Том космос
В математике пространство Тома, комплекс Тома или конструкция Понтрягина-Тома (названная в честь Рене Тома и Льва Понтрягина ) алгебраической топологии и дифференциальной топологии представляет собой топологическое пространство , связанное с векторным расслоением над любым паракомпактным пространством.
Строительство пространства Тома
[ редактировать ]Один из способов построения этого пространства заключается в следующем. Позволять
ранга n — вещественное векторное расслоение над паракомпактом B . Тогда для каждой b в B слой точки является n -мерным вещественным векторным пространством . Мы можем сформировать пучок n - сфер. взяв одноточечную компактификацию каждого слоя и склеив их вместе, чтобы получить общее пространство. [ нужны дальнейшие объяснения ] Наконец, из общего пространства мы получаем пространство Тома как частное по Б ; то есть путем отождествления всех новых точек с одной точкой , который мы принимаем основу за . Если B компактно, то является одноточечной компактификацией E .
Например, если E — тривиальное расслоение , затем является и, написав для B с непересекающейся базовой точкой, это хитовый продукт и ; есть n -я приведенная приостановка то .
Альтернативно, [ нужна ссылка ] поскольку B паракомпактно, E можно задать евклидову метрику и тогда может быть определен как частное расслоения единичного диска E на единицу -сферное расслоение E .
Изоморфизм Тома
[ редактировать ]следующего результата, относящегося к предмету когомологий расслоений Значение этой конструкции начинается со . (Мы сформулировали результат в терминах коэффициенты, позволяющие избежать осложнений, возникающих из-за ориентируемости ; см. также Ориентация векторного расслоения # Пространство Тома .)
Позволять — вещественное векторное расслоение ранга n . Тогда существует изоморфизм, называемый изоморфизмом Тома.
для всех k, больших или равных 0, где правая часть представляет собой приведенные когомологии .
Эта теорема была сформулирована и доказана Рене Томом в его знаменитой диссертации 1952 года.
Мы можем интерпретировать теорему как глобальное обобщение изоморфизма надстройки на локальные тривиализации, поскольку пространство Тома тривиального расслоения на B ранга k изоморфно k- й надстройке , B с добавленной непересекающейся точкой (см. #Построение пространства Тома .) Это легче увидеть в формулировке теоремы, в которой не упоминается пространство Тома:
Изоморфизм Тома — Позволять быть кольцом и — ориентированное вещественное векторное расслоение ранга n . Тогда существует класс
где B вложено в E как нулевое сечение, такое, что для любого слоя F ограничение u
— класс, индуцированный ориентацией F . Более того,
является изоморфизмом.
Вкратце, последняя часть теоремы гласит, что u свободно порождает как право -модуль. Класс u обычно называют Тома классом E . С момента отката является кольцевым изоморфизмом , определяется уравнением:
В частности, изоморфизм Тома отправляет единичный элемент тебе . Примечание: чтобы эта формула имела смысл, u рассматривается как элемент (мы опускаем кольцо )
Стандартным справочником по изоморфизму Тома является книга Ботта и Ту.
Значение работы Тома
[ редактировать ]В своей статье 1952 года Том показал, что класс Тома, классы Стифеля-Уитни и операции Стинрода связаны между собой. Он использовал эти идеи, чтобы доказать в статье 1954 года Quelques proprietés globales des variétés дифференциальности , что группы кобордизмов могут быть вычислены как гомотопические группы некоторых пространств Тома MG ( n ). Доказательство зависит и тесно связано со трансверсальности свойствами гладких многообразий — см. теорему Тома о трансверсальности . Перевернув эту конструкцию, Джон Милнор и Сергей Новиков (среди многих других) смогли ответить на вопросы о существовании и уникальности многомерных многообразий: теперь это известно как теория хирургии . Кроме того, пространства MG(n) объединяются, образуя спектры MG, теперь известные как спектры Тома , а группы кобордизмов фактически стабильны . Таким образом, конструкция Тома также объединяет дифференциальную топологию и теорию стабильной гомотопии и, в частности, является неотъемлемой частью наших знаний о стабильных гомотопических группах сфер .
Если доступны операции Стинрода, мы можем использовать их и изоморфизм теоремы для построения классов Стифеля–Уитни. Напомним, что операции Стинрода (mod 2) являются естественными преобразованиями.
определено для всех неотрицательных целых чисел m . Если , затем совпадает с квадратом чашки. Мы можем определить i -й класс Штифеля–Уитни. векторного расслоения к:
Следствия для дифференцируемых многообразий
[ редактировать ]Если мы возьмем расслоение из приведенного выше касательного расслоения к гладкому многообразию, то вывод из вышесказанного называется формулой Ву и имеет следующее сильное следствие: поскольку операции Стинрода инвариантны относительно гомотопической эквивалентности, мы заключаем, что Также существуют классы Стифеля – Уитни многообразия. Это необычный результат, который не распространяется на другие классы характеристик. Существует аналогичный знаменитый и трудный результат устанавливающий топологическую инвариантность для рациональных классов Понтрягина , Сергея Новикова .
Спектр Тома
[ редактировать ]Настоящий кобордизм
[ редактировать ]Есть два способа думать о бордизме: один – как рассмотрение двух -многообразия являются кобордантными, если существует -многообразие с краем такой, что
Другой метод кодирования такого рода информации — использовать вложение и учитывая обычную связку
Вложенное многообразие вместе с классом изоморфизма нормального расслоения фактически кодирует ту же информацию, что и класс кобордизмов. . Это можно показать [2] с помощью кобордизма и найти вложение в некоторые что дает гомотопический класс отображений в пространство Тома определено ниже. Доказывая изоморфизм
требует немного больше работы. [3]
Определение спектра Тома
[ редактировать ]По определению спектр Тома [4] представляет собой последовательность пространств Тома
где мы написали для универсального векторного расслоения ранга n . Последовательность образует спектр . [5] Теорема Тома гласит, что – кольцо неориентированных кобордизмов ; [6] доказательство этой теоремы в решающей степени опирается на теорему Тома о трансверсальности . [7] Отсутствие трансверсальности не позволяет вычислять кольца кобордизмов, скажем, топологических многообразий по спектрам Тома.
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Доказательство изоморфизма. Мы можем встроить B в либо как нулевой участок; т.е. сечение нулевого вектора или сечение бесконечности; т. е. сечение вектора на бесконечности (топологически разница несущественна). Используя два способа встраивания, мы получаем тройку:
- .
- ^ «Теорема Тома» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 17 января 2021 года.
- ^ «Трансверсальность» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 17 января 2021 года.
- ^ См. стр. 8–9 в Гринлис, JPC (15 сентября 2006 г.). «Спектры для коммутативных алгебраистов». arXiv : math/0609452 .
- ^ Фрэнсис, Дж. «Математика 465, лекция 2: кобордизм» (PDF) . Примечания О. Гвильяма. Северо-Западный университет.
- ^ Стонг 1968 , с. 18
- ^ Фрэнсис, Дж. «Математика 465, лекция 4: трансверсальность» (PDF) . Записки И. Бобовки. Северо-Западный университет.
Ссылки
[ редактировать ]- Салливан, Деннис (2004). «Работа Рене Тома по геометрической гомологии и бордизмам» . Бюллетень Американского математического общества . 41 (3): 341–350. дои : 10.1090/S0273-0979-04-01026-2 .
- Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг (1982). Дифференциальные формы в алгебраической топологии . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-90613-4 . Классический справочник по дифференциальной топологии , рассматривающий связь с двойственностью Пуанкаре , классом Эйлера , расслоений сфер классами Тома, изоморфизмом Тома и многим другим.
- Милнор, Джон . Характерные классы . — еще одна стандартная ссылка на класс Тома и изоморфизм Тома. См. особенно пункт 18.
- Мэй, Дж. Питер (1999). Краткий курс алгебраической топологии . Издательство Чикагского университета . стр. 183–198. ISBN 0-226-51182-0 . В этом учебнике дается подробное построение класса Тома для тривиальных векторных расслоений, а также формулируется теорема для случая произвольных векторных расслоений.
- Стонг, Роберт Э. (1968). Заметки по теории кобордизмов . Издательство Принстонского университета .
- Том, Рене (1954). « Некоторые глобальные свойства дифференцируемых многообразий ». Комментарии по математике Helvetici . 28 :17–86. дои : 10.1007/BF02566923 . S2CID 120243638 .
- Андо, Мэтью; Блумберг, Эндрю Дж.; Гепнер, Дэвид Дж.; Хопкинс, Майкл Дж .; Резк, Чарльз (2014). «Единицы кольцевых спектров и спектров Тома». Журнал топологии . 7 (4): 1077–1117. arXiv : 0810.4535 . дои : 10.1112/jtopol/jtu009 . МР 0286898 . S2CID 119613530 .