Подвеска (топология)

Подвеска круга . Исходное пространство выделено синим цветом, а свернутые конечные точки — зеленым.

В топологии , разделе математики , подвеска топологического пространства X интуитивно получается путем растягивания X в цилиндр и последующего сжатия обеих торцевых граней в точки. Один рассматривает X как «подвешенный» между этими конечными точками. Подвешивание X обозначается SX или susp( X ) .

Существует вариант подвески для точечного пространства , который называется приведенной подвеской и обозначается Σ X . «Обычную» подвеску SX иногда называют нередуцированной подвеской , неосновной подвеской свободной подвеской X X. , чтобы отличить ее от Σ или

Бесплатная дисквалификация

(Бесплатная) подвеска $SX$ пространства топологического $X$ можно определить несколькими способами.

1. $SX$ это фактор-пространство $(X\times [0,1])/(X\times \{0\},X\times \{1\})$. Другими словами, его можно построить следующим образом:

• Построить цилиндр $X\times [0,1]$.
• Рассмотрим весь набор $X\times \{0\}$ как одну точку («склеить» все ее точки вместе).
• Рассмотрим весь набор $X\times \{1\}$ как одну точку («склеить» все ее точки вместе).

2 . Другой способ написать это:

$SX:=v_{0}\cup _{p_{0}}(X\times [0,1])\cup _{p_{1}}v_{1}\ =\ \varinjlim _{i\in \{0,1\}}{\bigl (}(X\times [0,1])\hookleftarrow (X\times \{i\})\xrightarrow {p_{i}} v_{i}{\bigr )},$

Где $v_{0},v_{1}$ две точки , и для каждого i в {0,1}, $p_{i}$ это проекция на точку $v_{i}$ (функция, которая отображает все в $v_{i}$). Это значит, что подвеска $SX$ является результатом построения цилиндра $X\times [0,1]$, а затем прикрепив его за грани, $X\times \{0\}$ и $X\times \{1\}$, по точкам $v_{0},v_{1}$ по проекциям $p_{i}:{\bigl (}X\times \{i\}{\bigr )}\to v_{i}$.

3. Можно просмотреть $SX$ как два конуса на X, склеенные у основания.

4. $SX$ также может быть определено как соединение $X\star S^{0},$ где $S^{0}$ представляет собой дискретное пространство с двумя точками.

Свойства

Грубо говоря, S увеличивает размерность пространства на единицу: например, он превращает n - сферу в ( n + 1)-сферу при n ≥ 0.

Учитывая непрерывное отображение $f:X\rightarrow Y,$ есть непрерывная карта $Sf:SX\rightarrow SY$ определяется $Sf([x,t]):=[f(x),t],$ где квадратные скобки обозначают классы эквивалентности . Это делает $S$ в функтор из категории топологических пространств в себя.

подвеска

Если X — точечное пространство с базовой точкой x ₀ , существует вариант подвески, который иногда более полезен. Приведенная подвеска или основанная подвеска Σ X of X представляет собой фактор-пространство:

$\Sigma X=(X\times I)/(X\times \{0\}\cup X\times \{1\}\cup \{x_{0}\}\times I)$.

Это эквивалентно взятию SX и свертыванию линии ( x ₀ × I   ), соединяющей два конца в одну точку. В качестве базовой точки точечного пространства Σ X берется класс эквивалентности ( x ₀ , 0).

Можно показать, что приведенная надстройка гомеоморфна смешанному произведению X X с единичной окружностью S. ¹ .

$\Sigma X\cong S^{1}\wedge X$

Для пространств с хорошим поведением , таких как комплексы CW , приведенная надстройка X небазированной гомотопически эквивалентна надстройке.

Добавление сокращенных функторов подвески

Σ порождает функтор из категории точечных пространств в себя. Важным свойством этого функтора является то, что он остается сопряженным с функтором $\Omega$ занимая указанное место $X$ в его пространство цикла $\Omega X$. Другими словами, мы имеем естественный изоморфизм

$\operatorname {Maps} _{*}\left(\Sigma X,Y\right)\cong \operatorname {Maps} _{*}\left(X,\Omega Y\right)$

где $X$ и $Y$ представляют собой заостренные пространства и $\operatorname {Maps} _{*}$ означает непрерывные карты, сохраняющие базовые точки. Геометрически это присоединение можно понять следующим образом: $\Sigma X$ возникает из $X$ если заостренный круг прикреплен к каждой небазовой точке $X$, а базовые точки всех этих кругов идентифицируются и приклеиваются к базовой точке $X$. Теперь, чтобы указать указанную карту из $\Sigma X$ к $Y$, нам нужно передать точечные карты из каждого из этих остроконечных кругов в $Y$. Это означает, что нам нужно связать с каждым элементом $X$ петля в $Y$ (элемент пространства цикла $\Omega Y$), а тривиальный цикл должен быть связан с базовой точкой $X$: это остроконечная карта из $X$ к $\Omega Y$. (Необходимо проверить непрерывность всех задействованных карт.)

Таким образом, присоединение похоже на каррирование , приведение карт декартовых произведений к их каррированной форме и является примером двойственности Экмана-Хилтона .

Это присоединение является частным случаем присоединения, описанного в статье о потрясающих продуктах .

Приложения

Приведенную надстройку можно использовать для построения гомоморфизма гомотопических групп , к которому теорема Фрейденталя о подвеске применима . В гомотопической теории явления, сохраняющиеся в подвешенном состоянии, в соответствующем смысле составляют стабильную гомотопическую теорию .

Примеры

Некоторые примеры приостановок:

• Подвеска n-шара гомеоморфна (n+1)-шару.

Отстранение

Основная статья: Отказ от приостановки

Десуспензирование представляет собой операцию, частично обратную приостановке.

См. также

• Теорема о двойной подвеске
• Конус (топология)
• Присоединиться (топология)

Ссылки

• В эту статью включены материалы из сайта Suspension on PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .