Гомология пересечения

В топологии , разделе математики , гомологии пересечений — это аналог сингулярных гомологии, особенно хорошо подходящий для изучения сингулярных пространств , открытый Марком Горески и Робертом Макферсоном осенью 1974 года и развитый ими в течение следующих нескольких лет.

Когомологии пересечения использовались для доказательства гипотез Каждана–Люстига и соответствия Римана–Гильберта . Он тесно связан с Л. ² когомологии .

Подход Горески-Макферсона

Группы гомологий компактного связного , ориентированного , спаривание двойственностью n -мерного многообразия X обладают фундаментальным свойством, называемым Пуанкаре : существует совершенное

$H_{i}(X,\mathbb {Q} )\times H_{n-i}(X,\mathbb {Q} )\to H_{0}(X,\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} .$

Классически — начиная, например, с Анри Пуанкаре — эта двойственность понималась в терминах теории пересечений . Элемент

$H_{j}(X)$

представляется j -мерным циклом. Если i -мерный и $(n-i)$-мерный цикл находятся в общем положении , то их пересечение представляет собой конечный набор точек. Используя ориентацию X, можно приписать каждой из этих точек знак; другими словами, пересечение дает 0 -мерный цикл. Можно доказать, что класс гомологий этого цикла зависит только от классов гомологий исходных i - и $(n-i)$-мерные циклы; кроме того, можно доказать, что это спаривание совершенно .

Когда X имеет особенности , то есть когда в пространстве есть места, не похожие на $\mathbb {R} ^{n}$— эти идеи терпят крах. Например, больше невозможно понять понятие «общего положения» циклов. Горески и Макферсон ввели класс «допустимых» циклов, общее положение которых имеет смысл. Они ввели отношение эквивалентности для допустимых циклов (где только «допустимые границы» эквивалентны нулю) и назвали группу

$IH_{i}(X)$

- мерных i допустимых циклов по модулю этого отношения эквивалентности «гомологии пересечения». Кроме того, они показали, что пересечение i- и an $(n-i)$-мерный допустимый цикл дает (обычный) нулевой цикл, класс гомологии которого четко определен.

Расслоение

Гомологии пересечений первоначально были определены на подходящих пространствах со стратификацией , хотя группы часто оказываются независимыми от выбора стратификации. Существует множество различных определений стратифицированных пространств. Удобным для гомологии пересечений является n -мерное топологическое псевдомногообразие . Это ( паракомпактное , хаусдорфово ) пространство X , имеющее фильтрацию

$\emptyset =X_{-1}\subset X_{0}\subset X_{1}\subset \cdots \subset X_{n}=X$

X : замкнутыми подпространствами такими, что

• Для каждого i и для каждой x точки $X_{i}\setminus X_{i-1}$, существует окрестность $U\subset X$ x , в X компакт $(n-i-1)$-мерное стратифицированное пространство L и сохраняющий фильтрацию гомеоморфизм $U\cong \mathbb {R} ^{i}\times CL$. Здесь $CL$ — открытый конус на L .
• $X_{n-1}=X_{n-2}$.
• $X\setminus X_{n-1}$ плотно X. в

Если X — топологическое псевдомногообразие, i мерный слой X - — это пространство $X_{i}\setminus X_{i-1}$.

Примеры:

• Если X — n -мерный симплициальный комплекс такой, что каждый симплекс содержится в n -симплексе, а n -1 симплекс содержится ровно в двух n -симплексах, то базовое пространство X является топологическим псевдомногообразием.
• Если X — любое комплексное квазипроективное многообразие (возможно, с особенностями), то его основное пространство — топологическое псевдомногообразие со всеми слоями четной размерности.

Извращения

Группы гомологии пересечения $I^{\mathbf {p} }H_{i}(X)$ зависеть от выбора извращенности $\mathbf {p}$, который измеряет, насколько циклам разрешено отклоняться от трансверсальности. (Происхождение названия «перверсия» объяснил Горески (2010) .) Перверсивность $\mathbf {p}$ это функция

$\mathbf {p} \colon \mathbb {Z} _{\geq 2}\to \mathbb {Z}$

из целых чисел $\geq 2$ целым числам таким, что

• $\mathbf {p} (2)=0$.
• $\mathbf {p} (k+1)-\mathbf {p} (k)\in \{0,1\}$.

Второе условие используется для того, чтобы показать инвариантность групп гомологий пересечений при изменении стратификации.

Дополнительная извращенность $\mathbf {q}$ из $\mathbf {p}$ это тот, у кого

$\mathbf {p} (k)+\mathbf {q} (k)=k-2$.

Группы пересечений гомологий дополнительной размерности и дополнительной перверсивности дуально спарены.

Примеры извращений

• Минимальная извращенность имеет $p(k)=0$. Его дополнением является максимальная извращенность с $q(k)=k-2$.
• (Нижняя) средняя порочность m определяется формулой $m(k)=[(k-2)/2]$, часть целая $(k-2)/2$. Его дополнением является порочность высшего среднего класса, с ценностями $[(k-1)/2]$. Если извращенность не указана, то обычно имеется в виду низшая средняя извращенность. Если пространство можно расслоить на все слои четной размерности (например, любое комплексное многообразие), то группы гомологий пересечений не зависят от значений извращений для нечетных целых чисел, поэтому извращения верхнего и нижнего среднего уровня эквивалентны.

сингулярного

Зафиксируем топологическое псевдомногообразие X размерности n с некоторой стратификацией и извращением p .

Отображение σ из стандартного i -симплекса $\Delta ^{i}$ X , (сингулярный симплекс) называется допустимым если

$\sigma ^{-1}\left(X_{n-k}\setminus X_{n-k-1}\right)$

содержится в $i-k+p(k)$ скелет $\Delta ^{i}$.

Комплекс $I^{p}(X)$ — подкомплекс комплекса сингулярных цепей на X , состоящий из всех сингулярных цепей таких, что и цепочка, и ее граница являются линейными комбинациями допустимых сингулярных симплексов. Группы гомологий особых пересечений (с извращенностью p )

$I^{p}H_{i}(X)$

являются группами гомологии этого комплекса.

Если X имеет триангуляцию, совместимую со стратификацией, то симплициальные группы гомологий пересечений могут быть определены аналогичным образом и естественно изоморфны группам гомологий сингулярных пересечений.

Группы гомологий пересечений не зависят от выбора стратификации X .

Если X — топологическое многообразие, то группы гомологий пересечений (при любой извращенности) такие же, как и обычные группы гомологий.

Маленькие разрешения

Разрешение особенностей

$f:X\to Y$

комплексного многообразия Y называется малой резольвентой , если для любого r > 0 пространство точек Y , где слой имеет размерность r, имеет коразмерность больше 2 r . Грубо говоря, это означает, что большинство волокон маленькие. В этом случае морфизм индуцирует изоморфизм гомологии (пересечения) X к гомологиям пересечений Y (со средней извращенностью).

Существует разновидность с двумя разными малыми разрешениями, которые имеют разную кольцевую структуру в своих когомологиях, что показывает, что в общем случае не существует естественной кольцевой структуры в (ко)гомологиях пересечения.

Теория снопа

Формула Делиня для когомологий пересечения утверждает, что

$I^{p}H_{n-i}(X)=I^{p}H^{i}(X)=H_{c}^{i}(IC_{p}(X))$

где $IC_{p}(X)$ — комплекс пересечений, некоторый комплекс конструктивных пучков на X (рассматриваемый как элемент производной категории, поэтому когомологии справа означают гиперкогомологии комплекса). Комплекс $IC_{p}(X)$ задается, начиная с постоянного пучка на открытом множестве $X\setminus X_{n-2}$ и неоднократно расширяя его до более крупных открытых наборов $X\setminus X_{n-k}$ а затем усечение его в производной категории; точнее оно дается формулой Делиня

$IC_{p}(X)=\tau _{\leq p(n)-n}\mathbf {R} i_{n*}\tau _{\leq p(n-1)-n}\mathbf {R} i_{n-1*}\cdots \tau _{\leq p(2)-n}\mathbf {R} i_{2*}\mathbb {C} _{X\setminus X_{n-2}}$

где $\tau _{\leq p}$ является функтором усечения в производной категории, $i_{k}$ это включение $X\setminus X_{n-k}$ в $X\setminus X_{n-k-1}$, и $\mathbb {C} _{X\setminus X_{n-2}}$ постоянный пучок на $X\setminus X_{n-2}$.

Путем замены постоянного связки на $X\setminus X_{n-2}$ с локальной системой можно использовать формулу Делиня для определения когомологий пересечения с коэффициентами в локальной системе.

Примеры

Дана гладкая эллиптическая кривая $X\subset \mathbb {CP} ^{2}$ определяется кубическим однородным полиномом $f$, такой как $x^{3}+y^{3}+z^{3}$, аффинный конус $\mathbb {V} (f)\subset \mathbb {C} ^{3}$ имеет изолированную особенность в начале координат, так как $f(0)=0$ и все частные производные $\partial _{i}f(0)=0$ исчезнуть. Это происходит потому, что он однороден по степени $3$, а производные однородны степени 2. Полагая $U=\mathbb {V} (f)-\{0\}$ и $i:U\hookrightarrow X$ карта включения, комплекс пересечений $IC_{\mathbb {V} (f)}$ дается как

$$\tau _{\leq 1}\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}$$

Это можно вычислить явно, взглянув на стебли когомологий. В $p\in \mathbb {V} (f)$ где $p\neq 0$ полученное продвижение представляет собой тождественное отображение в гладкой точке, следовательно, единственно возможные когомологии сосредоточены в степени $0$. Для $p=0$ когомологии более интересны, поскольку

$$\mathbf {R} ^{k}i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}=\mathop {\underset {V\subset U}{\text{colim}}} H^{k}(V;\mathbb {Q} )$$

для $V$ где закрытие $i(V)$ содержит происхождение $p=0$. Поскольку любой такой $V$ можно уточнить, рассмотрев пересечение открытого диска в $\mathbb {C} ^{3}$ с $U$, мы можем просто вычислить когомологии $H^{k}(U;\mathbb {Q} )$. Это можно сделать, наблюдая $U$ это $\mathbb {C} ^{*}$ расслоение над эллиптической кривой $X$, гиперплоское расслоение и последовательность Ванга дают группы когомологий

$${\begin{aligned}H^{0}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{0}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} \\H^{1}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{1}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} ^{\oplus 2}\\H^{2}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{1}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} ^{\oplus 2}\\H^{3}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{2}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} \\\end{aligned}}$$

следовательно, пучки когомологий на стебле $p=0$ являются

$${\begin{matrix}{\mathcal {H}}^{2}\left(\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}\right)&=&\mathbb {Q} _{p=0}\\{\mathcal {H}}^{1}\left(\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}\right)&=&\mathbb {Q} _{p=0}^{\oplus 2}\\{\mathcal {H}}^{0}\left(\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}\right)&=&\mathbb {Q} _{p=0}\end{matrix}}$$

Усечение этого дает нетривиальные пучки когомологий ${\mathcal {H}}^{0},{\mathcal {H}}^{1}$, следовательно, комплекс пересечений $IC_{\mathbb {V} (f)}$ имеет пучки когомологий

$${\begin{matrix}{\mathcal {H}}^{0}(IC_{\mathbb {V} (f)})&=&\mathbb {Q} _{\mathbb {V} (f)}\\{\mathcal {H}}^{1}(IC_{\mathbb {V} (f)})&=&\mathbb {Q} _{p=0}^{\oplus 2}\\{\mathcal {H}}^{i}(IC_{\mathbb {V} (f)})&=&0&{\text{for }}i\neq 0,1\end{matrix}}$$

Свойства комплекса IC( X )

Комплекс IC _p ( X ) обладает следующими свойствами

• В дополнении к некоторому замкнутому множеству коразмерности 2 имеем

$H^{i}(j_{x}^{*}IC_{p})$ равен 0 при i + m ≠ 0, а при i = − m группы образуют постоянную локальную систему C

• $H^{i}(j_{x}^{*}IC_{p})$ равно 0 для i + m <0
• Если я > 0, то $H^{-i}(j_{x}^{*}IC_{p})$ равен нулю, за исключением набора коразмерности не ниже a для наименьшего a с p ( a ) ≥ m - i
• Если я > 0, то $H^{-i}(j_{x}^{!}IC_{p})$ равен нулю, за исключением набора коразмерности не ниже a для наименьшего a с q ( a ) ≥ ( i )

Как обычно, q — это дополнительная извращенность к p . Более того, этими условиями комплекс характеризуется однозначно с точностью до изоморфизма в производной категории. Условия не зависят от выбора стратификации, поэтому это показывает, что когомологии пересечений также не зависят от выбора стратификации.

Двойственность Вердье переводит IC _p в IC _q, сдвинутую на n = dim( X ) в производной категории.

См. также

• Теорема о разложении
• Гомологии Бореля – Мура
• Топологически стратифицированное пространство
• Теория пересечений
• Извращенная связка
• Смешанная структура Ходжа

Ссылки

• Арман Борель , Когомологии пересечений . Прогресс в математике, Биркхаузер Бостон ISBN   0-8176-3274-3
• Марк Горески и Роберт Макферсон, двойственность Пуанкаре для сингулярных пространств. ЧР акад. наук. т. е. 284 (1977), стр. 1549–1551 Серия А.
• Горески, Марк (2010), Какова этимология термина «извращенная связка»?
• Горески, Марк; Макферсон, Роберт, Теория гомологии пересечений , Топология 19 (1980), вып. 2, 135–162. дои : 10.1016/0040-9383(80)90003-8
• Горески, Марк; Макферсон, Роберт, Гомологии пересечений. II , Inventiones Mathematicae 72 (1983), вып. 1, 77–129. 10.1007/BF01389130 МР 0696691 Это дает теоретико-пучковый подход к когомологиям пересечений.
• Фрэнсис Кирван, Джонатан Вульф, Введение в теорию гомологии пересечений ISBN   1-58488-184-4
• Клейман, Стивен. Развитие теории гомологии пересечений. Век математики в Америке, Часть II, Hist. Математика. 2, амер. Математика. Сок., 1989, стр. 543–585.
• «Гомологии пересечений» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Внешние ссылки

• Какова этимология термина «извращенный сноп»? (включает обсуждение этимологии термина «гомология пересечения») – MathOverflow