Спектр (топология)
В алгебраической топологии , разделе математики , спектр — это объект, представляющий обобщенную теорию когомологий . Любая такая теория когомологий представима, как это следует из теоремы Брауна о представимости . Это означает, что, учитывая теорию когомологий
,
существуют места такая, что оценка теории когомологий в степени на пространстве эквивалентно вычислению гомотопических классов отображений в пространство , то есть
.
Обратите внимание, что существует несколько различных категорий спектров, что приводит к множеству технических трудностей. [1] но все они определяют одну и ту же гомотопическую категорию , известную как стабильная гомотопическая категория . Это один из ключевых моментов для введения спектров, поскольку они образуют естественную основу для стабильной теории гомотопий.
Определение спектра
[ редактировать ]Существует множество вариантов этого определения: вообще говоря, спектр — это любая последовательность точечных топологических пространств или точечных симплициальных множеств вместе со структурными отображениями , где это потрясающий продукт . Продукт удара заостренного пространства с окружностью гомеоморфна приведенной надстройке , обозначенный .
Следующее принадлежит Фрэнку Адамсу (1974): спектр (или CW-спектр) — это последовательность комплексов CW вместе с включениями о подвеске как подкомплекс .
Другие определения см. в симметричном спектре и симплициальном спектре .
Гомотопические группы спектра
[ редактировать ]Одним из важнейших инвариантов спектра являются гомотопические группы спектра. Эти группы отражают определение стабильных гомотопических групп пространств, поскольку структура отображений надстройки является целостной в ее определении. Учитывая спектр определить гомотопическую группу как копредел
где карты индуцируются из композиции карты (то есть, задается функториальностью ) и структурная карта . Спектр называется связным, если он равны нулю для отрицательных k .
Примеры
[ редактировать ]Спектр Эйленберга – Маклейна
[ редактировать ]Рассмотрим сингулярные когомологии с коэффициентами в абелевой группе . Для комплекса ХО , группа можно отождествить с множеством гомотопических классов отображений из к , пространство Эйленберга–Маклейна с гомотопией, сконцентрированной в степени . Мы пишем это как
Тогда соответствующий спектр имеет -е пространство ; он называется Эйленберга – Маклейна спектром . Обратите внимание, что эту конструкцию можно использовать для встраивания любого кольца. в категорию спектров. Это вложение формирует основу спектральной геометрии, модели производной алгебраической геометрии . Одним из важных свойств этого вложения являются изоморфизмы
показ категории спектров отслеживает производную информацию коммутативных колец, где произведение удара действует как производное тензорное произведение . Более того, спектры Эйленберга – Маклейна можно использовать для определения таких теорий, как топологическая гомология Хохшильда для коммутативных колец, более совершенная теория, чем классические гомологии Хохшильда.
Топологическая комплексная К-теория
[ редактировать ]В качестве второго важного примера рассмотрим топологическую К-теорию . По крайней мере для X Compact, определяется как группа Гротендика моноида векторных комплексных расслоений на X . Также, — группа, соответствующая векторным расслоениям на надстройке X. Топологическая K-теория является обобщенной теорией когомологий, поэтому она дает спектр. Нулевое пространство в то время как первое пространство . Здесь — бесконечная унитарная группа и это его классифицирующее пространство . По периодичности Ботта получаем и для всех n , поэтому все пространства в спектре топологической K-теории задаются либо или . Существует соответствующая конструкция, использующая вещественные векторные расслоения вместо комплексных векторных расслоений, что дает 8- периодический спектр .
Сферный спектр
[ редактировать ]Одним из типичных примеров спектра является сферический спектр. . Это спектр, гомотопические группы которого задаются стабильными гомотопическими группами сфер, поэтому
Мы можем явно записать этот спектр как где . Обратите внимание, что потрясающий продукт дает структуру продукта в этом спектре.
индуцирует кольцевую структуру на . Более того, если рассматривать категорию симметричных спектров , это образует исходный объект, аналогичный в категории коммутативных колец.
Спектры Тома
[ редактировать ]Другой канонический пример спектров — спектры Тома, представляющие различные теории кобордизма. Сюда входит реальный кобордизм , комплексный кобордизм , оснащенный кобордизм, спин-кобордизм , струнный кобордизм , и так далее . Действительно, для любой топологической группы существует спектр Тома .
Спектр подвески
[ редактировать ]Спектр может быть построен из пространства. Спектр подвески пространства , обозначенный это спектр (карты структуры являются тождественными.) Например, спектр подвески 0-сферы - это спектр сферы , обсуждавшийся выше. Гомотопические группы этого спектра тогда являются стабильными гомотопическими группами , так
Конструкция спектра надстройки подразумевает, что каждое пространство можно рассматривать как теорию когомологий. Фактически, он определяет функтор
от гомотопической категории комплексов CW к гомотопической категории спектров. Морфизмы задаются формулами
которая по теореме Фрейденталя о подвеске в конечном итоге стабилизируется. Под этим мы подразумеваем
и
для некоторого конечного целого числа . Для комплекса ХО есть обратная конструкция который принимает спектр и образует пространство
называется бесконечным пространством петель спектра. Для комплекса ХО
и эта конструкция идет с включением для каждого , следовательно, дает карту
который является инъективным. К сожалению, эти две структуры, с добавлением продукта столкновения, приводят к значительной сложности теории спектров, поскольку не может существовать единая категория спектров, которая удовлетворяет списку из пяти аксиом, связывающих эти структуры. [1] Приведенное выше дополнение справедливо только в гомотопических категориях пространств и спектров, но не всегда с конкретной категорией спектров (не гомотопической категорией).
Ω-спектр
[ редактировать ]называется Ω-спектром такой спектр, что сопряженный к структурному отображению (т. е. отображению ) является слабой эквивалентностью. Спектр K-теории кольца является примером Ω-спектра.
Кольцевой спектр
[ редактировать ]Кольцевой спектр — это такой спектр X , что диаграммы, описывающие кольцевые аксиомы в терминах произведений смэша, коммутируют «с точностью до гомотопии» ( соответствует тождеству.) Например, спектр топологической К -теории представляет собой кольцевой спектр. Спектр модуля может быть определен аналогично.
Еще больше примеров можно найти в списке теорий когомологий .
Функции, отображения и гомотопии спектров
[ редактировать ]Существуют три естественные категории, объектами которых являются спектры, а морфизмами — функции, отображения или гомотопические классы, определенные ниже.
Функция E двумя спектрами и F представляет собой последовательность отображений из En , в Fn между которые коммутируют с отображает En Σ → En +1 +1 Σ F n → F n и .
Учитывая спектр , подспектр представляет собой последовательность подкомплексов, которая также является спектром. Поскольку каждая i -ячейка в приостанавливается к ( i + 1)-ячейке в конфинальный подспектр — это подспектр, для которого каждая ячейка родительского спектра в конечном итоге оказывается в подспектре после конечного числа приостановок. Затем спектры можно преобразовать в категорию, определив карту спектров. быть функцией из конфинального подспектра из к , где две такие функции представляют одно и то же отображение, если они совпадают на некотором конфинальном подспектре. Интуитивно такая карта спектров не обязательно должна быть определена повсюду, она просто должна быть определена в конечном итоге , и две карты, совпадающие в конфинальном подспектре, называются эквивалентными. Это дает категорию спектров (и карт), которая является основным инструментом. В эту категорию естественным образом вписывается категория точечных комплексов CW: требуется спектру суспензии , в котором n -й комплекс .
Ударный продукт спектра и остроконечный комплекс представляет собой спектр, заданный формулой (ассоциативность продукта сразу дает понять, что это действительно спектр). Гомотопия отображений спектров соответствует отображению , где это непересекающийся союз с принимается за базовую точку.
Стабильная гомотопическая категория или гомотопическая категория спектров (CW) определяется как категория, объектами которой являются спектры, а морфизмы которых являются гомотопическими классами отображений между спектрами. Многие другие определения спектра, некоторые из которых кажутся очень разными, приводят к эквивалентным стабильным гомотопическим категориям.
Наконец, мы можем определить подвеску спектра формулой . Эта приостановка трансляции обратима, поскольку мы также можем ее отменить, установив .
Триангулированная гомотопическая категория спектров
[ редактировать ]Категория стабильной гомотопии является аддитивной: карты можно добавлять, используя вариант добавления дорожек, используемый для определения гомотопических групп. Таким образом, гомотопические классы от одного спектра к другому образуют абелеву группу. Кроме того, стабильная гомотопическая категория триангулирована (Фогт (1970)), причем сдвиг задается подвеской, а выделенные треугольники - последовательностями конусов отображения спектров.
- .
Разбить продукты спектров
[ редактировать ]Смешение спектров расширяет произведение комплексов CW. Это превращает стабильную гомотопическую категорию в моноидальную категорию ; другими словами, он ведет себя как (производное) тензорное произведение абелевых групп. Основная проблема с потрясающим произведением заключается в том, что очевидные способы его определения делают его ассоциативным и коммутативным только с точностью до гомотопии. Некоторые более поздние определения спектров, такие как симметричные спектры , устраняют эту проблему и дают симметричную моноидальную структуру на уровне отображений перед переходом к гомотопическим классам.
Продукт Smash совместим с триангулированной структурой категорий. В частности, произведением выделенного треугольника со спектром является отмеченный треугольник.
Обобщенные гомологии и когомологии спектров
[ редактировать ]Мы можем определить (стабильные) гомотопические группы спектра как группы, заданные формулой
- ,
где - спектр сферы и — множество гомотопических классов отображений из к . Определим обобщенную теорию гомологии спектра E формулой
и определим его обобщенную теорию когомологий формулой
Здесь может быть спектром или (используя его подвесной спектр) пространством.
Технические сложности со спектрами
[ редактировать ]Одна из канонических сложностей при работе со спектрами и определении категории спектров связана с тем, что каждая из этих категорий не может удовлетворять пяти, казалось бы, очевидным аксиомам, касающимся бесконечного пространства петель спектра.
отправка
пара сопряженных функторов , и потрясающий продукт как в категории пространств, так и в категории спектров. Если мы позволим обозначают категорию базовых компактно порожденных слабых хаусдорфовых пространств и обозначают категорию спектров, следующие пять аксиом никогда не могут быть удовлетворены конкретной моделью спектров: [1]
- является симметричной моноидальной категорией относительно смешанного произведения
- Функтор является левосопряженным к
- Агрегат для измельчения продукта это спектр сферы
- Либо происходит естественная трансформация или естественная трансформация который коммутирует с единичным объектом в обеих категориях, а также с коммутативными и ассоциативными изоморфизмами в обеих категориях.
- Существует естественная слабая эквивалентность для какая то есть коммутационная схема:
где — это карта юнитов в пристройке.
Из-за этого исследование спектров раздроблено в зависимости от используемой модели. Для общего обзора ознакомьтесь со статьей, указанной выше.
История
[ редактировать ]Вариант концепции спектра был представлен в докторской диссертации Илона Лагеса Лимы в 1958 году . Его советник Эдвин Спэньер продолжил писать на эту тему в 1959 году. Спектры были приняты Майклом Атьей и Джорджем Уайтхедом в их работе над теориями обобщенной гомологии в начале 1960-х годов. Докторская диссертация Дж. Майкла Бордмана 1964 года дала работоспособное определение категории спектров и отображений (а не только гомотопических классов) между ними, столь же полезных в стабильной теории гомотопий, как и категория комплексов CW в нестабильном случае. (По сути, это категория, описанная выше, и она до сих пор используется для многих целей: другие сведения см. в Adams (1974) или Rainer Vogt (1970).) Однако с 1990 года были сделаны важные дальнейшие теоретические достижения, значительно улучшившие формальную свойства спектров. Следовательно, во многих недавних литературных источниках используются модифицированные определения спектра : см. Michael Mandell et al. (2001) за унифицированное рассмотрение этих новых подходов.
См. также
[ редактировать ]- Кольцевой спектр
- Симметричный спектр
- G-спектр
- Картирование спектра
- Подвеска (топология)
- Спектральная последовательность Адамса
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б с Льюис, Л. Гаунс (30 августа 1991 г.). «Есть ли удобная категория спектров?» . Журнал чистой и прикладной алгебры . 73 (3): 233–246. дои : 10.1016/0022-4049(91)90030-6 . ISSN 0022-4049 .
Вводный
[ редактировать ]- Адамс, Дж. Франк (1974). Стабильная гомотопия и обобщенная гомология . Издательство Чикагского университета . ISBN 9780226005249 .
- Эльмендорф, Энтони Д.; Кржиж, Игорь; Манделл, Майкл А.; Мэй, Дж. Питер (1995), «Современные основы стабильной гомотопической теории» (PDF) , в книге Джеймса, Иоана М. (ред.), Справочник по алгебраической топологии , Амстердам: Северная Голландия, стр. 213–253, CiteSeerX 10.1.1.55.8006 , номер doi : 10.1016/B978-044481779-2/50007-9 , ISBN 978-0-444-81779-2 , МР 1361891
Современные статьи, развивающие теорию
[ редактировать ]- Манделл, Майкл А.; Мэй, Дж. Питер ; Шведе, Стефан; Шипли, Брук (2001), «Модельные категории спектров диаграмм», Труды Лондонского математического общества , серия 3, 82 (2): 441–512, CiteSeerX 10.1.1.22.3815 , doi : 10.1112/S0024611501012692 , MR 1806878 , S2CID 551246
Исторически значимые статьи
[ редактировать ]- Атья, Майкл Ф. (1961). «Бордизмы и кобордизмы». Труды Кембриджского философского общества . 57 (2): 200–8. дои : 10.1017/s0305004100035064 . S2CID 122937421 .
- Лима, Илон Лагес (1959), «Двойственность Спаниера-Уайтхеда в новых гомотопических категориях», Summa Brasil. Математика. , 4 : 91–148, МР 0116332
- Лима, Илон Лагес (1960), «Стабильные инварианты Постникова и их двойники», Summa Brasil. Математика. , 4 : 193–251
- Фогт, Райнер (1970), Стабильная гомотопическая категория Бордмана , Серия конспектов лекций, No. 21, факультет математики, Орхусский университет, Орхус, MR 0275431
- Уайтхед, Джордж В. (1962), «Обобщенные теории гомологии», Труды Американского математического общества , 102 (2): 227–283, doi : 10.1090/S0002-9947-1962-0137117-6
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Спектральные последовательности - Аллен Хэтчер - содержит отличное введение в спектры и приложения для построения спектральной последовательности Адамса.
- Книжный проект без названия о симметричных спектрах
- «Действительно ли спектры — это то же самое, что теории когомологий?» .