Теорема Фрейденталя о подвеске

В математике , и особенно в области теории гомотопий , теорема Фрейденталя о подвеске является фундаментальным результатом, ведущим к концепции стабилизации гомотопических групп и, в конечном итоге, к стабильной теории гомотопий . Это объясняет поведение одновременного принятия надстроек и увеличения индекса гомотопических групп рассматриваемого пространства. Это было доказано в 1937 году Гансом Фройденталем .

Теорема является следствием теоремы об вырезании гомотопий .

Формулировка теоремы [ править ]

Пусть X — n -связное точечное пространство (точечный CW-комплекс или точечное симплициальное множество ). Карта

X\to \Omega (\Sigma X)

вызывает карту

\pi _{k}(X)\to \pi _{k}(\Omega (\Sigma X))

на гомотопических группах, где Ω обозначает функтор петли , а Σ обозначает приведенный функтор подвески . Тогда теорема о подвеске утверждает, что индуцированное отображение гомотопических групп является изоморфизмом, если k ≤ 2 n , и эпиморфизмом , если k = 2 n + 1.

Основной результат о пространствах петель дает соотношение

\pi _{k}(\Omega (\Sigma X))\cong \pi _{k+1}(\Sigma X)

поэтому теорему иначе можно было бы сформулировать в терминах отображения

\pi _{k}(X)\to \pi _{k+1}(\Sigma X),

с небольшой оговоркой, что в этом случае нужно быть осторожным с индексацией.

Доказательство [ править ]

Как упоминалось выше, теорема Фрейденталя о подвеске быстро следует из вырезания гомотопии ; это доказательство проводится в терминах естественного отображения $\pi _{k}(X)\to \pi _{k+1}(\Sigma X)$ . Если пространство $X$ является $n$ -связно, то пара пробелов $(CX,X)$ является $(n+1)$ -связный, где $CX$ находится приведенный конус над $X$ ; это следует из относительной гомотопической длинной точной последовательности . Мы можем разложить $\Sigma X$ как две копии $CX$ , сказать $(CX)_{+},(CX)_{-}$ , пересечение которого $X$ . Затем гомотопическое вырезание говорит о карте включения:

((CX)_{+},X)\subset (\Sigma X,(CX)_{-})

индуцирует изоморфизмы на $\pi _{i},i<2n+2$ и сюръекция на $\pi _{2n+2}$ . Из той же относительно длинной точной последовательности $\pi _{i}(X)=\pi _{i+1}(CX,X),$ и поскольку, кроме того, конусы сжимаемы,

\pi _{i}(\Sigma X,(CX)_{-})=\pi _{i}(\Sigma X).

Сложив все это вместе, мы получаем

\pi _{i}(X)=\pi _{i+1}((CX)_{+},X)=\pi _{i+1}((\Sigma X,(CX)_{-})=\pi _{i+1}(\Sigma X)

для $i+1<2n+2$ , то есть $i\leqslant 2n$ , как заявлено выше; для $i=2n+1$ левое и правое отображения являются изоморфизмами, независимо от того, насколько они связаны $X$ есть, а средний представляет собой сюръекцию путем вырезания, поэтому композиция является сюръекцией, как утверждается.

Следствие 1 [ править ]

Пусть S ^н обозначим n -сферу и заметим, что она ( n − 1)-связна, так что группы $\pi _{n+k}(S^{n})$ стабилизировать для $n\geqslant k+2$ по теореме Фрейденталя. Эти группы представляют собой k -ю стабильную гомотопическую группу сфер .

Следствие 2 [ править ]

В более общем смысле, при фиксированном k ≥ 1, k ≤ 2 n для достаточно большого n , так что любое n -связное пространство X будет иметь соответствующие стабилизированные гомотопические группы. Эти группы на самом деле являются гомотопическими группами объекта, соответствующего X в стабильной гомотопической категории .

Ссылки [ править ]

Фрейденталь, Х. (1938), «О классах сферических карт. I. Большие размерности» , Compositio Mathematica , 5 : 299–314 .
Гёрсс, П.Г.; Жардин, Дж. Ф. (1999), Симплициальная теория гомотопии , Progress in Mathematics, vol. 174, Базель-Бостон-Берлин: Биркхойзер .
Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-79540-0 .
Уайтхед, Г.В. (1953), «О теоремах Фрейденталя», Annals of Mathematics , 57 (2): 209–228, doi : 10.2307/1969855 , JSTOR 1969855 , MR 0055683 .