Квадратная пирамида

Квадратная пирамида
Тип	Пирамида , Джонсон Я 92 – Я 1 – Я 2
Лица	4 треугольника 1 квадрат
Края	8
Вершины	5
Конфигурация вершин	$4\times (3^{2}\times 4)+1\times (3^{4})$
Группа симметрии	$C_{4\mathrm {v} }$
Объем	${\frac {1}{3}}l^{2}h$
Двугранный угол ( градусы )	Равносторонняя квадратная пирамида: треугольник к треугольнику: 109,47° квадрат-треугольник: 54,74°
Двойной многогранник	самодвойственный
Характеристики	выпуклый , элементарная (равносторонняя квадратная пирамида)
Сеть

В геометрии квадратная пирамида — это пирамида с квадратным основанием, имеющая всего пять граней. Если вершина пирамиды находится прямо над центром квадрата, это прямоугольная пирамида с четырьмя равнобедренными треугольниками ; в противном случае это наклонная квадратная пирамида . Когда все ребра пирамиды равны по длине, все ее треугольники равносторонние . Ее называют равносторонней квадратной пирамидой , примером тела Джонсона .

Квадратные пирамиды появлялись на протяжении всей истории архитектуры, примером могут служить египетские пирамиды и многие другие подобные здания. Они также встречаются в химии в виде квадратных пирамидальных молекулярных структур . Квадратные пирамиды часто используются при построении других многогранников . Многие математики в древности открыли формулу объема квадратной пирамиды разными подходами.

Особые случаи

Правильная квадратная пирамида

Квадратная пирамида имеет пять вершин, восемь ребер и пять граней. Одна грань, называемая основанием пирамиды, представляет собой квадрат ; четыре других грани — треугольники . Четыре ребра составляют квадрат, соединяя четыре его вершины. Остальные четыре ребра известны как боковые ребра пирамиды; они встречаются в пятой вершине, называемой вершиной . Если вершина пирамиды лежит на линии, возведенной перпендикулярно из центра квадрата, она называется прямоугольной пирамидой , а четыре треугольные грани — равнобедренными треугольниками . В противном случае пирамида имеет две или более неравнобедренных треугольных граней и называется наклонной квадратной пирамидой .

Высота наклона $s$ Прямоугольной пирамиды определяется как высота одного из ее равнобедренных треугольников. Его можно получить с помощью теоремы Пифагора : $$s={\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}},$$где $l$ - длина основания треугольника, а также одной из ребер квадрата, и $b$ — длина катетов треугольника, которые являются боковыми ребрами пирамиды. Высота $h$ Правильную квадратную пирамиду можно получить аналогичным образом, заменив формулу наклонной высоты, дающую: $$h={\sqrt {s^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}}={\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{2}}}}.$$ сумме Площадь поверхности многогранника равна площадей его граней. Площадь поверхности $A$ правильной квадратной пирамиды можно выразить как $A=4T+S$, где $T$ и $S$ — площади одного из его треугольников и его основания соответственно. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на сторону, а площадь квадрата равна длине стороны в квадрате. Это дает выражение: $$A=4\left({\frac {1}{2}}ls\right)+l^{2}=2ls+l^{2}.$$В целом объем $V$ пирамиды равна одной трети площади ее основания, умноженной на ее высоту. Выраженный формулой квадратной пирамиды, это: $$V={\frac {1}{3}}l^{2}h.$$

Многие математики еще в древности открыли формулу расчета объема квадратной пирамиды. В «Московском математическом папирусе» египетские математики продемонстрировали знание формулы расчета объема усеченной квадратной пирамиды , что позволяет предположить, что они были знакомы и с объемом квадратной пирамиды, однако неизвестно, как была выведена эта формула. Помимо открытия объема квадратной пирамиды, проблему нахождения наклона и высоты квадратной пирамиды можно найти в Математическом папирусе Ринда . Вавилонские математики также считали объем усеченной пирамиды, но дали для него неверную формулу. Один китайский математик Лю Хуэй также обнаружил объем методом расчленения прямоугольного тела на куски.

Равносторонняя квадратная пирамида

3D модель равносторонней квадратной пирамиды

Если все треугольные ребра имеют одинаковую длину, четыре треугольника равносторонние , а все грани пирамиды представляют собой правильные многоугольники , то это равносторонняя квадратная пирамида. Двугранные углы между соседними треугольными гранями равны ${\textstyle \arccos \left(-1/3\right)\approx 109.47^{\circ }}$, а расстояние между основанием и каждой треугольной гранью составляет половину этого, ${\textstyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54.74^{\circ }}$. многогранник Выпуклый , все грани которого являются правильными многоугольниками, называется телом Джонсона . Среди них - равносторонняя квадратная пирамида, названная первым телом Джонсона. $J_{1}$.

Поскольку все его ребра равны по длине (т. е. $b=l$), ее наклон, высоту, площадь поверхности и объем можно получить, подставив формулы правильной квадратной пирамиды: $${\begin{aligned}s={\frac {\sqrt {3}}{2}}l\approx 0.866l,&\qquad h={\frac {1}{\sqrt {2}}}l\approx 0.707l,\\A=(1+{\sqrt {3}})l^{2}\approx 2.732l^{2},&\qquad V={\frac {\sqrt {2}}{6}}l^{3}\approx 0.236l^{3}.\end{aligned}}$$

Как и другие правильные пирамиды с правильным многоугольником в основании, правильная квадратная пирамида обладает пирамидальной симметрией . Для квадратной пирамиды это симметрия циклической группы. $C_{4\mathrm {v} }$: пирамида остается неизменной при вращении на одну, две и три четверти полного оборота вокруг своей оси симметрии , линии, соединяющей вершину с центром основания; а также зеркально симметричен относительно любой перпендикулярной плоскости, проходящей через биссектрису основания. Его можно представить в виде кругового графа. $W_{4}$; в более общем смысле, круговой график $W_{n}$ изображение скелета представляет собой $n$- двусторонняя пирамида. Он самодуален , то есть его двойственный многогранник является самой квадратной пирамидой.

Равносторонняя квадратная пирамида представляет собой элементарный многогранник . Это означает, что его нельзя разделить плоскостью для создания двух маленьких выпуклых многогранников с правильными гранями.

Приложения

Египетские пирамиды являются примером квадратных пирамидальных зданий в архитектуре.

Одна из мезоамериканских пирамид , похожая на египетскую, имеет плоские вершины и лестницы на гранях.

В архитектуре пирамиды, построенные в Древнем Египте, представляют собой образцы зданий, имеющих форму квадратных пирамид. Пирамидологи выдвинули различные предложения по проекту Великой пирамиды в Гизе , включая теорию, основанную на треугольнике Кеплера и золотом сечении . Однако современные ученые предпочитают описания с использованием целочисленных отношений, поскольку они более соответствуют знаниям египетской математики и пропорций. Мезоамериканские пирамиды также представляют собой древние пирамидальные постройки, подобные египетским; они отличаются тем, что имеют плоские вершины и лестницы, ведущие к их лицам. Современные здания, дизайн которых имитирует египетские пирамиды, включают пирамиду Лувра и отель-казино Луксор Лас-Вегас .

В стереохимии кластер атомов может иметь квадратно-пирамидальную геометрию . Молекула квадратной пирамидальной формы имеет элемент основной группы с одной активной неподеленной парой , которая может быть описана моделью, предсказывающей геометрию молекул, известной как теория VSEPR . Примеры молекул с такой структурой включают пентафторид хлора , пентафторид брома и пентафторид йода .

Тетракис шестигранники — построение многогранников путем сложения квадратных пирамид.

Основание квадратной пирамиды можно присоединить к квадратной грани другого многогранника, чтобы построить новые многогранники, пример увеличения . Например, тетракис-шестигранник можно построить, прикрепив основание равносторонней квадратной пирамиды к каждой грани куба. Прикрепление призм или антипризм к пирамидам известно как элонгация или гироэлонгация соответственно. Некоторые другие тела Джонсона могут быть построены либо путем дополнения квадратных пирамид, либо путем дополнения других форм квадратными пирамидами: удлиненная квадратная пирамида. $J_{8}$, гировытянутая квадратная пирамида $J_{10}$, вытянутая квадратная бипирамида $J_{15}$, гировытянутая квадратная бипирамида $J_{17}$, увеличенная треугольная призма $J_{49}$, двуугольная треугольная призма $J_{50}$, триаугментированная треугольная призма $J_{51}$, дополненная пятиугольная призма $J_{52}$, увеличенная пятиугольная призма $J_{53}$, дополненная шестиугольная призма $J_{54}$, парабиоувеличенная шестиугольная призма $J_{55}$, метаувеличенная шестиугольная призма $J_{56}$, триаугментированная шестиугольная призма $J_{57}$и расширенная сфенокорона $J_{87}$.

См. также

• Квадратное пирамидальное число — натуральное число, подсчитывающее количество сложенных друг на друга сфер в квадратной пирамиде.

Ссылки

• Александр, Дэниел С.; Кеберлин, Джералин М. (2014). Элементарная геометрия для студентов (6-е изд.). Cengage Обучение. ISBN  978-1-285-19569-8 .
• Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. дои : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 . МР   0290245 .
• Клиссолд, Кэролайн (2020). Математика 5–11: Руководство для учителей . Тейлор и Фрэнсис. ISBN  978-0-429-26907-3 .
• Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-55432-9 .
• Деми, Лоренц; Смессерт, Ганс (2017). «Логическое и геометрическое расстояние в многогранных аристотелевских диаграммах в представлении знаний» . Симметрия . 9 (10): 204. Бибкод : 2017Symm....9..204D . дои : 10.3390/sym9100204 .
• Эмелеус, HJ (1969). Химия фтора и его соединений . Академическая пресса. ISBN  978-1-4832-7304-4 .
• Ивс, Ховард (1997). Основы и фундаментальные понятия математики (3-е изд.). Дуврские публикации. ISBN  978-0-486-69609-6 .
• Федер, Кеннет Л. (2010). Энциклопедия сомнительной археологии: От Атлантиды до Валам Олума: От Атлантиды до Валам Олума . АВС-КЛИО. ISBN  978-0-313-37919-2 .
• Фрайтаг, Марк А. (2014). Математика для учителей начальной школы: процессный подход . Брукс/Коул. ISBN  978-0-618-61008-2 .
• Хартшорн, Робин (2000). Геометрия: Евклид и не только . Тексты для бакалавриата по математике. Спрингер-Верлаг. ISBN  9780387986500 .
• Герц-Фишлер, Роджер (2000). Форма Великой пирамиды . Издательство Университета Уилфрида Лорье. ISBN  0-88920-324-5 .
• Хочевар, Франкс (1903). Твердая геометрия . А. и К. Блэк .
• Джарвис, Дэниел; Нэстед, Ирен (2012). Изучение связи математики и искусства: преподавание и обучение между строк . Образование кисти. ISBN  978-1-55059-398-3 .
• Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями» . Канадский математический журнал . 18 : 169–200. дои : 10.4153/cjm-1966-021-8 . МР   0185507 . S2CID   122006114 . Збл   0132.14603 .
• Кинси, Л. Кристина ; Мур, Тереза ​​Э.; Прасидис, Эфстратиос (2011). Геометрия и симметрия . Джон Уайли и сыновья . ISBN  978-0-470-49949-8 .
• Ларкомб, HJ (1929). Кембриджский средний уровень математики: геометрия, часть II . Издательство Кембриджского университета.
• Марковский, Джордж (1992). «Заблуждения о золотом сечении» (PDF) . Математический журнал колледжа . 23 (1). Математическая ассоциация Америки: 2–19. дои : 10.2307/2686193 . JSTOR   2686193 . Проверено 29 июня 2012 г.
• О'Киф, Майкл; Хайд, Брюс Г. (2020). Кристаллические структуры: закономерности и симметрия . Дуврские публикации . ISBN  978-0-486-83654-6 .
• Перри, Огайо; Перри, Дж. (1981). Математика . Спрингер. дои : 10.1007/978-1-349-05230-1 . ISBN  978-1-349-05230-1 .
• Петруччи, Ральф Х.; Харвуд, Уильям С.; Херринг, Ф. Джеффри (2002). Общая химия: принципы и современные приложения . Том. 1. Прентис Холл . ISBN  978-0-13-014329-7 .
• Писанский, Томаж; Серватиус, Бриджит (2013). Конфигурация с графической точки зрения . Спрингер. дои : 10.1007/978-0-8176-8364-1 . ISBN  978-0-8176-8363-4 .
• Раджваде, Арканзас (2001). Выпуклые многогранники с условиями регулярности и третья проблема Гильберта . Тексты и чтения по математике. Книжное агентство Индостан. дои : 10.1007/978-93-86279-06-4 . ISBN  978-93-86279-06-4 .
• Росси, Коринна (2004). Архитектура и математика в Древнем Египте . Издательство Кембриджского университета. стр. 67–68.
• Росси, Коринна; Тут, Кристофер А. (2002). «Были ли в Древнем Египте известны ряд Фибоначчи и золотое сечение?». История Математики . 29 (2): 101–113. дои : 10.1006/hmat.2001.2334 . HDL : 11311/997099 .
• Симонсон, Шай (2011). Открытие заново математики: вы занимаетесь математикой . Математическая ассоциация Америки . ISBN  978-0-88385-912-4 .
• Слободан, Мишич; Обрадович, Мария; Джуканович, Гордана (2015). «Композитные вогнутые купола как геометрические и архитектурные формы» (PDF) . Журнал геометрии и графики . 19 (1): 79–91.
• Смит, Джеймс Т. (2000). Методы геометрии . Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-25183-6 .
• Такач, Саролта Анна; Клайн, Эрик Х. (2015). Древний мир . Рутледж. п. 16. ISBN  978-1-317-45839-5 .
• Уэхара, Рюхэй (2020). Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии . Спрингер. дои : 10.1007/978-981-15-4470-5 . ISBN  978-981-15-4470-5 . S2CID   220150682 .
• Вагнер, Дональд Блэкмор (1979). «Раннее китайское определение объема пирамиды: Лю Хуэй, третий век нашей эры». История Математики . 6 (2): 164–188. дои : 10.1016/0315-0860(79)90076-4 .
• Воллебен, Ева (2019). «Двойственность в неполиэдрических телах. Часть I: Полилайнер». В Коккьярелле, Луиджи (ред.). ICGG 2018 – Материалы 18-й Международной конференции по геометрии и графике: 40-летие – Милан, Италия, 3–7 августа 2018 г. Международная конференция по геометрии и графике. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-319-95588-9 . ISBN  978-3-319-95588-9 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , « Квадратная пирамида » (« Тело Джонсона ») в MathWorld .
• Квадратная пирамида – интерактивная модель многогранника
• Многогранники виртуальной реальности georgehart.com: Энциклопедия многогранников ( VRML модель )