Jump to content

Том космос

(Перенаправлено из спектра Тома )

В математике пространство Тома, комплекс Тома или конструкция Понтрягина-Тома (названная в честь Рене Тома и Льва Понтрягина ) алгебраической топологии и дифференциальной топологии представляет собой топологическое пространство , связанное с векторным расслоением над любым паракомпактным пространством.

Строительство пространства Тома

[ редактировать ]

Один из способов построения этого пространства заключается в следующем. Позволять

ранга n — вещественное векторное расслоение над паракомпактом B . Тогда для каждой b в B слой точки является n -мерным вещественным векторным пространством . Мы можем сформировать пучок n - сфер. взяв одноточечную компактификацию каждого слоя и склеив их вместе, чтобы получить общее пространство. [ нужны дальнейшие объяснения ] Наконец, из общего пространства мы получаем пространство Тома как частное по Б ; то есть путем отождествления всех новых точек с одной точкой , который мы принимаем основу за . Если B компактно, то является одноточечной компактификацией E .

Например, если E — тривиальное расслоение , затем является и, написав для B с непересекающейся базовой точкой, это хитовый продукт и ; есть n -я приведенная приостановка то .

Альтернативно, [ нужна ссылка ] поскольку B паракомпактно, E можно задать евклидову метрику и тогда может быть определен как частное расслоения единичного диска E на единицу -сферное расслоение E .

Изоморфизм Тома

[ редактировать ]

следующего результата, относящегося к предмету когомологий расслоений Значение этой конструкции начинается со . (Мы сформулировали результат в терминах коэффициенты, позволяющие избежать осложнений, возникающих из-за ориентируемости ; см. также Ориентация векторного расслоения # Пространство Тома .)

Позволять — вещественное векторное расслоение ранга n . Тогда существует изоморфизм, называемый изоморфизмом Тома.

для всех k, больших или равных 0, где правая часть представляет собой приведенные когомологии .

Эта теорема была сформулирована и доказана Рене Томом в его знаменитой диссертации 1952 года.

Мы можем интерпретировать теорему как глобальное обобщение изоморфизма надстройки на локальные тривиализации, поскольку пространство Тома тривиального расслоения на B ранга k изоморфно k- й надстройке , B с добавленной непересекающейся точкой (см. #Построение пространства Тома .) Это легче увидеть в формулировке теоремы, в которой не упоминается пространство Тома:

Изоморфизм Тома Позволять быть кольцом и ориентированное вещественное векторное расслоение ранга n . Тогда существует класс

где B вложено в E как нулевое сечение, такое, что для любого слоя F ограничение u

— класс, индуцированный ориентацией F . Более того,

является изоморфизмом.

Вкратце, последняя часть теоремы гласит, что u свободно порождает как право -модуль. Класс u обычно называют Тома классом E . С момента отката является кольцевым изоморфизмом , определяется уравнением:

В частности, изоморфизм Тома отправляет единичный элемент тебе . Примечание: чтобы эта формула имела смысл, u рассматривается как элемент (мы опускаем кольцо )

[1]

Стандартным справочником по изоморфизму Тома является книга Ботта и Ту.

Значение работы Тома

[ редактировать ]

В своей статье 1952 года Том показал, что класс Тома, классы Стифеля-Уитни и операции Стинрода связаны между собой. Он использовал эти идеи, чтобы доказать в статье 1954 года Quelques proprietés globales des variétés дифференциальности , что группы кобордизмов могут быть вычислены как гомотопические группы некоторых пространств Тома MG ( n ). Доказательство зависит и тесно связано со трансверсальности свойствами гладких многообразий — см. теорему Тома о трансверсальности . Перевернув эту конструкцию, Джон Милнор и Сергей Новиков (среди многих других) смогли ответить на вопросы о существовании и уникальности многомерных многообразий: теперь это известно как теория хирургии . Кроме того, пространства MG(n) объединяются, образуя спектры MG, теперь известные как спектры Тома , а группы кобордизмов фактически стабильны . Таким образом, конструкция Тома также объединяет дифференциальную топологию и теорию стабильной гомотопии и, в частности, является неотъемлемой частью наших знаний о стабильных гомотопических группах сфер .

Если доступны операции Стинрода, мы можем использовать их и изоморфизм теоремы для построения классов Стифеля–Уитни. Напомним, что операции Стинрода (mod 2) являются естественными преобразованиями.

определено для всех неотрицательных целых чисел m . Если , затем совпадает с квадратом чашки. Мы можем определить i -й класс Штифеля–Уитни. векторного расслоения к:

Следствия для дифференцируемых многообразий

[ редактировать ]

Если мы возьмем расслоение из приведенного выше касательного расслоения к гладкому многообразию, то вывод из вышесказанного называется формулой Ву и имеет следующее сильное следствие: поскольку операции Стинрода инвариантны относительно гомотопической эквивалентности, мы заключаем, что Также существуют классы Стифеля – Уитни многообразия. Это необычный результат, который не распространяется на другие классы характеристик. Существует аналогичный знаменитый и трудный результат устанавливающий топологическую инвариантность для рациональных классов Понтрягина , Сергея Новикова .

Спектр Тома

[ редактировать ]

Настоящий кобордизм

[ редактировать ]

Есть два способа думать о бордизме: один – как рассмотрение двух -многообразия являются кобордантными, если существует -многообразие с краем такой, что

Другой метод кодирования такого рода информации — использовать вложение и учитывая обычную связку

Вложенное многообразие вместе с классом изоморфизма нормального расслоения фактически кодирует ту же информацию, что и класс кобордизмов. . Это можно показать [2] с помощью кобордизма и найти вложение в некоторые что дает гомотопический класс отображений в пространство Тома определено ниже. Доказывая изоморфизм

требует немного больше работы. [3]

Определение спектра Тома

[ редактировать ]

По определению спектр Тома [4] представляет собой последовательность пространств Тома

где мы написали для универсального векторного расслоения ранга n . Последовательность образует спектр . [5] Теорема Тома гласит, что – кольцо неориентированных кобордизмов ; [6] доказательство этой теоремы в решающей степени опирается на теорему Тома о трансверсальности . [7] Отсутствие трансверсальности не позволяет вычислять кольца кобордизмов, скажем, топологических многообразий по спектрам Тома.

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Доказательство изоморфизма. Мы можем встроить B в либо как нулевой участок; т.е. сечение нулевого вектора или сечение бесконечности; т. е. сечение вектора на бесконечности (топологически разница несущественна). Используя два способа встраивания, мы получаем тройку:
    .
    Четко, втягивается в B. деформация - Взяв длинную точную последовательность этой тройки, мы увидим:
    последний из которых изоморфен:
    путем иссечения.
  2. ^ «Теорема Тома» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 17 января 2021 года.
  3. ^ «Трансверсальность» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 17 января 2021 года.
  4. ^ См. стр. 8–9 в Гринлис, JPC (15 сентября 2006 г.). «Спектры для коммутативных алгебраистов». arXiv : math/0609452 .
  5. ^ Фрэнсис, Дж. «Математика 465, лекция 2: кобордизм» (PDF) . Примечания О. Гвильяма. Северо-Западный университет.
  6. ^ Стонг 1968 , с. 18
  7. ^ Фрэнсис, Дж. «Математика 465, лекция 4: трансверсальность» (PDF) . Записки И. Бобовки. Северо-Западный университет.
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: f3a2e1b68cadf643226a05c398176021__1722439920
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/f3/21/f3a2e1b68cadf643226a05c398176021.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Thom space - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)