Присоединиться (топология)

Геометрическое соединение двух отрезков прямой . Исходные пространства показаны зеленым и синим цветом. Соединение представляет собой трехмерное твердое тело, дисфеноид , серого цвета.

В топологии , области математики , соединение двух топологических пространств. $A$ и $B$ , часто обозначаемый $A\ast B$ или $A\star B$ , представляет собой топологическое пространство, образованное путем объединения двух пространств и присоединения отрезков прямых, соединяющих каждую точку в $A$ в каждую точку в $B$ . Объединение пространства $A$ с самим собой обозначается $A^{\star 2}:=A\star A$ . Соединение определяется немного по-разному в разных контекстах.

Геометрические наборы

Если $A$ и $B$ являются подмножествами евклидова пространства $\mathbb {R} ^{n}$ , затем: ^[1]^: 1

$A\star B\ :=\ \{t\cdot a+(1-t)\cdot b~|~a\in A,b\in B,t\in [0,1]\}$ ,

то есть набор всех отрезков между точками в $A$ и точка в $B$ .

Некоторые авторы ^[2]^: 5 ограничьте определение подмножествами, которые являются соединяемыми : любые два разных отрезка, соединяющие точку A с точкой B, встречаются не более чем в одной конечной точке (то есть они не пересекаются внутри). Каждые два подмножества можно сделать «объединяемыми». Например, если $A$ находится в $\mathbb {R} ^{n}$ и $B$ находится в $\mathbb {R} ^{m}$ , затем $A\times \{0^{m}\}\times \{0\}$ и $\{0^{n}\}\times B\times \{1\}$ присоединяются в $\mathbb {R} ^{n+m+1}$ . На рисунке выше показан пример для m=n=1, где $A$ и $B$ являются отрезками линий.

Примеры

Соединение двух симплексов является симплексом: соединение n -мерного и m -мерного симплексов представляет собой ( m + n +1)-мерный симплекс. Некоторые особые случаи:
- Соединение двух непересекающихся точек представляет собой интервал ( m = n =0).
- Соединение точки и интервала представляет собой треугольник (m=0, n=1).
- Соединение двух отрезков прямой гомеоморфно сплошному тетраэдру или дисфеноиду , как показано на рисунке справа вверху ( m = n =1).
- Соединение точки и ( n -1)-мерного симплекса является n -мерным симплексом.
Соединение точки и многоугольника (или любого многогранника ) представляет собой пирамиду , подобно тому, как соединение точки и квадрата представляет собой квадратную пирамиду . Соединение точки и куба представляет собой кубическую пирамиду .
Соединение точки и окружности представляет собой конус , а соединение точки и сферы — гиперконус .

Топологические пространства

Если $A$ и $B$ являются любыми топологическими пространствами, то:

A\star B\ :=\ A\sqcup _{p_{0}}(A\times B\times [0,1])\sqcup _{p_{1}}B,

где цилиндр $A\times B\times [0,1]$ прикрепляется к исходным пространствам $A$ и $B$ по естественным проекциям граней цилиндра:

{A\times B\times \{0\}}\xrightarrow {p_{0}} A,

{A\times B\times \{1\}}\xrightarrow {p_{1}} B.

Обычно неявно предполагается, что $A$ и $B$ непусты, и в этом случае определение часто формулируют немного иначе: вместо присоединения граней цилиндра $A\times B\times [0,1]$ в пространства $A$ и $B$ , эти грани просто свернуты так, как подсказывают проекции прикрепления $p_{1},p_{2}$ : формируем факторпространство

A\star B\ :=\ (A\times B\times [0,1])/\sim ,

где отношение эквивалентности $\sim$ генерируется

(a,b_{1},0)\sim (a,b_{2},0)\quad {\mbox{for all }}a\in A{\mbox{ and }}b_{1},b_{2}\in B,

(a_{1},b,1)\sim (a_{2},b,1)\quad {\mbox{for all }}a_{1},a_{2}\in A{\mbox{ and }}b\in B.

В конечных точках это рушится $A\times B\times \{0\}$ к $A$ и $A\times B\times \{1\}$ к $B$ .

Если $A$ и $B$ являются ограниченными подмножествами евклидова пространства $\mathbb {R} ^{n}$ , и $A\subseteq U$ и $B\subseteq V$ , где $U,V$ являются непересекающимися подпространствами $\mathbb {R} ^{n}$ такие, что размерность их аффинной оболочки равна $dimU+dimV+1$ (например, две непересекающиеся непараллельные прямые в $\mathbb {R} ^{3}$ ), то топологическое определение сводится к геометрическому определению, то есть «геометрическое соединение» гомеоморфно «топологическому соединению»: ^[3]^{: 75, Поп.4.2.4.}

${\big (}(A\times B\times [0,1])/\sim {\big )}\simeq \{t\cdot a+(1-t)\cdot b~|~a\in A,b\in B,t\in [0,1]\}$

Абстрактные симплициальные комплексы

Если $A$ и $B$ являются абстрактными симплициальными комплексами , то их соединение представляет собой абстрактный симплициальный комплекс, определяемый следующим образом: ^[3]^{: 74, Защ.4.2.1}

Набор вершин $V(A\star B)$ представляет собой непересекающийся союз $V(A)$ и $V(B)$ .
Симплексы $A\star B$ все являются непересекающимися объединениями симплекса $A$ с симплексом $B$ : $A\star B:=\{a\sqcup b:a\in A,b\in B\}$ (в частном случае, когда $V(A)$ и $V(B)$ непересекающиеся, соединение просто $\{a\cup b:a\in A,b\in B\}$ ).

Примеры

Предполагать $A=\{\emptyset ,\{a\}\}$ и $B=\{\emptyset ,\{b\}\}$ , то есть два множества с одной точкой. Затем $A\star B=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$ , который представляет собой отрезок. Обратите внимание, что множества вершин A и B не пересекаются; в противном случае нам пришлось бы сделать их непересекающимися. Например, $A^{\star 2}=A\star A=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\}$ где a ₁ и a ₂ — две копии одного элемента в V (A). Топологически результат тот же, что и $A\star B$ - отрезок.
Предполагать $A=\{\emptyset ,\{a\}\}$ и $B=\{\emptyset ,\{b\},\{c\},\{b,c\}\}$ . Затем $A\star B=P(\{a,b,c\})$ , который представляет собой треугольник.
Предполагать $A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\}\}$ и $B=\{\emptyset ,\{c\},\{d\}\}$ , то есть два множества с двумя дискретными точками. затем $A\star B$ представляет собой комплекс с гранями $\{a,c\},\{b,c\},\{a,d\},\{b,d\}$ , который представляет собой «квадрат».

Комбинаторное определение эквивалентно топологическому определению в следующем смысле: ^[3]^{: 77, Упражнение.3} для каждых двух абстрактных симплициальных комплексов $A$ и $B$ , $||A\star B||$ гомеоморфен $||A||\star ||B||$ , где $||X||$ обозначает любую геометрическую реализацию комплекса $X$ .

Карты

Учитывая две карты $f:A_{1}\to A_{2}$ и $g:B_{1}\to B_{2}$ , их объединение $f\star g:A_{1}\star B_{1}\to A_{2}\star B_{2}$ определяется на основе представления каждой точки соединения $A_{1}\star B_{1}$ как $t\cdot a+(1-t)\cdot b$ , для некоторых $a\in A_{1},b\in B_{1}$ : ^[3]^: 77

$f\star g~(t\cdot a+(1-t)\cdot b)~~=~~t\cdot f(a)+(1-t)\cdot g(b)$

Особые случаи

Конус пространства топологического $X$ , обозначенный $CX$ , является объединением $X$ с одной точкой.

Подвеска пространства топологического $X$ , обозначенный $SX$ , является объединением $X$ с $S^{0}$ (0-мерная сфера или дискретное пространство с двумя точками).

Характеристики

Коммутативность

Соединение двух пространств коммутативно с точностью до гомеоморфизма , т. е. $A\star B\cong B\star A$ .

Ассоциативность

Неверно , что определенная выше операция соединения ассоциативна с точностью до гомеоморфизма для произвольных топологических пространств. Однако для локально компактных хаусдорфовых пространств $A,B,C$ у нас есть $(A\star B)\star C\cong A\star (B\star C).$ Следовательно, можно определить k -кратное соединение пространства с самим собой: $A^{*k}:=A*\cdots *A$ ( к раз).

Можно определить другую операцию соединения $A\;{\hat {\star }}\;B$ который использует тот же базовый набор, что и $A\star B$ но другая топология, и эта операция ассоциативна для всех топологических пространств. Для локально компактных хаусдорфовых пространств $A$ и $B$ , объединения $A\star B$ и $A\;{\hat {\star }}\;B$ совпадают. ^[4]

Гомотопическая эквивалентность

Если $A$ и $A'$ , гомотопически эквивалентны то $A\star B$ и $A'\star B$ также гомотопически эквивалентны. ^[3]^{: 77, Упражнение 2.}

Уменьшенное соединение

Учитывая базовые комплексы CW $(A,a_{0})$ и $(B,b_{0})$ , «сокращенное соединение»

{\frac {A\star B}{A\star \{b_{0}\}\cup \{a_{0}\}\star B}}

гомеоморфна приведенной суспензии

$\Sigma (A\wedge B)$

потрясающего продукта . Следовательно, поскольку ${A\star \{b_{0}\}\cup \{a_{0}\}\star B}$ сжимаема , существует гомотопическая эквивалентность

A\star B\simeq \Sigma (A\wedge B).

Эта эквивалентность устанавливает изоморфизм ${\widetilde {H}}_{n}(A\star B)\cong H_{n-1}(A\wedge B)\ {\bigl (}=H_{n-1}(A\times B/A\vee B){\bigr )}$ .

Гомотопическая связность

Даны два треугольных пространства $A,B$ , гомотопическая связность ( $\eta _{\pi }$ ) их соединения есть, по крайней мере, сумма связностей его частей: ^[3]^{: 81, Поп.4.4.3}

$\eta _{\pi }(A*B)\geq \eta _{\pi }(A)+\eta _{\pi }(B)$ .

В качестве примера позвольте $A=B=S^{0}$ быть набором двух несвязных точек. Между точками имеется одномерное отверстие, поэтому $\eta _{\pi }(A)=\eta _{\pi }(B)=1$ . Соединение $A*B$ - квадрат, гомеоморфный кругу с двумерным отверстием, поэтому $\eta _{\pi }(A*B)=2$ . Соединение этого квадрата с третьей копией $S^{0}$ представляет собой октаэдр , гомеоморфный $S^{2}$ , дырка которого трехмерна. В общем случае объединение n копий $S^{0}$ гомеоморфен $S^{n-1}$ и $\eta _{\pi }(S^{n-1})=n$ .

Удалено присоединение

Удаленное соединение абстрактного комплекса A — это абстрактный комплекс, содержащий все объединения непересекающихся непересекающиеся граней A : ^[3]^: 112

$A_{\Delta }^{*2}:=\{a_{1}\sqcup a_{2}:a_{1},a_{2}\in A,a_{1}\cap a_{2}=\emptyset \}$

Примеры

Предполагать $A=\{\emptyset ,\{a\}\}$ (одна точка). Затем $A_{\Delta }^{*2}:=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\}\}$ , то есть дискретное пространство с двумя непересекающимися точками (напомним, что $A^{\star 2}=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\}$ = интервал).
Предполагать $A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\}\}$ (два балла). Затем $A_{\Delta }^{*2}$ представляет собой комплекс с гранями $\{a_{1},b_{2}\},\{a_{2},b_{1}\}$ (два непересекающихся ребра).
Предполагать $A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$ (край). Затем $A_{\Delta }^{*2}$ представляет собой комплекс с гранями $\{a_{1},b_{1}\},\{a_{1},b_{2}\},\{a_{2},b_{1}\},\{a_{2},b_{2}\}$ (квадрат). Напомним, что $A^{\star 2}$ представляет собой сплошной тетраэдр.
Предположим, что A представляет собой ( n -1)-мерный симплекс (с n вершинами). Затем соединение $A^{\star 2}$ представляет собой ( 2n- 1)-мерный симплекс (с 2 n вершинами): это набор всех точек (x ₁ ,...,x _2n ) с неотрицательными координатами таких, что x ₁ +...+x _2н =1. Удаленное объединение $A_{\Delta }^{*2}$ можно рассматривать как подмножество этого симплекса: это набор всех точек (x ₁ ,...,x _2n ) в этом симплексе, таких, что единственными ненулевыми координатами являются некоторые k координат в x ₁ ,..,x _n и дополнительные nk координаты в x _n+1 ,...,x _2n .

Характеристики

Удаленная операция соединения коммутирует с объединением. То есть для каждых двух абстрактных комплексов A и B : ^[3]^{: Лем.5.5.2}

$(A*B)_{\Delta }^{*2}=(A_{\Delta }^{*2})*(B_{\Delta }^{*2})$

Доказательство . Каждый симплекс левого комплекса имеет вид $(a_{1}\sqcup b_{1})\sqcup (a_{2}\sqcup b_{2})$ , где $a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B$ , и $(a_{1}\sqcup b_{1}),(a_{2}\sqcup b_{2})$ непересекающиеся. В силу свойств непересекающегося объединения последнее условие эквивалентно: $a_{1},a_{2}$ непересекающиеся и $b_{1},b_{2}$ непересекающиеся.

Каждый симплекс в правостороннем комплексе имеет вид $(a_{1}\sqcup a_{2})\sqcup (b_{1}\sqcup b_{2})$ , где $a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B$ , и $a_{1},a_{2}$ непересекающиеся и $b_{1},b_{2}$ непересекающиеся. Таким образом, множества симплексов с обеих сторон совершенно одинаковы. □

В частности, удаленное соединение n-мерного симплекса $\Delta ^{n}$ с самим собой есть n-мерный кросс-многогранник , гомеоморфный n-мерной сфере $S^{n}$ . ^[3]^{: Кор.5.5.3}

Обобщение

n -кратное k-удаленное соединение симплициального комплекса A определяется как:

$A_{\Delta (k)}^{*n}:=\{a_{1}\sqcup a_{2}\sqcup \cdots \sqcup a_{n}:a_{1},\cdots ,a_{n}{\text{ are k-wise disjoint faces of }}A\}$ ,где «непересекающееся по k» означает, что каждое подмножество k имеет пустое пересечение.

В частности, n -кратное n -удаленное соединение содержит все непересекающиеся объединения n граней, пересечение которых пусто, а n -кратное 2-удаленное соединение меньше: оно содержит только непересекающиеся объединения n граней, которые попарно непересекающиеся. Двойное двойное удаленное соединение — это просто удаленное соединение, определенное выше.

- кратное n 2-кратно удаленное соединение дискретного пространства с m точками называется ( m , n ) -шахматным комплексом .

См. также

Отстранение

Ссылки

^ Колин П. Рурк и Брайан Дж. Сандерсон (1982). Введение в кусочно-линейную топологию . Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-3-642-81735-9 . ISBN 978-3-540-11102-3 .
^ Брайант, Джон Л. (1 января 2001 г.), Даверман, Р.Дж.; Шер, Р.Б. (ред.), «Глава 5 — Кусочно-линейная топология» , Справочник по геометрической топологии , Амстердам: Северная Голландия, стр. 219–259, ISBN 978-0-444-82432-5 , получено 15 ноября 2022 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Матушек, Иржи (2007). Использование теоремы Борсука-Улама : Лекции по топологическим методам в комбинаторике и геометрии (2-е изд.). Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5 . Написано в сотрудничестве с Андерсом Бьёрнером и Гюнтером М. Циглером. , раздел 4.3
^ Фоменко Анатолий; Фукс, Дмитрий (2016). Гомотопическая топология (2-е изд.). Спрингер. п. 20.

Хэтчер, Аллен , Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 2002. xii+544 стр. ISBN 0-521-79160-X и ISBN 0-521-79540-0
В эту статью включены материалы сайта Join on PlanetMath , который распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
Браун, Рональд , Топология и группоиды. Раздел 5.7. Объединения.

[1] Колин П. Рурк и Брайан Дж. Сандерсон (1982). Введение в кусочно-линейную топологию . Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-3-642-81735-9 . ISBN 978-3-540-11102-3 .

[2] Брайант, Джон Л. (1 января 2001 г.), Даверман, Р.Дж.; Шер, Р.Б. (ред.), «Глава 5 — Кусочно-линейная топология» , Справочник по геометрической топологии , Амстердам: Северная Голландия, стр. 219–259, ISBN 978-0-444-82432-5 , получено 15 ноября 2022 г.

[:0-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Матушек, Иржи (2007). Использование теоремы Борсука-Улама : Лекции по топологическим методам в комбинаторике и геометрии (2-е изд.). Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5 . Написано в сотрудничестве с Андерсом Бьёрнером и Гюнтером М. Циглером. , раздел 4.3

[4] Фоменко Анатолий; Фукс, Дмитрий (2016). Гомотопическая топология (2-е изд.). Спрингер. п. 20.

[1]

[2]

[3]

[4]