Двойной многогранник

Двойником куба является октаэдр . Вершины одного соответствуют граням другого, а ребра – друг другу.

В геометрии каждому многограннику сопоставлена ​​вторая двойственная структура, где вершины одного соответствуют граням другого, а ребра между парами вершин одного соответствуют ребрам между парами граней другого. Такие двойственные фигуры остаются комбинаторными или абстрактными многогранниками , но не все они также могут быть построены как геометрические многогранники. Начиная с любого данного многогранника, двойственным к нему является исходный многогранник.

Двойственность сохраняет симметрию многогранника. Следовательно, для многих классов многогранников, определяемых их симметриями, двойственные элементы принадлежат соответствующему классу симметрии. Например, правильные многогранники – (выпуклые) Платоновы тела и (звездные) многогранники Кеплера – Пуансо – образуют двойственные пары, где правильный тетраэдр является самодвойственным . Двойственный изогональному многограннику (тот, в котором любые две вершины эквивалентны относительно симметрии многогранника) является изоэдральным многогранником (тот, в котором любые две грани эквивалентны [...]), и наоборот. Двойственный изотоксальному многограннику (тот, в котором любые два ребра эквивалентны [...]) также является изотоксальным.

Двойственность тесно связана с полярной взаимностью — геометрическим преобразованием, которое при применении к выпуклому многограннику реализует двойственный многогранник как еще один выпуклый многогранник.

Виды двойственности

Двойственное платоново тело можно построить, соединив центры граней. В общем, это создает только топологический двойник .
Изображения из Кеплера книги « Harmonices Mundi» (1619 г.)

Существует много видов двойственности. Виды, наиболее относящиеся к элементарным многогранникам, - это полярная взаимность и топологическая или абстрактная двойственность.

Полярное взаимное движение

Смотрите также: Полярное взаимное движение

В евклидовом пространстве двойственный многограннику $P$часто определяется как полярное возвратно-поступательное движение вокруг сферы. Здесь каждой вершине (полюсу) сопоставлена ​​плоскость грани (полярной плоскости или просто полярной) так, что луч из центра в вершину перпендикулярен плоскости, а произведение расстояний от центра до каждой равно квадрат радиуса.

Когда сфера имеет радиус $r$ и центрирован в начале координат (так что он определяется уравнением $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$), то полярный двойник выпуклого многогранника $P$ определяется как

$P^{\circ }=\{q~{\big |}~q\cdot p\leq r^{2}$ для всех $p$ в $P\},$

где $q\cdot p$ обозначает стандартное скалярное произведение $q$ и $p$.

Обычно, когда при построении дуала сфера не указана, используется единичная сфера, т.е. $r=1$ в приведенных выше определениях.

Для каждой грани $P$ описывается линейным уравнением

$$x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=r^{2},$$

соответствующая вершина двойственного многогранника $P^{\circ }$ будут координаты $(x_{0},y_{0},z_{0})$. Аналогично каждая вершина $P$ соответствует плоскости грани $P^{\circ }$, и каждая краевая линия $P$ соответствует линии края $P^{\circ }$. Соответствие между вершинами, ребрами и гранями $P$ и $P^{\circ }$меняет включение. Например, если край $P$ содержит вершину, соответствующее ребро $P^{\circ }$ будет содержаться в соответствующей грани.

Для многогранника с центром симметрии принято использовать сферу с центром в этой точке, как в конструкции Дормана-Люка (упомянутой ниже). В противном случае это можно использовать для многогранника с описанной сферой, вписанной сферой или средней сферой (у которой все ребра являются касательными). Однако многогранник может совершить возвратно-поступательное движение вокруг любой сферы, и результирующая форма двойника будет зависеть от размера и положения сферы; Как разнообразна сфера, так же разнообразна и двойственная форма. Выбора центра сферы достаточно, чтобы определить двойственное с точностью до подобия.

Если у многогранника в евклидовом пространстве грань, линия ребра или вершина лежат в центре сферы, соответствующий элемент его двойника будет стремиться к бесконечности. Поскольку евклидово пространство никогда не достигает бесконечности, проективный эквивалент, называемый расширенным евклидовым пространством, может быть сформирован путем добавления необходимой «плоскости в бесконечности». Некоторые теоретики предпочитают придерживаться евклидова пространства и говорят, что двойственного пространства не существует. Тем временем Веннингер (1983) нашел способ представить эти бесконечные двойственные числа способом, подходящим для создания моделей (некоторой конечной части).

Понятие двойственности здесь тесно связано с двойственностью в проективной геометрии , где линии и ребра меняются местами. Проективная полярность достаточно хорошо работает для выпуклых многогранников. Но для невыпуклых фигур, таких как звездчатые многогранники, когда мы пытаемся строго определить эту форму многогранной двойственности в терминах проективной полярности, возникают различные проблемы. Из-за проблем с определениями геометрической двойственности невыпуклых многогранников Грюнбаум (2007) утверждает, что любое правильное определение невыпуклого многогранника должно включать понятие двойственного многогранника.

Канонические двойники

Каноническое двойное соединение кубооктаэдра (светлый) и ромдодекаэдра (темный). Пары ребер встречаются на общей срединной сфере .

Любой выпуклый многогранник может быть искажен до канонической формы , в которой существует единичная средняя сфера (или интерсфера), касающаяся каждого ребра, и такая, что среднее положение точек касания является центром сферы. Эта форма единственна с точностью до сравнений.

Если мы совершим возвратно-поступательное движение такого канонического многогранника вокруг его средней сферы, двойственный многогранник будет иметь одни и те же точки касания ребер и, следовательно, также будет каноническим. Это каноническое двойственное соединение, и вместе они образуют каноническое двойственное соединение.

Люка

Для однородного многогранника каждая грань двойственного многогранника может быть получена из соответствующей фигуры вершины исходного многогранника с помощью конструкции Дормана-Люка .

Топологическая

Даже если пара многогранников не может быть получена взаимно-поступательным движением друг друга, их можно называть двойственными друг другу, если вершины одного соответствуют граням другого, а ребра одного соответствуют ребрам другого. , сохраняя заболеваемость. Такие пары многогранников топологически или абстрактно двойственны.

Вершины и ребра выпуклого многогранника образуют граф ( 1-остов многогранника), вложенный в поверхность многогранника (топологическую сферу). Этот граф можно спроектировать в виде диаграммы Шлегеля на плоской плоскости. Граф, образованный вершинами и ребрами двойственного многогранника, является двойственным графом исходному графу.

В более общем смысле, для любого многогранника, грани которого образуют замкнутую поверхность, вершины и ребра многогранника образуют граф, встроенный в эту поверхность, а вершины и ребра (абстрактного) двойственного многогранника образуют двойственный граф исходного графа.

Абстрактный многогранник — это определенный вид частично упорядоченного набора (ЧУМ) элементов, в котором инцидентности или связи между элементами набора соответствуют инцидентностям между элементами (гранями, ребрами, вершинами) многогранника. У каждого такого ЧУМ есть двойственный ЧУМ, образованный изменением всех отношений порядка. Если ЧУ-множество визуализируется как диаграмма Хассе , то двойственное ЧУ-множество можно визуализировать, просто перевернув диаграмму Хассе.

Таким образом, каждый геометрический многогранник соответствует абстрактному многограннику и имеет абстрактный двойственный многогранник. Однако для некоторых типов невыпуклых геометрических многогранников двойственные многогранники могут быть нереализуемы геометрически.

Самодвойственные многогранники

Топологически самодвойственный многогранник — это такой многогранник, двойственный которому имеет точно такую ​​же связность между вершинами, ребрами и гранями. Абстрактно они имеют одну и ту же диаграмму Хассе .

Геометрически самодвойственный многогранник не только топологически самодвойственный, но и его полярная обратная точка относительно определенной точки, обычно его центроида, представляет собой аналогичную фигуру. Например, двойником правильного тетраэдра является другой правильный тетраэдр, отраженный через начало координат .

Каждый многоугольник (то есть двумерный многогранник) топологически самодуален, поскольку у него такое же количество вершин, как и у ребер, и они переключаются по принципу двойственности. Но оно не обязательно самодвойственно (с точностью до твердого движения, например). Каждый многоугольник имеет правильную форму , которая геометрически самодвойственна относительно своей интерсферы: все углы равны, как и все ребра, поэтому при двойственности эти сравнения меняются местами.

Аналогично, каждый топологически самодвойственный выпуклый многогранник может быть реализован эквивалентным геометрически самодвойственным многогранником, его каноническим многогранником , обратным относительно центра средней сферы .

Существует бесконечно много геометрически самодвойственных многогранников. Простейшим бесконечным семейством являются канонические пирамиды с n сторонами. Другое бесконечное семейство — вытянутые пирамиды — состоит из многогранников, которые грубо можно описать как пирамиду, сидящую на вершине призмы (с одинаковым числом сторон). Добавление усеченной пирамиды (пирамиды со срезанной вершиной) под призмой создает еще одно бесконечное семейство и так далее.

Существует множество других выпуклых самодвойственных многогранников. Например, есть 6 разных по 7 вершин и 16 по 8 вершин.

Самодуальный невыпуклый икосаэдр с шестиугольными гранями был обнаружен Брюкнером в 1900 году. Другие невыпуклые самодвойственные многогранники были найдены при определенных определениях невыпуклых многогранников и их двойственных многогранников.

Семья пирамид

3

4

5

6

Семейство вытянутых пирамид

3

4

5

Семейство уменьшенных трапецеэдров

3

4

5

6

7

Двойные многогранники и тесселяции

Дуальность может быть обобщена на n -мерное пространство и двойственные многогранники ; в двух измерениях они называются двойными многоугольниками .

Вершины одного многогранника соответствуют ( n − 1)-мерным элементам или граням другого, а j точек, определяющих ( j − 1)-мерный элемент, будут соответствовать j гиперплоскостям, которые пересекаются, образуя ( n − j )-мерный элемент. Двойник n -мерной мозаики или сот может быть определен аналогичным образом.

В общем, грани двойственного многогранника будут топологическими двойниками фигур вершин многогранника. Для полярных обратных величин правильных и однородных многогранников двойственные фасеты будут полярными обратными вершинной фигуре оригинала. Например, в четырех измерениях вершиной 600-ячеечной фигуры является икосаэдр ; двойником 600-ячеечного является 120-ячеечный , чьи грани представляют собой додекаэдры , двойственные икосаэдру.

Самодвойственные многогранники и замощения

{ Квадратная мозаика 4,4} самодвойственна, как показано на этих красных и синих мозаиках.

Апейрогональная мозаика бесконечного порядка , {∞,∞} красным и ее двойственное положение синим цветом.

Основной класс самодвойственных многогранников — это правильные многогранники с палиндромными символами Шлефли . Все правильные многоугольники, {a} самодвойственны, многогранники вида {a,a}, 4-многогранники вида {a,b,a}, 5-многогранники вида {a,b,b,a }, и т. д.

Самодвойственные правильные многогранники:

• Все правильные многоугольники , {a}.
• Правильный тетраэдр : {3,3}
• Вообще говоря, все правильные n - симплексы , {3,3,...,3}
• Обычная 24-ячейка в 4-х измерениях, {3,4,3}.
• Большой 120-ячеечный {5,5/2,5} и великий звездчатый 120-ячеечный {5/2,5,5/2}

Самодуальными (бесконечными) правильными евклидовыми сотами являются:

• Апейрогон : {∞}
• Квадратная мозаика : {4,4}
• Кубические соты : {4,3,4}
• В общем, все правильные n -мерные евклидовы гиперкубические соты : {4,3,...,3,4}.

Самодуальными (бесконечными) правильными гиперболическими сотами являются:

• Компактные гиперболические мозаики: {5,5} , {6,6} , ... {p,p}.
• Паракомпактное гиперболическое замощение: {∞,∞}
• Компактные гиперболические соты: {3,5,3} , {5,3,5} и {5,3,3,5}
• Паракомпактные гиперболические соты: {3,6,3} , {6,3,6} , {4,4,4} и {3,3,4,3,3}.

См. также

• Обозначение многогранника Конвея
• Двойной полигон
• Самодуальный граф
• Самодвойственный многоугольник

Ссылки

Библиография

• Канди, Х. Мартин ; Роллетт, AP (1961), Математические модели (2-е изд.), Оксфорд: Clarendon Press, MR   0124167 .
• Гайлюнас, П.; Шарп, Дж. (2005), «Двойственность многогранников», Международный журнал математического образования в области науки и технологий , 36 (6): 617–642, doi : 10.1080/00207390500064049 , S2CID   120818796 .
• Грюнбаум, Бранко (2003), «Ваши многогранники такие же, как мои многогранники?», Аронов, Борис ; Басу, Саугата; Пах, Янош ; Шарир, Миха (ред.), Дискретная и вычислительная геометрия: Фестиваль Гудмана – Поллака , Алгоритмы и комбинаторика, том. 25, Берлин: Springer, стр. 461–488, CiteSeerX   10.1.1.102.755 , doi : 10.1007/978-3-642-55566-4_21 , ISBN.  978-3-642-62442-1 , МР   2038487 .
• Грюнбаум, Бранко (2007), «Графики многогранников; многогранники как графы», Discrete Mathematics , 307 (3–5): 445–463, doi : 10.1016/j.disc.2005.09.037 , hdl : 1773/2276 , MR   2287486 .
• Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (2013), «Двойственность многогранников», в Сенечале, Марджори (ред.), Формирование пространства: исследование многогранников в природе, искусстве и геометрическом воображении , Нью-Йорк: Springer, стр. 211–216, doi : 10.1007/978-0-387-92714-5_15 , ISBN  978-0-387-92713-8 , МР   3077226 .
• Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели , Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-54325-8 , МР   0730208 .
• Барвинок, Александр (2002), Курс выпуклости , Провиденс: Американское математическое общество, ISBN  0821829688 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Двойной многогранник» , MathWorld
• Вайсштейн, Эрик В. , «Двойная тесселяция» , MathWorld
• Вайсштейн, Эрик В. , «Самодвойственный многогранник» , MathWorld