Клеточная гомология

В математике алгебраической клеточная гомология в топологии — это теория гомологии категории CW-комплексов . Он согласуется с сингулярной гомологией и может предоставить эффективные средства вычисления модулей гомологии.

Определение

Если $X$ представляет собой CW-комплекс с n -скелетом $X_{n}$модули клеточной гомологии определяются как группы гомологий H _i комплекса клеточных цепей

$\cdots \to {C_{n+1}}(X_{n+1},X_{n})\to {C_{n}}(X_{n},X_{n-1})\to {C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})\to \cdots ,$

где $X_{-1}$ принимается за пустое множество.

Группа

${C_{n}}(X_{n},X_{n-1})$

является свободной абелевой , с образующими, которые можно отождествить с $n$-клетки $X$. Позволять $e_{n}^{\alpha }$ быть $n$-клетка $X$, и пусть $\chi _{n}^{\alpha }:\partial e_{n}^{\alpha }\cong \mathbb {S} ^{n-1}\to X_{n-1}$ быть прилагаемой картой. Затем рассмотрим состав

$\chi _{n}^{\alpha \beta }:\mathbb {S} ^{n-1}\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\partial e_{n}^{\alpha }\,{\stackrel {\chi _{n}^{\alpha }}{\longrightarrow }}\,X_{n-1}\,{\stackrel {q}{\longrightarrow }}\,X_{n-1}/\left(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\mathbb {S} ^{n-1},$

где первая карта идентифицирует $\mathbb {S} ^{n-1}$ с $\partial e_{n}^{\alpha }$ через характеристическую карту $\Phi _{n}^{\alpha }$ из $e_{n}^{\alpha }$, объект $e_{n-1}^{\beta }$ это $(n-1)$-ячейка X , третья карта $q$ это факторкарта, которая схлопывается $X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }$ до точки (таким образом оборачивая $e_{n-1}^{\beta }$ в сферу $\mathbb {S} ^{n-1}$), а последняя карта идентифицирует $X_{n-1}/\left(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)$ с $\mathbb {S} ^{n-1}$ через характеристическую карту $\Phi _{n-1}^{\beta }$ из $e_{n-1}^{\beta }$.

Карта границ

$\partial _{n}:{C_{n}}(X_{n},X_{n-1})\to {C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})$

тогда определяется формулой

${\partial _{n}}(e_{n}^{\alpha })=\sum _{\beta }\deg \left(\chi _{n}^{\alpha \beta }\right)e_{n-1}^{\beta },$

где $\deg \left(\chi _{n}^{\alpha \beta }\right)$ это степень ​ $\chi _{n}^{\alpha \beta }$ и сумма берется за все $(n-1)$-клетки $X$, рассматриваемые как генераторы ${C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})$.

Примеры

Следующие примеры иллюстрируют, почему вычисления, выполненные с использованием клеточной гомологии, часто более эффективны, чем вычисления, рассчитанные с использованием только сингулярной гомологии.

Н - сфера

сфера n -мерная S ^н допускает структуру CW с двумя ячейками: одной 0-ячейкой и одной n -ячейкой. Здесь n -ячейка присоединена постоянным отображением из $S^{n-1}$ в 0-клетку. Поскольку генераторы групп клеточных цепей ${C_{k}}(S_{k}^{n},S_{k-1}^{n})$ можно отождествить с k -клетками S ^н , у нас это есть ${C_{k}}(S_{k}^{n},S_{k-1}^{n})=\mathbb {Z}$ для $k=0,n,$ и в остальном тривиально.

Следовательно, для $n>1$, результирующий цепной комплекс

$\dotsb {\overset {\partial _{n+2}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\longrightarrow \,}0,$

но тогда, поскольку все граничные отображения относятся либо к тривиальным группам, либо из них, все они должны быть равны нулю, а это означает, что группы клеточных гомологий равны

$H_{k}(S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

Когда $n=1$, можно проверить, что карта границ $\partial _{1}$ равно нулю, что означает, что приведенная выше формула справедлива для всех положительных $n$.

Род g поверхность

Клеточная гомология также может быть использована для расчета гомологии рода g. поверхности $\Sigma _{g}$. Фундаментальный многоугольник ​ $\Sigma _{g}$ это $4n$-gon, который дает $\Sigma _{g}$ CW-структура с одной 2-ячейкой, $2n$ 1-ячейки и одна 0-ячейка. 2-ячейка прикрепляется вдоль границы $4n$-gon, который содержит каждую 1-ячейку дважды, один раз вперед и один раз назад. Это означает, что карта присоединения равна нулю, поскольку направления вперед и назад каждой 1-ячейки компенсируются. Аналогично, карта присоединения для каждой 1-ячейки также равна нулю, поскольку это постоянное отображение из $S^{0}$ в 0-клетку. Следовательно, полученный цепной комплекс имеет вид

$\cdots \to 0\xrightarrow {\partial _{3}} \mathbb {Z} \xrightarrow {\partial _{2}} \mathbb {Z} ^{2g}\xrightarrow {\partial _{1}} \mathbb {Z} \to 0,$

где все карты границ равны нулю. Следовательно, это означает, что клеточная гомология поверхности рода g определяется выражением

$H_{k}(\Sigma _{g})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} ^{2g}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

Аналогичным образом можно построить поверхность рода g с поперечной крышкой, прикрепленной в виде комплекса CW с 1 0-клеткой, g 1-клеткой и 1 2-клеткой. Его группы гомологии

$$H_{k}(\Sigma _{g})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} ^{g-1}\oplus \mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$$

Тор

n-тор $(S^{1})^{n}$ может быть построен как комплекс CW с 1 0-клеткой, n 1-клетками, ... и 1 n-клеткой. Цепной комплекс – это

$$0\to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{n}}\to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{n-1}}\to \cdots \to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{1}}\to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{0}}\to 0$$

и все карты границ равны нулю. Это можно понять, явно построив случаи для $n=0,1,2,3$, затем посмотрите образец.

Таким образом, $H_{k}((S^{1})^{n})\simeq \mathbb {Z} ^{\binom {n}{k}}$ .

Сложное проективное пространство

Если $X$ не имеет ячеек смежных измерений (поэтому, если у него есть n-ячеек, у него нет (n-1)-ячеек и (n+1)-ячеек), тогда $H_{n}^{CW}(X)$ — свободная абелева группа, порожденная своими n-ячейками для каждой $n$.

Сложное проективное пространство $P^{n}\mathbb {C}$ получается путем склеивания 0-ячейки, 2-ячейки, ... и (2n)-ячейки, таким образом $H_{k}(P^{n}\mathbb {C} )=\mathbb {Z}$ для $k=0,2,...,2n$, и ноль в противном случае.

Реальное проективное пространство

Настоящее проективное пространство $\mathbb {R} P^{n}$ допускает CW-структуру с одним $k$-клетка $e_{k}$ для всех $k\in \{0,1,\dots ,n\}$.Прилагаемая карта для этих $k$-клеток задается 2-кратным покрывающим отображением $\varphi _{k}\colon S^{k-1}\to \mathbb {R} P^{k-1}$.(Обратите внимание, что $k$-скелет $\mathbb {R} P_{k}^{n}\cong \mathbb {R} P^{k}$ для всех $k\in \{0,1,\dots ,n\}$.)Обратите внимание, что в этом случае $C_{k}(\mathbb {R} P_{k}^{n},\mathbb {R} P_{k-1}^{n})\cong \mathbb {Z}$ для всех $k\in \{0,1,\dots ,n\}$.

Чтобы вычислить карту границ

$\partial _{k}\colon C_{k}(\mathbb {R} P_{k}^{n},\mathbb {R} P_{k-1}^{n})\to C_{k-1}(\mathbb {R} P_{k-1}^{n},\mathbb {R} P_{k-2}^{n}),$

нам нужно найти степень отображения

$\chi _{k}\colon S^{k-1}{\overset {\varphi _{k}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} P^{k-1}{\overset {q_{k}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} P^{k-1}/\mathbb {R} P^{k-2}\cong S^{k-1}.$

Теперь обратите внимание, что $\varphi _{k}^{-1}(\mathbb {R} P^{k-2})=S^{k-2}\subseteq S^{k-1}$, и для каждой точки $x\in \mathbb {R} P^{k-1}\setminus \mathbb {R} P^{k-2}$, у нас это есть $\varphi ^{-1}(\{x\})$ состоит из двух точек, по одной в каждой связной компоненте (открытой полусфере) $S^{k-1}\setminus S^{k-2}$.Таким образом, чтобы найти степень отображения $\chi _{k}$, достаточно найти локальные степени $\chi _{k}$ на каждом из этих открытых полушарий.Для удобства обозначений положим $B_{k}$ и ${\tilde {B}}_{k}$ обозначим компоненты связности $S^{k-1}\setminus S^{k-2}$. Затем $\chi _{k}|_{B_{k}}$ и $\chi _{k}|_{{\tilde {B}}_{k}}$ являются гомеоморфизмами, а $\chi _{k}|_{{\tilde {B}}_{k}}=\chi _{k}|_{B_{k}}\circ A$, где $A$ это антиподальная карта.Теперь степень антиподального отображения на $S^{k-1}$ является $(-1)^{k}$.Отсюда, без ограничения общности, имеем, что локальная степень $\chi _{k}$ на $B_{k}$ является $1$ и местная степень $\chi _{k}$ на ${\tilde {B}}_{k}$ является $(-1)^{k}$.Добавляя местные степени, мы получаем, что

$\deg(\chi _{k})=1+(-1)^{k}={\begin{cases}2&{\text{if }}k{\text{ is even,}}\\0&{\text{if }}k{\text{ is odd.}}\end{cases}}$

Карта границ $\partial _{k}$ затем дается $\deg(\chi _{k})$.

Таким образом, мы имеем, что CW-структура на $\mathbb {R} P^{n}$ приводит к следующему цепному комплексу:

$0\longrightarrow \mathbb {Z} {\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {2}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\overset {0}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\overset {2}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\overset {0}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} \longrightarrow 0,$

где $\partial _{n}=2$ если $n$ четный и $\partial _{n}=0$ если $n$ странно.Следовательно, группы клеточной гомологии для $\mathbb {R} P^{n}$ следующие:

$H_{k}(\mathbb {R} P^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &{\text{if }}k=0{\text{ and }}k=n{\text{ odd}},\\\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} &{\text{if }}0<k<n{\text{ odd,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

Другая недвижимость

Из комплекса клеточных цепей видно, что $n$-скелет определяет все модули гомологии меньшей размерности:

${H_{k}}(X)\cong {H_{k}}(X_{n})$

для $k<n$.

Важным следствием этой клеточной точки зрения является то, что если CW-комплекс не имеет клеток в последовательных измерениях, то все его модули гомологии свободны. Например, сложное проективное пространство $\mathbb {CP} ^{n}$ имеет ячеистую структуру с одной ячейкой в ​​каждом четном измерении; отсюда следует, что для $0\leq k\leq n$,

${H_{2k}}(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$

и

${H_{2k+1}}(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )=0.$

Обобщение

Спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха представляет собой аналогичный метод вычисления (ко) гомологий CW-комплекса для произвольной экстраординарной теории (ко) гомологий .

Эйлерова характеристика

Для клеточного комплекса $X$, позволять $X_{j}$ быть его $j$-й скелет, и $c_{j}$ быть числом $j$-ячейки, т. е. ранг свободного модуля ${C_{j}}(X_{j},X_{j-1})$. Эйлерова характеристика ​ $X$ затем определяется

$\chi (X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}c_{j}.$

Эйлерова характеристика является гомотопическим инвариантом. Действительно, с точки зрения Бетти чисел $X$,

$\chi (X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\operatorname {Rank} ({H_{j}}(X)).$

Это можно обосновать следующим образом. Рассмотрим длинную точную последовательность относительных гомологий тройки $(X_{n},X_{n-1},\varnothing )$:

$\cdots \to {H_{i}}(X_{n-1},\varnothing )\to {H_{i}}(X_{n},\varnothing )\to {H_{i}}(X_{n},X_{n-1})\to \cdots .$

Погоня за точностью последовательности дает

$\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},\varnothing ))=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},X_{n-1}))+\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n-1},\varnothing )).$

Тот же расчет применим и к тройкам $(X_{n-1},X_{n-2},\varnothing )$, $(X_{n-2},X_{n-3},\varnothing )$и т. д. По индукции

$\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\;\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},\varnothing ))=\sum _{j=0}^{n}\sum _{i=0}^{j}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{j},X_{j-1}))=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}c_{j}.$

Ссылки

• Альбрехт Дольд : Лекции по алгебраической топологии , Спрингер ISBN   3-540-58660-1 .
• Аллен Хэтчер : Алгебраическая топология , Издательство Кембриджского университета ISBN   978-0-521-79540-1 . Бесплатная электронная версия доступна на домашней странице автора .