морса позволяет анализировать топологию многообразия путем изучения дифференцируемых функций на этом многообразии. Согласно основным идеям Марстона Морса , типичная дифференцируемая функция на многообразии будет совершенно напрямую отражать топологию. Теория Морса позволяет находить структуры CW и обрабатывать разложения на многообразиях, а также получать существенную информацию об их гомологии .

До Морса Артур Кэли и Джеймс Клерк Максвелл развили некоторые идеи теории Морса в контексте топографии . Первоначально Морс применил свою теорию к геодезике ( критическим точкам в пространстве энергетического функционала путей). Эти методы были использованы Раулем Боттом при доказательстве его теоремы о периодичности .

Аналогом теории Морса для комплексных многообразий является теория Пикара–Лефшеца .

Основные понятия

Седловая точка

Для иллюстрации рассмотрим поверхность горного ландшафта. $M$(в более общем смысле, многообразие ). Если $f$ это функция $M\to \mathbb {R}$ задавая высоту каждой точки, затем обратное изображение точки в $\mathbb {R}$— контурная линия (в более общем смысле — набор уровней ). Каждый связный компонент контурной линии представляет собой либо точку, либо простую замкнутую кривую , либо замкнутую кривую с двойной точкой . Горизонтали могут иметь и точки более высокого порядка (тройные точки и т. д.), но они неустойчивы и могут быть удалены при незначительной деформации ландшафта. Двойные точки на контурных линиях встречаются в седловых точках или перевалах, где окружающий ландшафт изгибается вверх в одном направлении и вниз в другом.

Контурные линии вокруг седловой точки

Представьте себе, что этот ландшафт затоплен водой. Когда вода достигает высоты $a$, подводная поверхность $M^{a}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,f^{-1}(-\infty ,a]$, точки с высотой $a$или ниже. Рассмотрим, как меняется топология этой поверхности по мере подъема воды. Он выглядит неизменным, за исключением случаев, когда $a$ проходит высоту точки , где градиент критической $f$ является $0$(в более общем смысле, матрица Якоби , действующая как линейное отображение между касательными пространствами, не имеет максимального ранга ). Другими словами, топология $M^{a}$ не меняется, за исключением случаев, когда вода (1) начинает наполнять бассейн, (2) покрывает седловину ( горный перевал ) или (3) погружает вершину.

Тор

Этим трем типам критических точек — впадинам, проходам и пикам (т. е. минимумам, седлам и максимумам) — соответствует число, называемое индексом, числом независимых направлений, в которых $f$уменьшается от точки. Точнее, индекс невырожденной критической точки $p$ из $f$ - размерность наибольшего подпространства касательного пространства к $M$ в $p$ на гессен котором $f$является отрицательно определенным. Индексы котловин, перевалов и вершин: $0,1,$ и $2,$ соответственно.

Рассматривая более общую поверхность, пусть $M$ быть тором, ориентированным, как на рисунке, с $f$снова принимая точку на ее высоту над плоскостью. Можно еще раз проанализировать, как устроена топология подводной поверхности. $M^{a}$ меняется в зависимости от уровня воды $a$ поднимается.

Цилиндр (вверху справа), образованный $M^{a}$ когда $f(q)<a<f(r)$, гомотопически эквивалентен 1-клетке, прикрепленной к диску (слева внизу).

Тор с удаленным диском (вверху справа), образованный $M^{a}$ когда $f(r)<a<f(s)$, гомотопически эквивалентен 1-клетке, прикрепленной к цилиндру (слева внизу).

Начиная с нижней части тора, пусть $p,q,r,$ и $s$ быть четырьмя критическими точками индекса $0,1,1,$ и $2$соответствующие бассейну, двум седлам и пику соответственно. Когда $a$ меньше чем $f(p)=0,$ затем $M^{a}$пустое множество. После $a$ проходит уровень $p,$ когда $0<a<f(q),$ затем $M^{a}$представляет собой диск , который гомотопически эквивалентен точке (0-клетке), «присоединенной» к пустому множеству. Далее, когда $a$ превышает уровень $q,$ и $f(q)<a<f(r),$ затем $M^{a}$представляет собой цилиндр и гомотопически эквивалентен диску с прикрепленной к нему 1-клеткой (изображение слева). Один раз $a$ проходит уровень $r,$ и $f(r)<a<f(s),$ затем $M^{a}$представляет собой тор с удаленным диском, что гомотопически эквивалентно цилиндру с прикрепленной 1-клеткой (изображение справа). Наконец, когда $a$ превышает критический уровень $s,$ $M^{a}$ является тором, т.е. тором с удаленным и вновь присоединенным диском (двухячеечным).

Это иллюстрирует следующее правило: топология $M^{a}$ не меняется, за исключением случаев, когда $a$проходит высоту критической точки; в этот момент, $\gamma$-клетка прикрепляется к $M^{a}$, где $\gamma$это индекс точки. Это не касается того, что происходит, когда две критические точки находятся на одной высоте, что можно решить небольшим возмущением $f.$ В случае ландшафта или многообразия, заключенного в евклидовом пространстве , это возмущение может просто слегка наклоняться, вращая систему координат.

Необходимо позаботиться о том, чтобы критические точки не вырождались. Чтобы увидеть, что может создать проблему, позвольте $M=\mathbb {R}$ и разреши $f(x)=x^{3}.$ Затем $0$ является критической точкой $f,$ но топология $M^{a}$ не меняется, когда $a$ проходит $0.$ Проблема в том, что вторая производная $f''(0)=0$ то есть гессиан - $f$исчезает, а критическая точка вырождается. Эта ситуация неустойчива, так как, слегка деформируя $f$ к $f(x)=x^{3}+\epsilon x$, то вырожденная критическая точка либо удаляется ( $\epsilon >0$) или распадается на две невырожденные критические точки ( $\epsilon <0$).

Формальное

Для действительной гладкой функции $f:M\to \mathbb {R}$ на дифференцируемом многообразии $M,$ точки, в дифференциал которых $f$ равны нулю, называются критическими точками $f$ и их изображения под $f$называются критическими значениями . Если в критической точке $p$ матрица вторых частных производных ( матрица Гессе ) неособа, то $p$ называется невырожденная критическая точка ; если гессиан сингулярный, то $p$ это вырожденная критическая точка .

Для функций

$$f(x)=a+bx+cx^{2}+dx^{3}+\cdots$$

от $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R} ,$ $f$ имеет критическую точку в начале координат, если $b=0,$ которое невырождено, если $c\neq 0$ (то есть, $f$ имеет форму $a+cx^{2}+\cdots$) и вырождается, если $c=0$ (то есть, $f$ имеет форму $a+dx^{3}+\cdots$). Менее тривиальный пример вырожденной критической точки — происхождение седла обезьяны .

Индекс точки невырожденной критической $p$ из $f$ - размерность наибольшего подпространства касательного пространства к $M$ в $p$на котором гессиан отрицательно определен . Это соответствует интуитивному представлению о том, что индекс — это количество направлений, в которых $f$уменьшается. Вырождение и индекс критической точки не зависят от выбора используемой локальной системы координат, как показывает закон Сильвестра .

Лемма Морса

Позволять $p$ быть невырожденной критической точкой $f:M\to R.$ Тогда существует диаграмма $\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)$ в районе $U$ из $p$ такой, что $x_{i}(p)=0$ для всех $i$ и

$$f(x)=f(p)-x_{1}^{2}-\cdots -x_{\gamma }^{2}+x_{\gamma +1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$$

через $U.$ Здесь $\gamma$ равен индексу $f$ в $p$. Как следствие леммы Морса, видно, что невырожденные критические точки изолированы . (Что касается расширения комплексной области, см. Комплексную лемму Морса . Для обобщения см. Лемму Морса – Пале ).

Фундаментальные

Гладкая вещественная функция на многообразии $M$является функцией Морса, если она не имеет вырожденных критических точек. Основной результат теории Морса гласит, что почти все функции являются функциями Морса. Технически функции Морса образуют открытое плотное подмножество всех гладких функций. $M\to \mathbb {R}$ в $C^{2}$топология. Иногда это выражается как «типичная функция — Морзе» или « общая функция — Морзе».

Как указывалось ранее, нас интересует вопрос о том, когда топология $M^{a}=f^{-1}(-\infty ,a]$ меняется как $a$варьируется. Половину ответа на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Предполагать $f$ представляет собой гладкую вещественную функцию на $M,$ $a<b,$ $f^{-1}[a,b]$ компактен . и между ними нет критических значений $a$ и $b.$ Затем $M^{a}$ диффеоморфен ​ ​ $M^{b},$ и $M^{b}$ деформация возвращается на $M^{a}.$

Также интересно узнать, как работает топология $M^{a}$ меняется, когда $a$проходит критическую точку. Следующая теорема отвечает на этот вопрос.

Теорема. Предполагать $f$ представляет собой гладкую вещественную функцию на $M$ и $p$ является невырожденной критической точкой $f$ индекса $\gamma ,$ и это $f(p)=q.$ Предполагать $f^{-1}[q-\varepsilon ,q+\varepsilon ]$ компактен и не содержит критических точек, кроме $p.$ Затем $M^{q+\varepsilon }$ эквивалентен гомотопически ​ $M^{q-\varepsilon }$ с $\gamma$-ячейка прикреплена.

Эти результаты обобщают и формализуют «правило», изложенное в предыдущем разделе.

Используя два предыдущих результата и тот факт, что на любом дифференцируемом многообразии существует функция Морса, можно доказать, что любое дифференцируемое многообразие является CW-комплексом с $n$-ячейка для каждой критической точки индекса $n.$ Для этого нужен технический факт, что можно организовать наличие одной критической точки на каждом критическом уровне, что обычно доказывается использованием градиентных векторных полей для перестановки критических точек.

Морса

Теорию Морса можно использовать для доказательства некоторых сильных результатов о гомологии многообразий. Количество критических точек индекса $\gamma$ из $f:M\to \mathbb {R}$ равно количеству $\gamma$ ячеек в структуре CW на $M$ полученный от "лазания" $f.$ Используя тот факт, что знакопеременная сумма рангов групп гомологии топологического пространства равна знакопеременной сумме рангов цепных групп, из которых вычисляется гомология, затем с помощью клеточных цепных групп (см. Клеточные гомологии ) ясно, что эйлерова характеристика $\chi (M)$ равно сумме

$$\sum (-1)^{\gamma }C^{\gamma }\,=\chi (M)$$

где $C^{\gamma }$ — количество критических точек индекса $\gamma .$ Также по клеточной гомологии ранг $n$^й группа гомологий комплекса CW $M$ меньше или равно числу $n$-клетки в $M.$ Таким образом, ранг $\gamma$^й группа гомологий, то есть число Бетти $b_{\gamma }(M)$, меньше или равно количеству критических точек индекса $\gamma$ функции Морса на $M.$ Эти факты можно усилить, чтобы получить Неравенства Морса :

$$C^{\gamma }-C^{\gamma -1}\pm \cdots +(-1)^{\gamma }C^{0}\geq b_{\gamma }(M)-b_{\gamma -1}(M)\pm \cdots +(-1)^{\gamma }b_{0}(M).$$

В частности, для любого

$$\gamma \in \{0,\ldots ,n=\dim M\},$$

надо

$$C^{\gamma }\geq b_{\gamma }(M).$$

Это дает мощный инструмент для изучения топологии многообразий. Предположим, что на замкнутом многообразии существует функция Морса $f:M\to \mathbb {R}$ровно с k критическими точками. Каким образом существование функции $f$ ограничивать $M$? Дело $k=2$был изучен Жоржем Рибом в 1952 году; утверждает Теорема сферы Риба , что $M$ гомеоморфна сфере $S^{n}.$ Дело $k=3$возможно только в небольшом числе малых размерностей, и M гомеоморфно многообразию Илса–Койпера . В 1982 году Эдвард Виттен разработал аналитический подход к неравенствам Морса, рассмотрев комплекс де Рама для возмущенного оператора. $d_{t}=e^{-tf}de^{tf}.$

к классификации замкнутых 2

Теория Морса использовалась для классификации замкнутых 2-многообразий с точностью до диффеоморфизма. Если $M$ ориентирован, то $M$ классифицируется по роду $g$ и диффеоморфен сфере с $g$ ручки: таким образом, если $g=0,$ $M$диффеоморфна 2-сфере; и если $g>0,$ $M$ диффеоморфна связной сумме $g$2-торы. Если $N$ неориентируем, его классифицируют по числу $g>0$ и диффеоморфен связной сумме $g$ реальные проективные пространства $\mathbf {RP} ^{2}.$ В частности, два замкнутых 2-многообразия гомеоморфны тогда и только тогда, когда они диффеоморфны.

Гомологии Морса

Гомологии Морса — особенно простой способ понять гомологии гладких многообразий . Он определяется с использованием общего выбора функции Морса и римановой метрики . Основная теорема состоит в том, что полученные гомологии являются инвариантом многообразия (т. е. не зависят от функции и метрики) и изоморфны сингулярным гомологиям многообразия; это означает, что числа Морса и сингулярные числа Бетти совпадают, и дает немедленное доказательство неравенств Морса. Бесконечномерный аналог гомологии Морса в симплектической геометрии известен как гомологии Флоера .

Морса

Понятие функции Морса можно обобщить для рассмотрения функций, имеющих невырожденные многообразия критических точек. А Функция Морса–Ботта — это гладкая функция на многообразии, критическое множество которой представляет собой замкнутое подмногообразие и гессиан которого невырожден в нормальном направлении. (Точно говоря, ядро ​​гессиана в критической точке равно касательному пространству к критическому подмногообразию.) Функция Морса — это частный случай, когда критические многообразия нульмерны (поэтому гессиан в критических точках невырожден в каждом направление, то есть не имеет ядра).

Индекс наиболее естественно рассматривать как пару

$$\left(i_{-},i_{+}\right),$$

где $i_{-}$ - размерность неустойчивого многообразия в данной точке критического многообразия, а $i_{+}$ равно $i_{-}$плюс размер критического многообразия. Если функция Морса–Ботта возмущена малой функцией на критическом локусе, индекс всех критических точек возмущенной функции на критическом многообразии невозмущенной функции будет лежать между $i_{-}$ и $i_{+}.$

Функции Морса – Ботта полезны, потому что с общими функциями Морса трудно работать; Функции, которые можно визуализировать и с помощью которых можно легко вычислить, обычно обладают симметрией. Они часто приводят к критическим многообразиям положительной размерности. Рауль Ботт использовал теорию Морса-Ботта в своем оригинальном доказательстве теоремы о периодичности Ботта .

Круглые функции являются примерами функций Морса – Ботта, где критические множества представляют собой (непересекающиеся объединения) кругов.

Гомологии Морса также можно сформулировать для функций Морса – Ботта; дифференциал в гомологиях Морса–Ботта вычисляется с помощью спектральной последовательности . Фредерик Буржуа набросал подход в ходе своей работы над версией симплектической теории поля Морса – Ботта, но эта работа так и не была опубликована из-за существенных аналитических трудностей.

См. также

• Теория мин-макса Альмгрена-Питтса
• Цифровая теория Морса - цифровая адаптация континуальной теории Морса для данных скалярного объема.
• Дискретная теория Морса
• набор Якоби
• Лагранжев Грассманиан - пространство лагранжевых подпространств фиксированного симплектического векторного пространства. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• категория Люстерника–Шнирельмана – целочисленный гомотопический инвариант пространств; размер минимальной открытой обложки, состоящей из сжимаемых наборов. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Система Морса – Смейла
• Теорема о горном перевале - математическая теорема о достаточном условии существования седловой точки. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Лемма Сарда - Теорема математического анализа. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Стратифицированная теория Морса

Дальнейшее чтение

• Ботт, Рауль (1988). «Неукротимая теория Морса» . Публикации IHÉS по математике . 68 : 99–114. дои : 10.1007/bf02698544 . S2CID   54005577 .
• Ботт, Рауль (1982). «Лекции по теории Морса, старые и новые» . Бюллетень Американского математического общества . (НС). 7 (2): 331–358. дои : 10.1090/s0273-0979-1982-15038-8 .
• Кэли, Артур (1859). «О горизонталях и наклонных линиях» (PDF) . Философский журнал . 18 (120): 264–268.
• Гость, Мартин (2001). «Теория Морса в 1990-е годы». arXiv : math/0104155 .
• Хирш, М. (1994). Дифференциальная топология (2-е изд.). Спрингер.
• Косински, Антони А. (19 октября 2007 г.). Дифференциальные многообразия . Дуврская книга по математике (переиздание 1993 г.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-46244-8 . OCLC   853621933 .
• Ланг, Серж (1999). Основы дифференциальной геометрии . Тексты для аспирантов по математике . Том. 191. Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-98593-0 . OCLC   39379395 .
• Мацумото, Юкио (2002). Введение в теорию Морса .
• Максвелл, Джеймс Клерк (1870). «На холмах и долинах» (PDF) . Философский журнал . 40 (269): 421–427.
• Милнор, Джон (1963). Теория Морса . Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-08008-9 . Классический расширенный справочник по математике и математической физике.
• Милнор, Джон (1965). Лекции по теореме h-кобордизма (PDF) .
• Морс, Марстон (1934). Вариационное исчисление в целом . Публикация коллоквиума Американского математического общества. Том. 18. Нью-Йорк. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Шварц, Матиас (1993). Гомология Морса . Биркхойзер. ISBN  9780817629045 .