Реальное проективное пространство

В математике пространство реальное проективное обозначается $\mathbb {RP} ^{n}$ или $\mathbb {P} _{n}(\mathbb {R} ),$ - топологическое пространство прямых , проходящих через начало координат 0 в реальном пространстве. $\mathbb {R} ^{n+1}.$ Это компактное гладкое многообразие размерности n $.$ и является частным случаем $\mathbf {Gr} (1,\mathbb {R} ^{n+1})$ пространства грассманова .

Основные свойства [ править ]

Строительство [ править ]

Как и все проективные пространства , RP ^н формируется путем фактора R $взятия п +1 ∖ {0}$ при условии эквивалентности $x \sim λx$ для всех действительных чисел $λ \neq 0$ . Для всех x в $R п +1 ∖ {0}$ всегда можно найти λ такой, что λx имеет норму 1. Таких λ, отличающихся знаком, ровно два.

Таким образом, РП ^н также может быть сформировано путем выявления противоположных точек единичной n - сферы , S ^н, в Р ^{п +1}.

Далее можно ограничиться верхней полусферой S. ^н и просто определить противоположные точки на ограничивающем экваторе. Это показывает, что РП ^н также эквивалентен замкнутому n -мерному диску D ^н, с противоположными точками на границе, $\partial D н = С п -1$ , идентифицирован.

Низкоразмерные примеры [ править ]

РП ¹ называется вещественной проективной прямой , которая топологически эквивалентна окружности .
РП ² называется действительной проективной плоскостью . Это пространство не может быть вложено в R ³. Однако его можно встроить в R ⁴ и может быть погружен в R ³ (см. здесь ). Вопросы вложимости и погружаемости проективного n -пространства хорошо изучены. ^[1]
РП ³ является ( диффеоморфным ) SO(3) и, следовательно, допускает групповую структуру; покрывающее отображение S ³ → РП ³ — отображение групп Spin(3) → SO(3), где Spin(3) — группа Ли , являющаяся универсальным накрытием SO(3).

Топология [ править ]

Антиподальное отображение на n -сфере (отображение, отправляющее x в − x ) порождает Z ₂ групповое действие на S ^н. Как упоминалось выше, орбитальное пространство для этого действия — RP ^н. Это действие на самом деле является действием покрытия пространства, дающим S ^н как обложка РП двойная ^н. Поскольку С ^н односвязно при ≥ n служит универсальным накрытием 2, оно и в этих случаях . Отсюда следует, что группа RP фундаментальная ^н является Z _2, когда n > 1. (Когда n = 1 фундаментальная группа является Z из-за гомеоморфизма с S ¹). Генератор фундаментальной группы — это замкнутая кривая, полученная проектированием любой кривой, соединяющей противоположные точки в S. ^н вплоть до РП ^н.

Проективное n -пространство компактно, связно и имеет фундаментальную группу, изоморфную циклической группе порядка 2: его универсальное накрывающее пространство задается фактор-отображением антиподий из n -сферы, односвязного пространства. Это двойная крышка . Отображение антипода на R ^п имеет знак $(-1)^{p}$ , поэтому он сохраняет ориентацию тогда и только тогда, когда p четно. Таким образом, характер ориентации таков: нетривиальный цикл в $\pi _{1}(\mathbf {RP} ^{n})$ действует как $(-1)^{n+1}$ по ориентации, так что РП ^н ориентируем тогда и только тогда, когда $n + 1$ четно, т. е. n нечетно. ^[2]

Проективное n -пространство фактически диффеоморфно подмногообразию R ^{( п +1) ²} состоящая из всех симметричных $(n + 1) \times (n + 1)$ матриц следа 1, которые также являются идемпотентными линейными преобразованиями. ^{[ нужна ссылка ]}

Геометрия реальных проективных пространств [ править ]

Реальное проективное пространство допускает постоянную положительную скалярную метрику кривизны, возникающую в результате двойного покрытия стандартной круглой сферой (антиподальное отображение является локальной изометрией).

Для стандартной круглой метрики кривизна сечения равна 1.

В стандартной круглой метрике мера проективного пространства равна ровно половине меры сферы.

Гладкая структура [ править ]

Реальные проективные пространства представляют собой гладкие многообразия . На С ^н, в однородных координатах ( x ₁ , ..., x _{n +1} ), рассмотрим подмножество U _i с x _i ≠ 0. Каждый U _i гомеоморфен непересекающемуся объединению двух открытых единичных шаров в R ^н которые соответствуют тому же подмножеству RP ^н и функции перехода координат плавные. Это дает РП ^н структура гладкая .

Структура как комплекса КС [ править ]

Реальное проективное пространство РП ^н допускает структуру комплекса CW с одной ячейкой в каждом измерении.

В однородных координатах ( x ₁ ... x _{n +1} ) на S ^н, координатная окрестность U ₁ знак равно {( x ₁ ... x _{n +1} ) | x ₁ ≠ 0} можно отождествить с внутренностью n -диска D ^н. Когда x _i = 0, имеется RP ^{п -1}. Следовательно, n −1 скелет RP ^н это РП ^{п -1}, и присоединяющее отображение f : S ^{п -1} → РП ^{п -1} является покрывающей картой 2 к 1. Можно положить

\mathbf {RP} ^{n}=\mathbf {RP} ^{n-1}\cup _{f}D^{n}.

Индукция показывает, что RP ^н представляет собой комплекс CW с одной ячейкой в каждом измерении до n .

Клетки являются клетками Шуберта , как на многообразии флагов . То есть возьмем полный флаг (скажем, стандартный флаг) 0 = V ₀ < V ₁ <...< V _n ; тогда замкнутая k -ячейка — это линии, лежащие в V _k . Также открытая k -ячейка (внутренняя часть k -ячейки) представляет собой линии из $V k \ V k −1$ (линии из V _k , но не из V _{k −1} ).

В однородных координатах (относительно флага) ячейки имеют вид

{\begin{array}{c}[*:0:0:\dots :0]\\{[}*:*:0:\dots :0]\\\vdots \\{[}*:*:*:\dots :*].\end{array}}

Это не обычная структура CW, так как прикрепляемые карты имеют соотношение 2 к 1. Однако его покрытие представляет собой обычную структуру CW на сфере с двумя ячейками в каждом измерении; действительно, минимальная регулярная структура CW на сфере.

В свете гладкой структуры существование функции Морса показало бы, что RP ^н представляет собой комплекс CW. Одна из таких функций в однородных координатах задается формулой:

g(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}i\cdot |x_{i}|^{2}.

В каждой окрестности U _i i g имеет невырожденную критическую точку (0,...,1,...,0), где 1 встречается на - й позиции с индексом Морса i . Это показывает РП ^н представляет собой комплекс CW с одной ячейкой в каждом измерении.

Тавтологические расслоения [ править ]

Реальное проективное пространство имеет над собой естественное линейное расслоение , называемое тавтологическим расслоением . Точнее, это называется тавтологическим подрасслоением, а также существует двойственное n -мерное расслоение, называемое тавтологическим факторрасслоением.

реальных проективных Алгебраическая топология пространств

Гомотопические группы [ править ]

Высшие гомотопические группы RP ^н являются в точности высшими гомотопическими группами S ^нчерез длинную точную гомотопическую последовательность, связанную с расслоением .

Явно пучок волокон представляет собой:

\mathbf {Z} _{2}\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}.

Вы также можете написать это как

S^{0}\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}

или

O(1)\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}

по аналогии со сложным проективным пространством .

Гомотопические группы:

\pi _{i}(\mathbf {RP} ^{n})={\begin{cases}0&i=0\\\mathbf {Z} &i=1,n=1\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &i=1,n>1\\\pi _{i}(S^{n})&i>1,n>0.\end{cases}}

Гомология [ править ]

Комплекс клеточных цепочек, связанный с вышеуказанной структурой CW, имеет по 1 ячейке в каждом измерении 0,..., n . Для каждого размерного k граничные отображения d _k : δ D ^к → РП ^{к -1}/ Р.П. ^{к -2} это карта, которая сжимает экватор на S ^{к -1} а затем определяет противоположные точки. В нечетных (соответственно четных) измерениях он имеет степень 0 (соответственно 2):

\deg(d_{k})=1+(-1)^{k}.

Таким образом, интегральная гомология равна

H_{i}(\mathbf {RP} ^{n})={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\text{ or }}i=n{\text{ odd,}}\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{odd,}}\\0&{\text{else.}}\end{cases}}

РП ^н ориентируется тогда и только тогда, когда n нечетно, как показывает приведенное выше вычисление гомологии.

пространство проективное Бесконечное реальное

Бесконечное действительное проективное пространство строится как прямой предел или объединение конечных проективных пространств:

\mathbf {RP} ^{\infty }:=\lim _{n}\mathbf {RP} ^{n}.

Это пространство является классифицирующим пространством O (1) — первой ортогональной группы .

Двойной оболочкой этого пространства является бесконечная сфера. $S^{\infty }$ , который является сжимаемым. Таким образом, бесконечное проективное пространство — это пространство Эйленберга–Маклейна K ( Z ₂ , 1).

Для каждого неотрицательного целого числа q группа гомологии по модулю 2 $H_{q}(\mathbf {RP} ^{\infty };\mathbf {Z} /2)=\mathbf {Z} /2$ .

Его кольцо когомологий по модулю 2 есть

H^{*}(\mathbf {RP} ^{\infty };\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} [w_{1}],

где

w_{1}

это первый класс Штифеля-Уитни : это свободный

\mathbf {Z} /2\mathbf {Z}

-алгебра на

w_{1}

, который имеет степень 1.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ См. библиографию и список результатов в таблице Дона Дэвиса.
^ Дж. Т. Влока; Б. Роули; Б. Лаврук (1995). Краевые задачи для эллиптических систем . Издательство Кембриджского университета. п. 197. ИСБН 978-0-521-43011-1 .

Ссылки [ править ]

Бредон, Глен . Топология и геометрия , Тексты для аспирантов по математике, Springer Verlag, 1993, 1996.
Дэвис, Дональд. «Таблица погружений и вложений вещественных проективных пространств» . Проверено 22 сентября 2011 г.
Хэтчер, Аллен (2001). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-79160-1 .

[1] См. библиографию и список результатов в таблице Дона Дэвиса.

[2] Дж. Т. Влока; Б. Роули; Б. Лаврук (1995). Краевые задачи для эллиптических систем . Издательство Кембриджского университета. п. 197. ИСБН 978-0-521-43011-1 .

[1]

[2]