сорт Шуберта

В алгебраической геометрии многообразием Шуберта некоторое подмногообразие грассманиана . называется $\mathbf {Gr} _{k}(V)$ из $k$ -мерные подпространства векторного пространства $V$ , обычно с особыми точками . Подобно грассманиану, это своего рода пространство модулей , элементы которого удовлетворяют условиям, ограничивающим снизу размерность пересечений его элементов. $w\subset V$ , с элементами указанного флага завершения. Здесь $V$ может быть векторным пространством над произвольным полем , но чаще всего это действительные или комплексные числа .

Типичным примером является набор $X$ из $2$ -мерные подпространства $w\subset V$ четырехмерного пространства $V$ пересекающие фиксированное (опорное) двумерное подпространство $V_{2}$ нетривиально.

X\ =\ \{w\subset V\mid \dim(w)=2,\,\dim(w\cap V_{2})\geq 1\}.

В поле действительных чисел это можно изобразить в обычном xyz -пространстве следующим образом. Замена подпространств соответствующими проективными пространствами и пересечение с аффинным координатным участком $\mathbb {P} (V)$ , получим открытое подмножество X ° ⊂ X . Это изоморфно множеству всех линий L (не обязательно проходящих через начало координат), которые пересекают ось x . Каждая такая линия L соответствует точке Х °, а непрерывное перемещение L в пространстве (с сохранением контакта с осью х ) соответствует кривой Х °. имеется три степени свободы Поскольку при перемещении L (перемещение точки по оси x , вращение и наклон), X является трехмерным вещественным алгебраическим многообразием . Однако когда L равна оси x можно вращать или наклонять вокруг любой точки оси, и этот избыток возможных движений делает L особой точкой X. , ее

В более общем смысле, разновидность Шуберта в $\mathbf {Gr} _{k}(V)$ определяется путем указания минимальной размерности пересечения $k$ -мерное подпространство $w\subset V$ с каждым из пробелов в фиксированном флаге завершения ссылки $V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V$ , где $\dim V_{j}=j$ . (В приведенном выше примере это означало бы требование определенных пересечений линии L с осью x и плоскостью xy .)

В еще большей общности для полупростой алгебраической группы $G$ с подгруппой Бореля $B$ и стандартная параболическая подгруппа $P$ , известно, что однородное пространство $G/P$ , который является примером многообразия флагов , состоит из конечного числа $B$ -орбиты, которые могут быть параметризованы определенными элементами $w\in W$ Вейля группы $W$ . Закрытие $B$ -орбита, связанная с элементом $w\in W$ обозначается $X_{w}$ и называется многообразием Шуберта в $G/P$ . Классический случай соответствует $G=SL_{n}$ , с $P=P_{k}$ , $k$ -я максимальная параболическая подгруппа $SL_{n}$ , так что $G/P=\mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {C} ^{n})$ является грассманианом $k$ -самолеты в $\mathbf {C} ^{n}$ .

Значение

Многообразия Шуберта образуют один из важнейших и наиболее изученных классов сингулярных алгебраических многообразий . Определенную меру сингулярности многообразий Шуберта обеспечивают полиномы Каждана–Люстига , которые кодируют их локальные когомологии пересечения Гореского–Макферсона .

Алгебры регулярных функций на многообразиях Шуберта имеют глубокое значение в алгебраической комбинаторике и являются примерами алгебр с законом выпрямления . (Ко)гомологии грассманиана и, в более общем смысле, более общих многообразий флагов, имеют основу, состоящую из классов (ко)гомологий многообразий Шуберта или циклов Шуберта . Изучение теории пересечений грассманиана было начато Германом Шубертом и продолжено Цойтеном в 19 веке под названием перечислительной геометрии . Эта область считалась Дэвидом Гильбертом достаточно важной, чтобы быть включенной в качестве пятнадцатой из его знаменитых 23 задач . Исследование продолжалось в 20-м веке как часть общего развития алгебраической топологии и теории представлений х годах, начиная с работы Уильяма Фултона по локусам вырождения и полиномам Шуберта , продолжая более ранние исследования Бернштейна - Гельфанда- , но ускорилось в 1990 - Гельфанд и Демазюр в теории представлений в 1970-е гг. Ласку и Шютценбергер занимались комбинаторикой в 1980-х годах, а Фултон и Макферсон - теорией пересечений сингулярных алгебраических многообразий также в 1980-х годах.

См. также

Ссылки

Гриффитс, Пенсильвания ; Харрис, Дж. Э. (1994). Основы алгебраической геометрии . Издание Wiley Classics Library. Уайли-Интерсайенс. дои : 10.1002/9781118032527 . ISBN 0-471-05059-8 .
А. Л. Онищик (2001) [1994], «Многообразие Шуберта» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Х. Шуберт , решение проблемы характеристик линейных пространств произвольных размеров Mitt Gesellschaft Hamburg, 1 (1889) стр. 134–155.
Фултон, Уильям (1997). Молодые Таблицы. С приложениями к теории представлений и геометрии, гл. 5 и 9.4 . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 35. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511626241 . ISBN 9780521567244 .
Фултон, Уильям (1998). Теория пересечений . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98549-7 . МР 1644323 .