Триангулированная категория

В математике триангулированная категория — это категория с дополнительной структурой «функтор перевода» и класс «точных треугольников». Яркими примерами являются производная категория , абелевой категории а также стабильная гомотопическая категория . Точные треугольники обобщают короткие точные последовательности в абелевой категории, а также последовательности слоев и последовательности кослоев в топологии.

Большая часть гомологической алгебры проясняется и расширяется языком триангулированных категорий, важным примером является теория пучковых когомологий . В 1960-е годы типичным использованием триангулированных категорий было расширение свойств пучков на пространстве X до комплексов пучков, рассматриваемых как объекты производной категории пучков на X . Совсем недавно триангулированные категории стали самостоятельными объектами интереса. Было доказано или высказано множество предположений об эквивалентности между триангулированными категориями различного происхождения. Например, гипотеза гомологической зеркальной симметрии предсказывает, что производная категория многообразия Калаби – Яу эквивалентна категории Фукая его «зеркального» симплектического многообразия . Оператор сдвига — декатегоризованный аналог триангулированной категории.

История

Триангулированные категории были введены независимо Дитером Пуппе (1962) и Жаном-Луи Вердье (1963), хотя аксиомы Пуппе были менее полными (отсутствовала октаэдральная аксиома (TR 4)). Пуппе руководствовался категорией стабильной гомотопии. Ключевым примером Вердье была производная категория абелевой категории, которую он также определил, развивая идеи Александра Гротендика . Ранние применения производных категорий включали когерентную двойственность и двойственность Вердье , которая расширяет двойственность Пуанкаре на сингулярные пространства.

Определение

Функтор сдвига или перевода в категории D — это аддитивный автоморфизм (или, по мнению некоторых авторов, автоэквивалентность ) . $\Sigma$ от Д до Д. ​Обычно пишут $X[n]=\Sigma ^{n}X$ для целых чисел n .

Треугольник ( X , , Y , Z , u , v X w ) состоит из трех объектов , Y и Z вместе с морфизмами $u\colon X\to Y$, $v\colon Y\to Z$ и $w\colon Z\to X[1]$. Треугольники обычно пишут в развернутом виде:

$X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1],$

или

$X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}$

короче.

Триангулированная категория — это аддитивная категория D с функтором сдвига и классом треугольников, называемых точными треугольниками. (или выделенные треугольники ), удовлетворяющие следующим свойствам (TR 1), (TR 2), (TR 3) и (TR 4). (Эти аксиомы не являются полностью независимыми, поскольку (TR 3) можно вывести из остальных. )

ТР 1

• Для каждого объекта X точный треугольник:

$X{\overset {\text{id}}{\to }}X\to 0\to X[1]$

• Для каждого морфизма $u\colon X\to Y$, существует объект Z (называемый конусом или кослоем морфизма u ), вписывающийся в точный треугольник

$X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y\to Z\to X[1]$

Название «конус» происходит от конуса карты цепных комплексов , который, в свою очередь, был вдохновлен конусом отображения в топологии. Из остальных аксиом следует, что точный треугольник (и, в частности, объект Z ) определяется с точностью до изоморфизма морфизмом $X\to Y$, хотя и не всегда с точностью до единственного изоморфизма.

• Любой треугольник, изоморфный точному треугольнику, является точным. Это означает, что если

$X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1]$

является точным треугольником, и $f\colon X\to X'$, $g\colon Y\to Y'$, и $h\colon Z\to Z'$ являются изоморфизмами, то

$X'{\xrightarrow {guf^{-1}}}Y'{\xrightarrow {hvg^{-1}}}Z'{\xrightarrow {f[1]wh^{-1}}}X'[1]$

тоже точный треугольник.

ТР 2

Если

$X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1]$

является точным треугольником, то такими же являются и два повернутых треугольника

$Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1]{\xrightarrow {-u[1]}}Y[1]$

и

$Z[-1]{\xrightarrow {-w[-1]}}X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z.\$

Ввиду последнего треугольника объект Z [−1] называется слоем морфизма $X\to Y$.

Второй повернутый треугольник имеет более сложную форму, когда $[1]$ и $[-1]$ не являются изоморфизмами, а лишь взаимно обратными эквивалентностями категорий, поскольку $-w[-1]$ является морфизмом из $Z[-1]$ к $(X[1])[-1]$и получить морфизм на $[X]$ нужно сочинять с естественной трансформацией $(X[1])[-1]{\xrightarrow {}}X$. Это приводит к сложным вопросам о возможных аксиомах, которые необходимо наложить на естественные преобразования, создающие $[1]$ и $[-1]$ на пару обратных эквивалентностей. В связи с этой проблемой предположение, что $[1]$ и $[-1]$ являются взаимно обратными изоморфизмами – это обычный выбор при определении триангулированной категории.

ТР 3

Учитывая два точных треугольника и отображение между первыми морфизмами в каждом треугольнике, существует морфизм между третьими объектами в каждом из двух треугольников, который делает все коммутирующим . То есть на следующей диаграмме (где две строки представляют собой точные треугольники, а f и g являются морфизмами такими, что gu = u′f ), существует отображение h (не обязательно уникальное), заставляющее все квадраты коммутировать:

TR 4: Аксиома октаэдра

Позволять $u\colon X\to Y$ и $v\colon Y\to Z$ являются морфизмами, и рассмотрим составной морфизм $vu\colon X\to Z$. Сформируйте точные треугольники для каждого из этих трех морфизмов в соответствии с TR 1. Аксиома октаэдра утверждает (грубо), что три конуса отображения можно превратить в вершины точного треугольника, так что «все коммутирует».

Более формально, учитывая точные треугольники

$X{\xrightarrow {u\,}}Y{\xrightarrow {j}}Z'{\xrightarrow {k}}X[1]$

$Y{\xrightarrow {v\,}}Z{\xrightarrow {l}}X'{\xrightarrow {i}}Y[1]$

$X{\xrightarrow {{} \atop vu}}Z{\xrightarrow {m}}Y'{\xrightarrow {n}}X[1]$,

существует точный треугольник

$Z'{\xrightarrow {f}}Y'{\xrightarrow {g}}X'{\xrightarrow {h}}Z'[1]$

такой, что

$l=gm,\quad k=nf,\quad h=j[1]i,\quad ig=u[1]n,\quad fj=mv.$

Эта аксиома называется «аксиомой октаэдра», поскольку рисование всех объектов и морфизмов дает скелет октаэдра , четыре грани которого представляют собой точные треугольники. Представленная здесь презентация принадлежит Вердье и представлена ​​вместе с октаэдрической диаграммой в (Hartshorne 1966 ). На следующей диаграмме u и v — заданные морфизмы, а буквы со штрихом — это конусы различных отображений (выбранных так, чтобы каждый точный треугольник имел буквы X , Y и Z ). Различные стрелки отмечены цифрой [1], чтобы указать, что они имеют «степень 1»; например, отображение Z ′ в X на самом деле является отображением Z ′ в X [1]. Затем аксиома октаэдра утверждает существование отображений f и g, образующих точный треугольник, и поэтому f и g образуют коммутативные треугольники на других гранях, которые их содержат:

Две разные картины представлены в (Beilinson, Bernstein & Deligne 1982 ) (Гельфанд и Манин ( 2006 ) также представляют первую). В первом представлены верхняя и нижняя пирамиды вышеуказанного октаэдра и утверждается, что, имея нижнюю пирамиду, можно заполнить верхнюю пирамиду так, чтобы два пути от Y к Y ′ и от Y ′ к Y были равны (это условие исключено, возможно, ошибочно, из презентации Хартшорна). Треугольники, отмеченные знаком +, являются коммутативными, а треугольники, отмеченные знаком «d», — точными:

Вторая диаграмма представляет собой более инновационное представление. Точные треугольники представлены линейно, а на схеме подчеркивается тот факт, что четыре треугольника в «октаэдре» соединены рядом отображений треугольников, где три треугольника (а именно завершающие морфизмы от X к Y , от Y к Z , и от X до Z ) и утверждается существование четвертого. Один проходит между первыми двумя, «поворачиваясь» вокруг X , к третьему, поворачиваясь вокруг Z , и к четвертому, поворачиваясь вокруг X '. Все вложения на этой диаграмме коммутативны (и тригоны, и квадрат), но другой коммутативный квадрат, выражающий равенство двух путей от Y ′ до Y , не очевиден. Все стрелки, указывающие «за край», имеют степень 1:

Эта последняя диаграмма также иллюстрирует полезную интуитивную интерпретацию аксиомы октаэдра. В триангулированных категориях треугольники играют роль точных последовательностей, поэтому целесообразно думать об этих объектах как о «частных». $Z'=Y/X$ и $Y'=Z/X$. В этих терминах существование последнего треугольника выражает, с одной стороны,

$X'=Z/Y\$ (глядя на треугольник $Y\to Z\to X'\to$ ), и

$X'=Y'/Z'$ (глядя на треугольник $Z'\to Y'\to X'\to$ ).

Объединив все это, аксиома октаэдра утверждает «третью теорему об изоморфизме»:

$(Z/X)/(Y/X)\cong Z/Y.$

Если триангулированная категория является производной категорией D ( A ) абелевой категории A , а X , Y , Z — объектами A , рассматриваемыми как комплексы, сконцентрированные в степени 0, и отображения $X\to Y$ и $Y\to Z$ являются мономорфизмами в A , то конусы этих морфизмов в D ( A ) фактически изоморфны указанным выше факторам A. в

Наконец, Ниман ( 2001 ) формулирует аксиому октаэдра, используя двумерную коммутативную диаграмму с 4 строками и 4 столбцами. Бейлинсон, Бернштейн и Делин ( 1982 ) также дают обобщения аксиомы октаэдра.

Характеристики

несколько простых следствий аксиом для триангулированной категории D. Вот

• Дан точный треугольник

$X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1]$

в D композиция любых двух последовательных морфизмов равна нулю. То есть vu = 0, wv = 0, u [1] w = 0 и так далее.

• Учитывая морфизм $u\colon X\to Y$, TR 1 гарантирует существование конуса Z, завершающего точный треугольник. Любые два конуса u изоморфны, но изоморфизм не всегда определен однозначно.

• Каждый мономорфизм в D есть включение прямого слагаемого: $X\to X\oplus Y$, и каждый эпиморфизм является проекцией $X\oplus Y\to X$. С этим связан тот факт, что не следует говорить об «инъективности» или «сюръективности» морфизмов в триангулированной категории. Каждый морфизм $X\to Y$ который не является изоморфизмом, имеет ненулевое «коядро» Z (это означает, что существует точный треугольник $X\to Y\to Z\to X[1]$), а также ненулевое «ядро», а именно Z [−1].

Нефункториальность конструкции конуса.

Одна из технических сложностей с триангулированными категориями заключается в том, что конструкция конуса не является функториальной. Например, дано кольцо $R$ и частичная карта выделенных треугольников

${\begin{matrix}R&\to &0&\to &R[+1]&\to \\\downarrow &&\downarrow &&&\\0&\to &R[+1]&\to &R[+1]&\to \end{matrix}}$

в $D^{b}(R)$, есть две карты, которые дополняют эту диаграмму. Это может быть карта идентичности или карта нуля.

${\begin{aligned}{\text{id}}:&R[+1]\to R[+1]\\0:&R[+1]\to R[+1]\end{aligned}}$

оба из которых коммутативны. Тот факт, что существуют две карты, является тенью того факта, что триангулированная категория является инструментом, который кодирует гомотопические пределы и копредел . Одно из решений этой проблемы было предложено Гротендиком, где рассматривается не только производная категория, но и производная категория диаграмм на этой категории. Такой объект называется Derivator .

Примеры

1. Векторные пространства над полем k образуют элементарную триангулированную категорию, в которой X [1] = X для всех X . Точный треугольник – это последовательность $X\to Y\to Z\to X\to Y$ k -линейных отображений ( записывая одно и то же отображение $X\to Y$ что точно в точках X , Y и Z. дважды) ,
2. Если A — аддитивная категория (например, абелева категория), определите гомотопическую категорию ⁠ $K(A)$⁠ иметь в качестве объектов цепные комплексы в A , а в качестве морфизмов — гомотопические классы морфизмов комплексов. Тогда ⁠ $K(A)$⁠ — триангулированная категория. Сдвиг X [1] — это комплекс X, перемещенный на один шаг влево (и с дифференциалами, умноженными на −1). Точный треугольник в ⁠ $K(A)$⁠ — треугольник, изоморфный ⁠ $K(A)$⁠ к треугольнику $X\to Y\to {\text{cone}}(f)\to X[1]$ привязан к какой-то карте $f\colon X\to Y$ цепных комплексов. (Здесь ${\text{cone}}(f)$ обозначает конус отображения цепной карты.)
3. D Производная категория ( A ) абелевой категории A является триангулированной категорией. Он строится из категории комплексов C ( A ) путем локализации по всем квазиизоморфизмам . То есть формально присоединить обратный морфизм для каждого квазиизоморфизма. Объекты D ( A ) не изменяются; т. е. представляют собой цепные комплексы. Точный треугольник в D ( A ) — это треугольник, изоморфный в D ( A ) треугольнику $X\to Y\to {\text{cone}}(f)\to X[1]$ привязан к какой-то карте $f\colon X\to Y$ цепных комплексов.
   Ключевой мотивацией для производной категории является то, что производные функторы на A можно рассматривать как функторы на производной категории. Некоторые естественные подкатегории D ( A ) также являются триангулированными категориями, например подкатегория комплексов X , когомологии которых являются объектами $H^{i}(X)$ в A исчезают для i, достаточно отрицательного, достаточно положительного или того и другого, называемого $D^{+}(A),D^{-}(A),D^{\text{b}}(A)$, соответственно.
4. В топологии стабильная гомотопическая категория $h{\cal {S}}$ представляет собой триангулированную категорию. Объекты — спектры , сдвиг X [1] — суспензия $\Sigma X$ (или, что эквивалентно, deloping $\Omega ^{-1}X$), а точные треугольники представляют собой последовательности коволокон. Отличительной особенностью стабильной гомотопической категории (по сравнению с нестабильной гомотопической категорией ) является то, что последовательности слоев совпадают с последовательностями кослоев. Фактически, в любой триангулированной категории точные треугольники можно рассматривать как последовательности волокон, а также как последовательности коволокон.
5. В модульной теории представлений конечной группы G категория стабильных модулей StMod( kG ) ​​является триангулированной категорией. Его объектами являются представления группы G над полем k , а морфизмами являются обычные морфизмы по модулю тех, которые факторизуются через проективные (или, что эквивалентно, инъективные ) kG -модули. В более общем смысле, категория стабильных модулей определяется для любой алгебры Фробениуса вместо kG .

Есть ли лучшие аксиомы?

Некоторые эксперты подозревают ^{стр. 190} (см., например, (Гельфанд и Манин 2006 , Введение, Глава IV)) что триангулированные категории на самом деле не являются «правильной» концепцией. Существенная причина состоит в том, что конус морфизма единственен только с точностью до неединственного изоморфизма. В частности, конус морфизма, вообще говоря, не зависит функториально от морфизма (обратите внимание, например, на неединственность в аксиоме (TR 3). Эта неуникальность является потенциальным источником ошибок. Однако на практике аксиомы работают адекватно, и их изучению посвящено много литературы.

Дериваторы

Одним из альтернативных предложений является теория дериваторов, предложенная Гротендиком в книге «В поисках стеков» в 80-х годах. ^{стр. 191} и позднее развитый в 90-х годах в своей рукописи на эту тему. По сути, это система гомотопических категорий, заданная категориями диаграмм. $I\to M$ для категории с классом слабых эквивалентностей $(M,W)$. Затем эти категории связаны морфизмами диаграмм $I\to J$. Преимущество этого формализма состоит в том, что он позволяет восстановить гомотопические пределы и копределы, что заменяет конструкцию конуса.

Стабильные ∞-категории

Другая построенная альтернатива — это теория стабильных ∞-категорий . Гомотопическая категория стабильной ∞-категории канонически триангулирована, причем конусы отображения становятся существенно уникальными (в точном гомотопическом смысле). Более того, стабильная ∞-категория естественным образом кодирует целую иерархию совместимости своей гомотопической категории, в нижней части которой находится аксиома октаэдра. Таким образом, дать данные устойчивой ∞-категории строго сильнее, чем дать данные триангуляции ее гомотопической категории. Почти все триангулированные категории, возникающие на практике, происходят из устойчивых ∞-категорий. Аналогичным (но более специальным) расширением триангулированных категорий является понятие dg-категории .

В некотором смысле стабильные ∞-категории или dg-категории работают лучше, чем триангулированные категории. Одним из примеров является понятие точного функтора между триангулированными категориями, обсуждаемое ниже. Для гладкого проективного многообразия X над полем k ограниченная производная категория когерентных пучков ${\text{D}}^{\text{b}}(X)$ естественным образом происходит из dg-категории. Для многообразий X и Y каждый функтор из dg-категории X в категорию Y происходит из комплекса пучков на $X\times Y$ преобразованием Фурье-Мукаи . Напротив, есть пример точного функтора из ${\text{D}}^{\text{b}}(X)$ к ${\text{D}}^{\text{b}}(Y)$ что не исходит из комплекса связок на $X\times Y$. Ввиду этого примера «правильное» понятие морфизма между триангулированными категориями кажется тем, которое исходит из морфизма лежащих в его основе dg-категорий (или стабильных ∞-категорий).

Другое преимущество стабильных ∞-категорий или dg-категорий перед триангулированными категориями проявляется в алгебраической K-теории . Можно определить алгебраическую K-теорию стабильной ∞-категории или dg-категории C , задав последовательность абелевых групп $K_{i}(C)$ для целых чисел i . Группа $K_{0}(C)$ имеет простое описание в терминах триангулированной категории, связанной с C . Но пример показывает, что высшие К-группы dg-категории не всегда определяются соответствующей триангулированной категорией. Таким образом, триангулированная категория имеет четко определенную $K_{0}$ группа, но в целом не высшие К-группы.

С другой стороны, теория триангулированных категорий проще, чем теория стабильных ∞-категорий или dg-категорий, и во многих приложениях триангулированной структуры достаточно. Примером может служить доказательство гипотезы Блоха–Като , где многие вычисления проводились на уровне триангулированных категорий и дополнительная структура ∞-категорий или dg-категорий не требовалась.

Когомологии в триангулированных категориях

Триангулированные категории допускают понятие когомологий, и каждая триангулированная категория имеет большой запас когомологических функторов. F Когомологический функтор из триангулированной категории D в абелеву категорию A — это функтор такой, что для любого точного треугольника

$X\to Y\to Z\to X[1],\$

последовательность $F(X)\to F(Y)\to F(Z)$ в А является точным. Поскольку точный треугольник определяет бесконечную последовательность точных треугольников в обоих направлениях,

$\cdots \to Z[-1]\to X\to Y\to Z\to X[1]\to \cdots ,\$

когомологический функтор F на самом деле дает длинную точную последовательность в абелевой категории A :

$\cdots \to F(Z[-1])\to F(X)\to F(Y)\to F(Z)\to F(X[1])\to \cdots .\$

Ключевой пример: для каждого объекта B в триангулированной категории D функторы $\operatorname {Hom} (B,{\text{-}})$ и $\operatorname {Hom} ({\text{-}},B)$ когомологичны, со значениями в категории абелевых групп . (Если быть точным, то последний является контравариантным функтором который можно рассматривать как функтор на противоположной категории D. , ) То есть точный треугольник $X\to Y\to Z\to X[1]$ определяет две длинные точные последовательности абелевых групп:

$\cdots \to \operatorname {Hom} (B,X[i])\to \operatorname {Hom} (B,Y[i])\to \operatorname {Hom} (B,Z[i])\to \operatorname {Hom} (B,X[i+1])\to \cdots$

и

$\cdots \to \operatorname {Hom} (Z,B[i])\to \operatorname {Hom} (Y,B[i])\to \operatorname {Hom} (X,B[i])\to \operatorname {Hom} (Z,B[i+1])\to \cdots .$

Для определенных триангулированных категорий эти точные последовательности дают многие важные точные последовательности в пучковых когомологиях, групповых когомологиях и других областях математики.

Можно также использовать обозначение

$\operatorname {Ext} ^{i}(B,X)=\operatorname {Hom} (B,X[i])$

для целых чисел i , обобщая функтор Ext в абелевой категории. В этих обозначениях первая точная последовательность выше будет записана:

$\cdots \to \operatorname {Ext} ^{i}(B,X)\to \operatorname {Ext} ^{i}(B,Y)\to \operatorname {Ext} ^{i}(B,Z)\to \operatorname {Ext} ^{i+1}(B,X)\to \cdots .\$

Для абелевой категории A другой базовый пример когомологического функтора на производной категории D ( A ) отправляет комплекс X объекту $H^{0}(X)$ в А. ​То есть точный треугольник $X\to Y\to Z\to X[1]$ в D ( A ) определяет длинную точную последовательность в A :

$\cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i}(Z)\to H^{i+1}(X)\to \cdots ,$

используя это $H^{0}(X[i])\cong H^{i}(X)$.

Точные функторы и эквивалентности

Точный функтор (также называемый триангулированным функтором ) из триангулированной категории D в триангулированную категорию E является аддитивным функтором. $F\colon D\to E$ который, грубо говоря, коммутирует с переносом и переводит точные треугольники в точные треугольники.

Более подробно, точный функтор обладает естественным изоморфизмом $\eta \colon F\Sigma \to \Sigma F$ (где первый $\Sigma$ обозначает функтор перевода D и второй $\Sigma$ обозначает функтор перевода E ), такой, что всякий раз, когда

$X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1]$

— точный треугольник в D ,

$F(X){\xrightarrow {F(u)}}F(Y){\xrightarrow {F(v)}}F(Z){\xrightarrow {\eta _{X}F(w)}}F(X)[1]$

является точным треугольником в E .

Эквивалентность триангулированных категорий — это точный функтор $F\colon D\to E$ это тоже эквивалентность категорий . В этом случае существует точный функтор $G\colon E\to D$ такие, что FG и GF естественно изоморфны соответствующим тождественным функторам.

Компактно сгенерированные триангулированные категории

Пусть D — триангулированная категория такая, что существуют прямые суммы , индексированные произвольным множеством (не обязательно конечным) в D . Объект X в D называется компактным , если функтор ${\text{Hom}}_{D}(X,{\text{-}})$ коммутирует с прямыми суммами. Явно это означает, что для любого семейства объектов $Y_{i}$ в D, индексированном множеством S , естественный гомоморфизм абелевых групп $\oplus _{i\in S}\mathrm {Hom} _{D}(X,Y_{i})\to \mathrm {Hom} _{D}(X,\oplus _{i\in S}Y_{i})$ является изоморфизмом. Это отличается от общего понятия компактного объекта в теории категорий, которое включает в себя все копределы, а не только копроизведения.

Например, компактный объект в стабильной гомотопической категории $h{\cal {S}}$ представляет собой конечный спектр. Компактный объект в производной категории кольца или в квазикогерентной производной категории схемы является совершенным комплексом . В случае гладкого проективного многообразия X над полем категорию совершенных комплексов Perf( X ) также можно рассматривать как ограниченную производную категорию когерентных пучков: $D_{\text{coh}}^{\text{b}}(X)$.

Триангулированная категория D , компактно порождена если

• D имеет произвольные (не обязательно конечные) прямые суммы;
• Существует множество S компактных объектов в D такое, что для каждого ненулевого объекта X в D существует объект Y в S с ненулевым отображением. $Y[n]\to X$ для некоторого целого числа n .

Многие естественные «большие» триангулированные категории генерируются компактно:

• Производная категория модулей над кольцом R компактно порождается одним объектом — R -модулем R .
• Квазикогерентная производная категория квазикомпактной квазиразделенной схемы компактно порождается одним объектом.
• Стабильная гомотопическая категория компактно порождается одним объектом — сферным спектром. $S^{0}$.

Амнон Ниман обобщил теорему Брауна о представимости на любую компактно порожденную триангулированную категорию следующим образом. Пусть D — компактно порожденная триангулированная категория, $H\colon D^{\text{op}}\to {\text{Ab}}$ когомологический функтор, который переводит копродукции в произведения. Тогда H представимо. (То есть существует объект W из D такой, что $H(X)\cong {\text{Hom}}(X,W)$ для всех X. ) В другом варианте пусть D — компактно порожденная триангулированная категория, T — любая триангулированная категория. Если точный функтор $F\colon D\to T$ отправляет копроизведения в копроизведения, то F имеет правосопряженное .

Теорема Брауна о представимости может использоваться для определения различных функторов между триангулированными категориями. В частности, Ниман использовал его для упрощения и обобщения конструкции исключительного функтора обратного образа. $f^{!}$ для морфизма f схем - центральной особенности когерентной теории двойственности .

т-структуры

Основная статья: Т-структура

Для каждой абелевой категории A производная категория D ( A ) представляет собой триангулированную категорию, содержащую A как полную подкатегорию (комплексы, сосредоточенные в нулевой степени). Различные абелевы категории могут иметь эквивалентные производные категории, поэтому не всегда возможно восстановить A из D ( A ) как триангулированную категорию.

Бейлинсон , Жозеф Бернштейн и Пьер Делинь описали эту ситуацию понятием t-структуры на триангулированной категории D. Александр t-структура на D определяет абелеву категорию внутри D , а разные t-структуры на D могут давать разные абелевы категории.

Локализация и расширенные подкатегории

Пусть D — триангулированная категория с произвольными прямыми суммами. Локализующая подкатегория D триангулированная — это строго полная подкатегория, замкнутая относительно произвольных прямых сумм. Поясним название: если локализующая подкатегория S компактно порожденной триангулированной категории D порождается набором объектов, то существует локализации Боусфилда. функтор $L\colon D\to D$ с S. ядром (То есть для каждого объекта X в D существует точный треугольник $Y\to X\to LX\to Y[1]$ с Y в S и LX в правой ортогональной $S^{\perp }$.) Например, эта конструкция включает локализацию спектра в простом числе или ограничение комплекса пучков в пространстве на открытое подмножество.

Понятие параллельности более актуально для «малых» триангулированных категорий: толстая подкатегория триангулированной категории C — это строго полная триангулированная подкатегория, замкнутая относительно прямых слагаемых. (Если C идемпотентно -полна , подкатегория является толстой тогда и только тогда, когда она также идемпотентно-полна.) Локализующая подкатегория является толстой. Итак, если S — локализующая подкатегория триангулированной категории D , то пересечение S с подкатегорией $D^{\text{c}}$ компактных объектов — это толстая подкатегория $D^{\text{c}}$.

Например, Девинац– Хопкинс –Смит описал все толстые подкатегории триангулированной категории конечных спектров в терминах K-теории Моравы . Локализующие подкатегории всей стабильной гомотопической категории не классифицированы.

См. также

• Преобразование Фурье – Мукая
• Шесть операций
• Извращенная связка
• D-модуль
• Локализация Бейлинсона – Бернштейна
• Спектр модулей
• Полуортогональное разложение
• Условие устойчивости Бриджленда

Ссылки

Некоторые введения в учебники по триангулированным категориям:

• Гельфанд, Сергей; Манин, Юрий (2006), «IV. Триангулированные категории», Методы гомологической алгебры , Монографии Springer по математике (2-е изд.), Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-12492-5 , ISBN  978-3540435839 , МР   1950475
• Касивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2006), Категории и пучки , Basic Teachings of the Mathematical Sciences, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/3-540-27950-4 , ISBN  978-3-540-27949-5 , МР   2182076
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55987-4 . МР   1269324 . OCLC   36131259 .

Краткое резюме с приложениями:

• Касивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2002), «Глава I. Гомологическая алгебра», Пучки на многообразиях , Основные учения математических наук, Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-02661-8 , ISBN  978-3540518617 , МР   1074006

Некоторые более сложные ссылки:

• Бейлинсон А.А .; Бернштейн, Дж .; Делинь, П. (2018) [1982], «Перверсивные балки» , Asterisk , 100 , Société Mathématique de France, Париж, ISBN  978-2-85629-878-7 , МР   0751966
• Даггер, Дэниел; Шипли, Брук (2009), «Любопытный пример модельных категорий триангулированного эквивалента, которые не являются эквивалентами Квиллена», Алгебраическая и геометрическая топология , 9 : 135–166, arXiv : 0710.3070 , doi : 10.2140/agt.2009.9.135 , MR   2482071
• Хартсхорн, Робин (1966), «Глава I. Производная категория», Остатки и двойственность , Конспект лекций по математике 20 , том. 20, Springer-Verlag , стр. 20–48, doi : 10.1007/BFb0080482 , ISBN.  978-3-540-03603-6 , МР   0222093
• Краузе, Хеннинг (2010), «Теория локализации триангулированных категорий», Триангулированные категории , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 375, Cambridge University Press, стр. 161–235, arXiv : 0806.1324 , doi : 10.1017/CBO9781139107075.005 , ISBN  9780521744317 , МР   2681709 , S2CID   50160822
• Ниман, Амнон (1996), «Теорема о двойственности Гротендика с помощью методов Боусфилда и представимость Брауна», Журнал Американского математического общества , 9 : 205–236, doi : 10.1090/S0894-0347-96-00174-9 , MR   1308405
• Ниман, Амнон (2001), Триангулированные категории , Анналы математических исследований, Princeton University Press, doi : 10.1515/9781400837212 , ISBN  978-0691086866 , МР   1812507 , S2CID   242258794
• Пуппе, Дитер (1962), «О формальной структуре стабильной теории гомотопий», Коллоквиум по алгебраической топологии , Математический институт Орхусского университета, стр. 65–71, Zbl   0139.41106
• Пуппе, Дитер (1967), «Стабильная теория гомотопий. I.», Mathematical Annals , 169 (2): 243–274, doi : 10.1007/BF01362348 , MR   0211400 , S2CID   122663283
• Равенел, Дуглас (1992), Нильпотентность и периодичность в теории стабильных гомотопий , Princeton University Press, ISBN  9780691025728 , МР   1192553
• Рицзардо, Алиса; Ван ден Берг, Мишель ; Ниман, Амнон (2019), «Пример функтора, не являющегося Фурье-Мукаи, между производными категориями когерентных пучков», Inventiones Mathematicae , 216 (3): 927–1004, arXiv : 1410.4039 , Bibcode : 2019InMat.216..927R , doi : 10.1007 , MR3955712   s00222-019-00862-9 , S2CID253743362   /
• Тоен, Бертран (2007), «Гомотопическая теория dg-категорий и производная теория Морита», Inventiones Mathematicae , 167 (3): 615–667, arXiv : math/0408337 , doi : 10.1007/s00222-006-0025-y , МР   2276263 , S2CID   9445008
• Вердье, Жан-Луи (1977) [1963], «Производные категории: некоторые результаты (состояние 0)», Этальные когомологии (SGA 4 1/2) (PDF) , Конспекты лекций по математике, том. 569, Спрингер, стр. 262–311, номер домена : 10.1007/BFb0091525 , ISBN.  978-3-540-08066-4 , МР   3727440
• Вердье, Жан-Луи (1996) [1967], Категории, производные от абелевых категорий , Asterisk, vol. 239, Французское математическое общество, MR   1453167.

Внешние ссылки

• Дж. Питер Мэй , Аксиомы триангулированных категорий.
• Авторы проекта Stacks, The Stacks Project