Jump to content

Спектр (топология)

В алгебраической топологии , разделе математики , спектр — это объект, представляющий обобщенную теорию когомологий . Любая такая теория когомологий представима, как это следует из теоремы Брауна о представимости . Это означает, что, учитывая теорию когомологий

,

существуют места такая, что оценка теории когомологий в степени на пространстве эквивалентно вычислению гомотопических классов отображений в пространство , то есть

.

Обратите внимание, что существует несколько различных категорий спектров, что приводит к множеству технических трудностей. [1] но все они определяют одну и ту же гомотопическую категорию , известную как стабильная гомотопическая категория . Это один из ключевых моментов для введения спектров, поскольку они образуют естественную основу для стабильной теории гомотопий.

Определение спектра

[ редактировать ]

Существует множество вариантов этого определения: вообще говоря, спектр — это любая последовательность точечных топологических пространств или точечных симплициальных множеств вместе со структурными отображениями , где это потрясающий продукт . Продукт удара заостренного пространства с окружностью гомеоморфна приведенной надстройке , обозначенный .

Следующее принадлежит Фрэнку Адамсу (1974): спектр (или CW-спектр) — это последовательность комплексов CW вместе с включениями о подвеске как подкомплекс .

Другие определения см. в симметричном спектре и симплициальном спектре .

Гомотопические группы спектра

[ редактировать ]

Одним из важнейших инвариантов спектра являются гомотопические группы спектра. Эти группы отражают определение стабильных гомотопических групп пространств, поскольку структура отображений надстройки является целостной в ее определении. Учитывая спектр определить гомотопическую группу как копредел

где карты индуцируются из композиции карты (то есть, задается функториальностью ) и структурная карта . Спектр называется связным, если он равны нулю для отрицательных k .

Спектр Эйленберга – Маклейна

[ редактировать ]

Рассмотрим сингулярные когомологии с коэффициентами в абелевой группе . Для комплекса ХО , группа можно отождествить с множеством гомотопических классов отображений из к , пространство Эйленберга–Маклейна с гомотопией, сконцентрированной в степени . Мы пишем это как

Тогда соответствующий спектр имеет -е пространство ; он называется Эйленберга – Маклейна спектром . Обратите внимание, что эту конструкцию можно использовать для встраивания любого кольца. в категорию спектров. Это вложение формирует основу спектральной геометрии, модели производной алгебраической геометрии . Одним из важных свойств этого вложения являются изоморфизмы

показ категории спектров отслеживает производную информацию коммутативных колец, где произведение удара действует как производное тензорное произведение . Более того, спектры Эйленберга – Маклейна можно использовать для определения таких теорий, как топологическая гомология Хохшильда для коммутативных колец, более совершенная теория, чем классические гомологии Хохшильда.

Топологическая комплексная К-теория

[ редактировать ]

В качестве второго важного примера рассмотрим топологическую К-теорию . По крайней мере для X Compact, определяется как группа Гротендика моноида векторных комплексных расслоений на X . Также, — группа, соответствующая векторным расслоениям на надстройке X. Топологическая K-теория является обобщенной теорией когомологий, поэтому она дает спектр. Нулевое пространство в то время как первое пространство . Здесь — бесконечная унитарная группа и это его классифицирующее пространство . По периодичности Ботта получаем и для всех n , поэтому все пространства в спектре топологической K-теории задаются либо или . Существует соответствующая конструкция, использующая вещественные векторные расслоения вместо комплексных векторных расслоений, что дает 8- периодический спектр .

Сферный спектр

[ редактировать ]

Одним из типичных примеров спектра является сферический спектр. . Это спектр, гомотопические группы которого задаются стабильными гомотопическими группами сфер, поэтому

Мы можем явно записать этот спектр как где . Обратите внимание, что потрясающий продукт дает структуру продукта в этом спектре.

индуцирует кольцевую структуру на . Более того, если рассматривать категорию симметричных спектров , это образует исходный объект, аналогичный в категории коммутативных колец.

Спектры Тома

[ редактировать ]

Другой канонический пример спектров — спектры Тома, представляющие различные теории кобордизма. Сюда входит реальный кобордизм , комплексный кобордизм , оснащенный кобордизм, спин-кобордизм , струнный кобордизм , и так далее . Действительно, для любой топологической группы существует спектр Тома .

Спектр подвески

[ редактировать ]

Спектр может быть построен из пространства. Спектр подвески пространства , обозначенный это спектр (карты структуры являются тождественными.) Например, спектр подвески 0-сферы - это спектр сферы , обсуждавшийся выше. Гомотопические группы этого спектра тогда являются стабильными гомотопическими группами , так

Конструкция спектра надстройки подразумевает, что каждое пространство можно рассматривать как теорию когомологий. Фактически, он определяет функтор

от гомотопической категории комплексов CW к гомотопической категории спектров. Морфизмы задаются формулами

которая по теореме Фрейденталя о подвеске в конечном итоге стабилизируется. Под этим мы подразумеваем

и

для некоторого конечного целого числа . Для комплекса ХО есть обратная конструкция который принимает спектр и образует пространство

называется бесконечным пространством петель спектра. Для комплекса ХО

и эта конструкция идет с включением для каждого , следовательно, дает карту

который является инъективным. К сожалению, эти две структуры, с добавлением продукта столкновения, приводят к значительной сложности теории спектров, поскольку не может существовать единая категория спектров, которая удовлетворяет списку из пяти аксиом, связывающих эти структуры. [1] Приведенное выше дополнение справедливо только в гомотопических категориях пространств и спектров, но не всегда с конкретной категорией спектров (не гомотопической категорией).

Ω-спектр

[ редактировать ]

называется Ω-спектром такой спектр, что сопряженный к структурному отображению (т. е. отображению ) является слабой эквивалентностью. Спектр K-теории кольца является примером Ω-спектра.

Кольцевой спектр

[ редактировать ]

Кольцевой спектр — это такой спектр X , что диаграммы, описывающие кольцевые аксиомы в терминах произведений смэша, коммутируют «с точностью до гомотопии» ( соответствует тождеству.) Например, спектр топологической К -теории представляет собой кольцевой спектр. Спектр модуля может быть определен аналогично.

Еще больше примеров можно найти в списке теорий когомологий .

Функции, отображения и гомотопии спектров

[ редактировать ]

Существуют три естественные категории, объектами которых являются спектры, а морфизмами — функции, отображения или гомотопические классы, определенные ниже.

Функция E двумя спектрами и F представляет собой последовательность отображений из En , в Fn между которые коммутируют с отображает En Σ En +1 +1 Σ F n F n и .

Учитывая спектр , подспектр представляет собой последовательность подкомплексов, которая также является спектром. Поскольку каждая i -ячейка в приостанавливается к ( i + 1)-ячейке в конфинальный подспектр — это подспектр, для которого каждая ячейка родительского спектра в конечном итоге оказывается в подспектре после конечного числа приостановок. Затем спектры можно преобразовать в категорию, определив карту спектров. быть функцией из конфинального подспектра из к , где две такие функции представляют одно и то же отображение, если они совпадают на некотором конфинальном подспектре. Интуитивно такая карта спектров не обязательно должна быть определена повсюду, она просто должна быть определена в конечном итоге , и две карты, совпадающие в конфинальном подспектре, называются эквивалентными. Это дает категорию спектров (и карт), которая является основным инструментом. В эту категорию естественным образом вписывается категория точечных комплексов CW: требуется спектру суспензии , в котором n -й комплекс .

Ударный продукт спектра и остроконечный комплекс представляет собой спектр, заданный формулой (ассоциативность продукта сразу дает понять, что это действительно спектр). Гомотопия отображений спектров соответствует отображению , где это непересекающийся союз с принимается за базовую точку.

Стабильная гомотопическая категория или гомотопическая категория спектров (CW) определяется как категория, объектами которой являются спектры, а морфизмы которых являются гомотопическими классами отображений между спектрами. Многие другие определения спектра, некоторые из которых кажутся очень разными, приводят к эквивалентным стабильным гомотопическим категориям.

Наконец, мы можем определить подвеску спектра формулой . Эта приостановка трансляции обратима, поскольку мы также можем ее отменить, установив .

Триангулированная гомотопическая категория спектров

[ редактировать ]

Категория стабильной гомотопии является аддитивной: карты можно добавлять, используя вариант добавления дорожек, используемый для определения гомотопических групп. Таким образом, гомотопические классы от одного спектра к другому образуют абелеву группу. Кроме того, стабильная гомотопическая категория триангулирована (Фогт (1970)), причем сдвиг задается подвеской, а выделенные треугольники - последовательностями конусов отображения спектров.

.

Разбить продукты спектров

[ редактировать ]

Смешение спектров расширяет произведение комплексов CW. Это превращает стабильную гомотопическую категорию в моноидальную категорию ; другими словами, он ведет себя как (производное) тензорное произведение абелевых групп. Основная проблема с потрясающим произведением заключается в том, что очевидные способы его определения делают его ассоциативным и коммутативным только с точностью до гомотопии. Некоторые более поздние определения спектров, такие как симметричные спектры , устраняют эту проблему и дают симметричную моноидальную структуру на уровне отображений перед переходом к гомотопическим классам.

Продукт Smash совместим с триангулированной структурой категорий. В частности, произведением выделенного треугольника со спектром является отмеченный треугольник.

Обобщенные гомологии и когомологии спектров

[ редактировать ]

Мы можем определить (стабильные) гомотопические группы спектра как группы, заданные формулой

,

где - спектр сферы и — множество гомотопических классов отображений из к . Определим обобщенную теорию гомологии спектра E формулой

и определим его обобщенную теорию когомологий формулой

Здесь может быть спектром или (используя его подвесной спектр) пространством.

Технические сложности со спектрами

[ редактировать ]

Одна из канонических сложностей при работе со спектрами и определении категории спектров связана с тем, что каждая из этих категорий не может удовлетворять пяти, казалось бы, очевидным аксиомам, касающимся бесконечного пространства петель спектра.

отправка

пара сопряженных функторов , и потрясающий продукт как в категории пространств, так и в категории спектров. Если мы позволим обозначают категорию базовых компактно порожденных слабых хаусдорфовых пространств и обозначают категорию спектров, следующие пять аксиом никогда не могут быть удовлетворены конкретной моделью спектров: [1]

  1. является симметричной моноидальной категорией относительно смешанного произведения
  2. Функтор является левосопряженным к
  3. Агрегат для измельчения продукта это спектр сферы
  4. Либо происходит естественная трансформация или естественная трансформация который коммутирует с единичным объектом в обеих категориях, а также с коммутативными и ассоциативными изоморфизмами в обеих категориях.
  5. Существует естественная слабая эквивалентность для какая то есть коммутационная схема:

    где — это карта юнитов в пристройке.

Из-за этого исследование спектров раздроблено в зависимости от используемой модели. Для общего обзора ознакомьтесь со статьей, указанной выше.

Вариант концепции спектра был представлен в докторской диссертации Илона Лагеса Лимы в 1958 году . Его советник Эдвин Спэньер продолжил писать на эту тему в 1959 году. Спектры были приняты Майклом Атьей и Джорджем Уайтхедом в их работе над теориями обобщенной гомологии в начале 1960-х годов. Докторская диссертация Дж. Майкла Бордмана 1964 года дала работоспособное определение категории спектров и отображений (а не только гомотопических классов) между ними, столь же полезных в стабильной теории гомотопий, как и категория комплексов CW в нестабильном случае. (По сути, это категория, описанная выше, и она до сих пор используется для многих целей: другие сведения см. в Adams (1974) или Rainer Vogt (1970).) Однако с 1990 года были сделаны важные дальнейшие теоретические достижения, значительно улучшившие формальную свойства спектров. Следовательно, во многих недавних литературных источниках используются модифицированные определения спектра : см. Michael Mandell et al. (2001) за унифицированное рассмотрение этих новых подходов.

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Jump up to: а б с Льюис, Л. Гаунс (30 августа 1991 г.). «Есть ли удобная категория спектров?» . Журнал чистой и прикладной алгебры . 73 (3): 233–246. дои : 10.1016/0022-4049(91)90030-6 . ISSN   0022-4049 .

Современные статьи, развивающие теорию

[ редактировать ]

Исторически значимые статьи

[ редактировать ]
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 8f009cd7d279fa4c9f32de547d4fba82__1711466700
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/8f/82/8f009cd7d279fa4c9f32de547d4fba82.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Spectrum (topology) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)