Гомологии Морса

В математике , особенно в области дифференциальной топологии , гомологии Морса — это теория гомологии, определенная для любого гладкого многообразия . Он построен с использованием гладкой структуры и вспомогательной метрики на многообразии, но оказывается топологически инвариантным и фактически изоморфен сингулярным гомологиям . Гомология Морса также служит моделью для различных бесконечномерных обобщений, известных как теории гомологии Флоера .

Формальное определение

Для любого (компактного) гладкого многообразия пусть f — функция Морса , а g — на риманова метрика многообразии. (Они являются вспомогательными; в конце концов, гомологии Морса не зависят ни от того, ни от другого.) Пара $(f,g)$ дает нам градиентное векторное поле. Мы говорим, что $(f,g)$ является Морсом–Смейлом, если устойчивое и нестабильное многообразия, связанные со всеми критическими точками f, пересекают друг друга трансверсально .

Для любой такой пары $(f,g)$, можно показать, что разница индексов между любыми двумя критическими точками равна размерности пространства модулей градиентных потоков между этими точками. существует одномерное пространство модулей потоков. Таким образом, между критической точкой индекса i и одной критической точкой индекса i $i-1$. Каждый поток может быть перепараметризован путем одномерного перевода в область определения. После модификации с помощью этих репараметризаций факторпространство становится нульмерным, то есть представляет собой набор ориентированных точек, представляющих непараметризованные линии потока.

Цепной комплекс $C_{*}(M,(f,g))$ тогда можно определить следующим образом. Множество цепочек представляет собой Z - модуль, порожденный критическими точками. Дифференциал d комплекса переводит критическую точку p индекса i в сумму индексов $(i-1)$ критические точки с коэффициентами, соответствующими (со знаком) количеству непараметризированных линий тока от p до тех, индекс- $(i-1)$ критические точки. Конечность числа таких линий тока следует из компактности пространства модулей.

Тот факт, что это определяет цепной комплекс (т. е. что $d^{2}=0$) следует из понимания того, как компактифицируются пространства модулей градиентных потоков . А именно, в $d^{2}(p)$ коэффициент индекса- $(i-2)$ критическая точка q - это (со знаком) количество разорванных потоков, состоящих из потока индекса 1 из p в некоторую критическую точку r индекса $i-1$ и еще один поток индекса-1 от r до q . Эти разорванные потоки в точности составляют границу пространства модулей потоков индекса-2: можно показать, что предел любой последовательности непрерывных потоков индекса-2 имеет такую ​​форму, и все такие разорванные потоки возникают как пределы непрерывного потока индекса-2. течет. Непараметризованные потоки индекса 2 входят в одномерные семейства, которые компактизуются в компактные одномногообразия с границами. Тот факт, что граница компактного одномногообразия имеет нулевой знак, доказывает, что $d^{2}(p)=0$.

гомологии

Можно показать, что гомологии этого комплекса не зависят от пары Морса–Смейла ( f , g ), используемой для его определения. гомотопию пар ( f _t , g _t ), которая интерполирует между любыми двумя заданными парами ( f ₀ , g ₀ ) и ( f ₁ , g ₁ Всегда можно определить ). Либо посредством анализа бифуркации , либо с помощью карты продолжения для определения карты цепочки из $C_{*}(M,(f_{0},g_{0}))$ к $C_{*}(M,(f_{1},g_{1}))$, можно показать, что две гомологии Морса изоморфны. Аналогичные рассуждения с использованием гомотопии гомотопий показывают, что этот изоморфизм каноничен.

Другой подход к доказательству инвариантности гомологии Морса состоит в том, чтобы связать ее непосредственно с сингулярными гомологиями. Можно определить отображение сингулярных гомологий, отправив критическую точку в особую цепь, связанную с нестабильным многообразием, связанным с этой точкой; и наоборот, сингулярная цепочка отправляется в предельные критические точки, достигнутые при прохождении цепочки с использованием векторного поля градиента. Самый простой способ сделать это строго — использовать теорию токов .

Изоморфизм с сингулярными гомологиями также можно доказать, продемонстрировав изоморфизм с клеточными гомологиями , рассматривая нестабильное многообразие, связанное с критической точкой индекса i, как i -клетку, и показывая, что граничные отображения в морсовском и клеточном комплексах соответствуют.

Родственные конструкции

Этот подход к теории Морса был в той или иной форме известен Рене Тому и Стивену Смейлу . Это также неявно содержится в Джона Милнора книге о теореме h-кобордизма .

Из того факта, что гомологии Морса изоморфны сингулярным гомологиям, неравенства Морса следуют с учетом количества образующих - то есть критических точек - необходимых для генерации групп гомологии соответствующих рангов (и с учетом усечения комплекса Морса , чтобы получить более сильное неравенство). Существование гомологии Морса «объясняет» в смысле категоризации неравенства Морса.

Эдвард Виттен предложил аналогичную конструкцию в начале 1980-х годов, иногда известную как теория Морса-Виттена .

Гомологии Морса могут быть расширены до конечномерных некомпактных или бесконечномерных многообразий, где индекс остается конечным, метрика полна и функция удовлетворяет условию компактности Пале – Смейла , например функционал энергии для геодезических на римановом многообразии . Обобщение на ситуации, в которых и индекс, и коиндекс бесконечны, но относительный индекс любой пары критических точек конечен, известен как гомологии Флоера .

Сергей Новиков обобщил эту конструкцию на теорию гомологии, связанную с замкнутой формой на многообразии. Гомологии Морса являются частным случаем одной формы df . Особым случаем теории Новикова является теория Морса с круговыми значениями , которую Майкл Хатчингс и Йи-Джен Ли связали с кручением Райдемайстера и теорией Зайберга-Виттена .

Морса

Гомологии Морса могут осуществляться в ситуации Морса–Ботта, т. е. когда вместо изолированных невырожденных критических точек функция имеет критические многообразия, касательное пространство которых в точке совпадает с ядром гессиана в этой точке. Такая ситуация будет иметь место всегда, если рассматриваемая функция инвариантна относительно недискретной группы Ли.

Чтобы описать полученный цепной комплекс и его гомологии, введите общую функцию Морса на каждом критическом подмногообразии. Цепочки будут состоять из путей, которые начинаются в критическом многообразии в критической точке вспомогательной функции Морса, следуют по градиентной траектории относительно некоторой метрики, а затем покидают подмногообразие, следуя по градиентному векторному полю функции Морса–Ботта до тех пор, пока не попадает в какое-то другое критическое многообразие; оно либо течет некоторое время по градиентной траектории, связанной с функцией Морса на этом критическом подмногообразии, а затем течет в другое критическое подмногообразие и т. д., либо течет до критической точки исходного подмногообразия и завершается. См. (Фрауэнфельдер). Этот подход к гомологиям Морса–Ботта появился в контексте неопубликованной работы Буржуа по контактным гомологиям , в которой критические подмногообразия являются множествами орбит Риба , а градиентные потоки между критическими подмногообразиями являются псевдоголоморфными кривыми в симплектизации контактного многообразия. асимптотичен орбитам Риба в соответствующих критических многообразиях орбит Риба.Если мы расширим каждую функцию Морса до функции на всем многообразии, поддерживаемой вблизи критических подмногообразий, мы можем явно записать функцию Морса–Смейла, которая возмущает исходную функцию Морса–Ботта. А именно, умножьте каждую из расширенных функций на некоторую небольшую положительную константу, просуммируйте их и добавьте результат к исходной функции Морса – Ботта. Описанные выше разбитые потоки будут C ⁰ близко к линиям тока этой функции Морса–Смейла.

Ссылки

• Баньяга, Огюстен ; Хуртубисе, Дэвид (2004). Лекции по гомологии Морса . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN  1-4020-2695-1 .
• Ботт, Рауль (1988). «Неукротимая теория Морса» . Публикации IHÉS по математике . 68 : 99–114. дои : 10.1007/BF02698544 . S2CID   54005577 .
• Фарбер, Майкл. Топология замкнутых одноформ. Американское математическое общество, 2004.
• Хатчингс, Майкл. Конспект лекций по гомологии Морса (с прицелом на теорию Флоера и псевдоголоморфные кривые) .
• Керман, Эли. Конспект лекций: От гомологии Морса к гомологии Флоера
• Новиков, Сергей. Многозначные функции и функционалы. Аналог теории Морса, Советская матем. Докл. 24 (1981), стр. 222–226. Перевод "Многозначные функции и функционалы. Аналог теории Морса". Doklady Akademii Nauk SSSR . 270 (1): 31–35.
• Дж. Йост, Риманова геометрия и геометрический анализ, четвертое издание, Universitext, Springer, 2005 г.
• Фрауэнфельдер, Урс (2004). «Гипотеза Арнольда – Гивенталя и моментная гомология Флоера» . Уведомления о международных математических исследованиях . 2004 (42): 2179–2269. arXiv : math.SG/0309373 . дои : 10.1155/S1073792804133941 . МР   2076142 .
• Виттен, Эдвард (1982). «Суперсимметрия и теория Морса» . Журнал дифференциальной геометрии . 17 (4): 661–692. дои : 10.4310/jdg/1214437492 .