Извращенная связка

Математический термин «перверсивные пучки» относится к объектам определенных абелевых категорий , связанных с топологическими пространствами , которые могут быть действительными или комплексными многообразиями или более общими топологически стратифицированными пространствами , возможно, сингулярными.

Понятие было введено в работе Джозефа Бернштейна , Александра Бейлинсона и Пьера Делиня (1982) как следствие соответствия Римана-Гильберта , которое устанавливает связь между производными категориями регулярных голономных D-модулей и конструктивными пучками . Перверсивные пучки — это объекты в последнем, соответствующие отдельным D-модулям (а не более общим их комплексам); извращенная связка вообще представлена ​​комплексом связок. Концепция перверсивных пучков уже заложена в статье Кашивары 75-х годов о конструктивности решений голономных D-модулей.

Ключевое наблюдение заключалось в том, что гомологию пересечений Марка Горески и Роберта Макферсона можно было описать с помощью пучковых комплексов, которые на самом деле являются извращенными пучками.С самого начала было ясно, что перверсивные пучки являются фундаментальными математическими объектами на стыке алгебраической геометрии , топологии , анализа и дифференциальных уравнений . Они также играют важную роль в теории чисел , алгебре и теории представлений .

Предварительные замечания

Название «перверсивная связка» происходит от грубого перевода французского слова «faisceaux pervers». Обоснование состоит в том, что перверсивные пучки представляют собой комплексы пучков, которые имеют с пучками несколько общих черт: они образуют абелеву категорию, обладают когомологиями , и для их построения достаточно построить ее везде локально. Прилагательное «перверсивный» происходит от теории гомологии пересечений . и его происхождение было объяснено Горески (2010) .

Определение перверсивного пучка Бейлинсона-Бернштейна-Делиня основано на механизме триангулированных категорий в гомологической алгебре и имеет очень сильный алгебраический оттенок, хотя основные примеры, возникающие из теории Гореского-Макферсона, носят топологический характер, поскольку простые объекты в категории извращенных пучков являются комплексами когомологий пересечения. Это побудило Макферсона переформулировать всю теорию в геометрических терминах на основе теории Морса . Для многих приложений в теории представлений перверсивные пучки можно рассматривать как «черный ящик», категорию с определенными формальными свойствами.

Определение и примеры

— Перверсный пучок это объект C ограниченной производной категории пучков с конструктивными когомологиями в пространстве X такой, что множество точек x с

$H^{-i}(j_{x}^{*}C)\neq 0$ или $H^{i}(j_{x}^{!}C)\neq 0$

имеет действительную размерность не более 2 i для всех i . Здесь j _x — карта включения точки x .

Если X — гладкое комплексное алгебраическое многообразие и всюду имеет размерность d , то

${\mathcal {F}}[d]$

является извращенной связкой для любой локальной системы ${\mathcal {F}}$. Если X — плоская, локально полная схема пересечений (например, регулярная) над гензелевым кольцом дискретного нормирования , то постоянный пучок, сдвинутый на $\dim X+1$ это извращенный сноп.

Простой пример

Пусть X — диск вокруг начала координат в $\mathbb {C}$ стратифицированы так, что начало является уникальным сингулярным слоем. Тогда категория перверсивных пучков на X эквивалентна категории диаграмм векторных пространств $V{\overset {u}{\underset {v}{\rightleftarrows }}}W$ где $\operatorname {id} -u\circ v$ и $\operatorname {id} -v\circ u$ являются обратимыми. В более общем смысле, колчаны можно использовать для описания извращенных снопов.

Свойства

Категория перверсивных пучков — это абелева подкатегория (неабелевой) производной категории пучков, равная ядру подходящей t-структуры и сохраняемая двойственностью Вердье .

Ограниченная производная категория перверсивных l-адических пучков на схеме X эквивалентна производной категории конструктивных пучков и аналогично для пучков на комплексном аналитическом пространстве, ассоциированном со схемой X / C .

Приложения

Перверсивные пучки — фундаментальный инструмент геометрии сингулярных пространств. Поэтому они применяются в различных математических областях. В соответствии Римана-Гильберта перверсивные пучки соответствуют регулярным голономным D-модулям . Это приложение устанавливает понятие извращенного связки как происходящего «в природе». Теорема о разложении , далеко идущее расширение жесткого разложения по теореме Лефшеца , требует использования извращенных пучков. Модули Ходжа , грубо говоря, представляют собой точки зрения теории Ходжа уточнение перверсивных пучков с . Геометрическая эквивалентность Сатаке идентифицирует эквивариантные извращенные пучки на аффинном грассманиане. $Gr_{G}$ с представлениями группы Ленглендса, двойственной к редуктивной группе G - см. Миркович и Вилонен (2007) . Доказательство гипотез Вейля с использованием перверсивных пучков дано в работе Kiehl & Weissauer (2001) .

Теория струн

Безмассовые поля в суперструнных компактификациях были отождествлены с классами когомологий в целевом пространстве (т.е. четырехмерном пространстве Минковского с шестимерным многообразием Калаби-Яу (CY) ). Определение содержания материи и взаимодействия требует детального анализа (ко)гомологии этих пространств: почти все безмассовые поля в эффективной физической модели представлены определенными элементами (ко)гомологии.

Однако, когда целевое пространство является сингулярным, возникает тревожное последствие . Сингулярное целевое пространство означает, что только часть многообразия CY является сингулярной, поскольку фактор пространства Минковского является гладким. Такое особое CY-многообразие называется конифолдом , поскольку оно допускает конические особенности .

Эндрю Строминджер заметил (А. Стромингер, 1995), что хворосты соответствуют безмассовым черным дырам . Конифолды — важные объекты в теории струн: Брайан Грин объясняет физику конифолдов в главе 13 своей книги «Элегантная Вселенная» , включая тот факт, что пространство может разрываться возле конуса, а его топология может меняться. Эти сингулярные таргет-пространства, т.е. конифолды, соответствуют некоторым мягким вырождениям алгебраических многообразий , которые появляются в большом классе суперсимметричных теорий, включая теорию суперструн (Э. Виттен, 1982).

По сути, разные теории когомологий в сингулярных целевых пространствах дают разные результаты, что затрудняет определение того, какой теории физика может отдать предпочтение. Несколько важных характеристик когомологий, соответствующих безмассовым полям, основаны на общих свойствах теорий поля, в частности, (2,2)-суперсимметричных двумерных мирового листа теорий поля . Эти свойства, известные как пакет Кэлера (T. Hubsch, 1992), должны выполняться для сингулярных и гладких таргет-пространств. Пол Грин и Тристан Хабш (П. Грин и Т. Хабш, 1988) определили, что способ перемещения между сингулярными целевыми пространствами CY требует перемещения либо через небольшое разрешение, либо через деформацию сингулярности (Т. Хабш, 1992) и назвали это это «конифолдный переход».

Тристан Хубш (T. Hubsch, 1997) предположил, какой должна быть эта теория когомологий для сингулярных таргет-пространств. Тристан Хубш и Абдул Рахман (Т. Хабш и А. Рахман, 2005) работали над решением гипотезы Хабша, анализируя нетрансверсальный случай калибровочной линейной сигма-модели Виттена (Э. Виттен, 1993), которая вызывает стратификацию этих алгебраических многообразий. (называемое многообразием основного состояния) в случае изолированных конических особенностей .

При определенных условиях было установлено, что это многообразие основного состояния представляет собой конифолд (P. Green & T. Hubsch, 1988; T. Hubsch, 1992) с изолированными коническими особенностями над некоторым основанием с одномерной экзокривой (называемой экзо-слоями). ), прикрепленный в каждой особой точке. Т. Хабш и А. Рахман определили (ко)-гомологию этого разнообразия основных состояний во всех измерениях, обнаружили, что оно совместимо с зеркальной симметрией и теорией струн , но обнаружили препятствие в среднем измерении (Т. Хабш и А. Рахман, 2005) . ). Это препятствие потребовало пересмотра гипотезы Хабша о струнных сингулярных когомологиях (T. Hubsch, 1997). Зимой 2002 года Т. Хубш и А. Рахман встретились с Р. М. Горески, чтобы обсудить это препятствие , и в дискуссиях между Р. М. Горески и Р. Макферсоном Р. Макферсон сделал наблюдение, что существует такой извращенный пучок, который может иметь когомологии это удовлетворило гипотезу Хюбша и разрешило препятствие . Р. М. Горески и Т. Хюбш консультировали докторскую диссертацию А. Рахмана. диссертация по построению самодвойственного перверсивного пучка (А. Рахман, 2009) с использованием зигзагообразной конструкции Макферсон - Вилонен (Р. Макферсон и К. Вилонен, 1986). Этот извращенный пучок доказал гипотезу Хюбша для изолированных конических особенностей , удовлетворяет двойственности Пуанкаре и соответствует некоторым свойствам пакета Кэлера. Удовлетворение всего пакета Кэлера этим перверсивным пучком для более высокой коразмерности страт остается открытой проблемой. Маркус Банагл (М. Банагл, 2010; М. Банагл и др., 2014) обратился к гипотезе Хабша через пространства пересечения более высокой коразмерности слоев , вдохновленный работой Хабша (Т. Хабш, 1992, 1997; П. Грин и Т. Хабш). , 1988) и оригинальный анзац А. Рахмана (А. Рахман, 2009) для изолированных особенностей .

См. также

• Смешанный модуль Ходжа
• Смешанная извращенная связка
• Гомология пересечения
• когомологии L²
• Конифолд
• Теория струн
• Суперсимметрия

Ссылки

• де Катальдо, Марк Андреа ; Мильорини, Лука (2010). «Что такое извращенный сноп?» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 57 (5): 632–634. МР   2664042 .

• Аринкин Дмитрий; Безрукавников, Роман (2010). «Перверсивные связные связки». Московский математический журнал . 10 (1): 3–29. arXiv : 0902.0349 . Бибкод : 2009arXiv0902.0349A . дои : 10.17323/1609-4514-2010-10-1-3-29 . МР   2668828 . S2CID   14409918 .
• Бейлинсон, Александр А. (1987), «О производной категории перверсивных пучков», К-теория, арифметика и геометрия (Москва, 1984–1986) , Конспект лекций по математике, вып. 1289, Берлин: Springer, стр. 27–41, номер документа : 10.1007/BFb0078365 , ISBN.  978-3-540-18571-0 , МР   0923133

• Бейлинсон, Александр А .; Бернштейн, Джозеф ; Делинь, Пьер (1982). «Извращенные связки». Звездочка (на французском языке). 100 . Париж: Математическое общество Франции . МР   0751966 .

• Брасселе, Жан-Поль (2009), Введение в гомологию пересечений и перверсивные пучки , Национальный институт чистой и прикладной математики (IMPA), MR   2533465

• Бремер, Кристофер Л.; Сейдж, Дэниел С. (2013), «Обобщенные условия Серра и перверсивные когерентные пучки», Journal of Algebra , 392 : 85–96, arXiv : 1106.2616 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2013.06.018 , MR   3085024 , S2CID   1475463 0

• Горески, Марк (2010). «Какова этимология термина «извращённый сноп»?» .
• Иллюзи, Люк (2003). «Извращения и вариации». рукописи Математические 112 (3): 271–295. дои : 10.1007/s00229-003-0407-z . МР   2067039 . S2CID   122652995 .
• Киль, Рейнхардт ; Вайсауэр, Райнер (2001), гипотезы Вейля, извращенные пучки и ладическое преобразование Фурье , результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике. 42, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-41457-5 , МР   1855066
• Макферсон, Роберт (15 декабря 1990 г.). «Гомология пересечений и перверсивные пучки» (PDF) (неопубликованная рукопись).
• Миркович, Иван; Вилонен, Кари (2007), «Геометрическая двойственность Ленглендса и представления алгебраических групп над коммутативными кольцами», Annals of Mathematics , Second Series, 166 (1): 95–143, arXiv : math/0401222 , doi : 10.4007/annals.2007.166 .95 , ISSN   0003-486X , MR   2342692 , S2CID   14127684
• Ритч, Констанце (2003). «Введение в извращенные связки». arXiv : math.RT/0307349 .
• Бейлинсон, Александр; Бернштейн, Джозеф; Делинь, Пьер; Габбер, Офер (2018). Извращенные связки . Звездочка. Полет. 100 (2-е изд.). ISBN  978-2-85629-878-7 .
• Строминджер, Эндрю (1995). «Безмассовые черные дыры и конифолды в теории струн». Ядерная физика Б . 451 (1–2): 96–108. arXiv : hep-th/9504090 . Бибкод : 1995НуФБ.451...96С . дои : 10.1016/0550-3213(95)00287-3 . S2CID   6035714 .
• Виттен, Эдвард (1982). «Суперсимметрия и теория Морса» . Журнал дифференциальной геометрии . 17 (4): 661–692. дои : 10.4310/jdg/1214437492 .
• Виттен, Эдвард (1993). «Фазы n = 2 теорий в двух измерениях». Ядерная физика Б . 403 (1–2): 159–222. arXiv : hep-th/9301042 . Бибкод : 1993NuPhB.403..159W . дои : 10.1016/0550-3213(93)90033-L . S2CID   16122549 .
• Грин, Пол С.; Хюбш, Тристан (1988). «Соединяющие пространства модулей трехмерных многообразий Калаби-Яу» . Связь в математической физике . 119 (3): 431–441. Бибкод : 1988CMaPh.119..431G . дои : 10.1007/BF01218081 . S2CID   119452483 .
• Хюбш, Тристан (1997). «О струнных сингулярных когомологиях». Буквы по современной физике А. А12 (8): 521–533. arXiv : hep-th/9612075 . Бибкод : 1997MPLA...12..521H . дои : 10.1142/S0217732397000546 . S2CID   11779832 .
• Хюбш, Тристан (1994). Многообразия Калаби-Яу: бестиарий для физиков . Всемирная научная. ISBN  978-981-02-1927-7 .
• Хюбш, Тристан; Рахман, Абдул (2005). «О геометрии и гомологии некоторых простых стратифицированных многообразий». Журнал геометрии и физики . 53 (1): 31–48. arXiv : math.AG/0210394 . Бибкод : 2005JGP....53...31H . doi : 10.1016/j.geomphys.2004.04.010 . ISSN   0393-0440 . МР   2102048 . S2CID   119584805 .
• Макферсон, Роберт; Вилонен, Кари (1986). «Элементарные конструкции извращенных пучков». Математические изобретения . 84 (2): 403–435. Бибкод : 1986InMat..84..403M . дои : 10.1007/BF01388812 . S2CID   120183452 .
• Грин, Брайан (2003). Элегантная Вселенная . Нортон. ISBN  0-393-05858-1 .
• Рахман, Абдул (2009). «Извращенный пучковый подход к теории когомологий теории струн». Успехи теоретической и математической физики . 13 (3): 667–693. arXiv : 0704.3298 . дои : 10.4310/ATMP.2009.v13.n3.a3 . S2CID   14787272 .
• Банагль, Маркус (2010). Пространства пересечений, усечение пространственных гомологий и теория струн . Конспект лекций по математике. Том. 1997. Спрингер. ISBN  978-3-642-12588-1 .
• Банагль, Маркус; Будур, Нерон; Максим, Лаурентиу (2014). «Пространства пересечений, перверсивные пучки и теория струн типа IIB» . Успехи теоретической и математической физики . 18 (2): 363–399. arXiv : 1212.2196 . дои : 10.4310/ATMP.2014.v18.n2.a3 . МР   3273317 . S2CID   62773026 .

Дальнейшее чтение

• Гомологии пересечений и перверсивные пучки , заметки Бруно Клинглера.