Двойственность (проективная геометрия)

Для более широкого освещения этой темы см. Двойственность (математика) .

В проективной геометрии , двойственность или двойственность плоскостей, представляет собой формализацию поразительной симметрии ролей, которые играют точки и прямые в определениях и теоремах проективных плоскостей . Существует два подхода к теме двойственности: один через язык ( § Принцип двойственности ), а другой — более функциональный подход через специальные отображения . Они полностью эквивалентны, и любая трактовка имеет в качестве отправной точки аксиоматическую версию рассматриваемой геометрии. В функциональном подходе существует отображение между связанными геометриями, которое называется двойственностью . Такая карта может быть построена разными способами. Понятие плоской двойственности легко распространяется на пространственную двойственность и далее на двойственность в любой конечномерной проективной геометрии.

Принцип двойственности

Проективная плоскость C может быть аксиоматически определена как структура инцидентности в терминах набора P точек которое определяет , , набора L прямых , и отношения инцидентности I какие точки лежат на каких прямых. Эти наборы можно использовать для определения плоской двойственной структуры .

Поменяйте местами роли «точек» и «линий» в

С знак равно ( п , L , я )

для получения двойной структуры

С ^∗ знак равно ( л , п , я ^∗ ) ,

где я ^∗ является отношением I . обратным С ^∗ также является проективной плоскостью, называемой плоскостью двойственной C .

Если С и С ^∗ изоморфны, то C называется самодвойственным . Проективные плоскости PG(2, K ) для любого поля (или, в более общем смысле, для любого тела (тела), изоморфного двойственному ему) K самодуальны. В частности, дезарговы плоскости конечного порядка всегда самодвойственны. Однако существуют недезарговы плоскости , которые не являются самодвойственными, например плоскости Холла, и некоторые из них, например плоскости Хьюза .

В проективной плоскости высказывание, включающее точки, линии и инцидентность между ними, которое получается из другого такого же высказывания путем замены слов «точка» и «линия» и внесения любых необходимых грамматических корректировок, называется плоскостным двойственным высказыванием первого высказывания. . Плоское двойственное утверждение «Две точки находятся на единственной прямой» — это «Две прямые встречаются в единственной точке». Формирование плоскости, двойственной к высказыванию, известно как дуализация высказывания.

Если утверждение истинно в проективной плоскости C , то плоскость, двойственная этому утверждению, должна быть истинной в двойственной плоскости C. ^∗ . Это следует из того, что дуализация каждого утверждения доказательства «в C » дает соответствующее утверждение доказательства «в C». ^∗ ".

Принцип двойственности плоскости гласит, что дуализация любой теоремы в самодвойственной проективной плоскости C дает другую теорему, справедливую в C .

Вышеизложенные концепции можно обобщить, чтобы говорить о двойственности пространства, где термины «точки» и «плоскости» меняются местами (а линии остаются линиями). Это приводит к принципу двойственности пространства .

Эти принципы дают вескую причину предпочитать использовать «симметричный» термин для отношения инцидентности. Таким образом, вместо того, чтобы говорить «точка лежит на прямой», следует говорить «точка инцидентна прямой», поскольку дуализация последней предполагает лишь замену точки и линии («линия инцидентна точке»).

Справедливость принципа плоской двойственности следует из аксиоматического определения проективной плоскости. Три аксиомы этого определения можно записать так, что они представляют собой самодвойственные утверждения, подразумевающие, что двойственная к проективной плоскости также является проективной плоскостью. Таким образом, двойственное истинному утверждению в проективной плоскости является истинным утверждением в двойственной проективной плоскости, и отсюда следует, что для самодуальных плоскостей двойственное истинному утверждению в этой плоскости также является истинным утверждением в этой плоскости.

Двойственные

Поскольку вещественная проективная плоскость PG (2, R ) самодвойственна, существует ряд пар хорошо известных результатов, которые двойственны друг другу. Некоторые из них:

• Теорема Дезарга ⇔ Обращение теоремы Дезарга
• Теорема Паскаля ⇔ Теорема Брианшона
• Теорема Менелая ⇔ Теорема Чевы

Двойные конфигурации

Двойные конфигурации

Дуализировать можно не только высказывания, но и системы точек и линий.

Набор из m точек и n линий называется ( m _c , n _d ) конфигурацией , если c из n линий проходят через каждую точку и d из m точек лежат на каждой прямой. Двойственной ( m _c , nd ₎ ) является ( nd _, . m _c конфигурация конфигурации Таким образом, двойственный четырехугольнику (4 ₃ , 6 ₂ ) конфигурация из четырех точек и шести прямых является четырехугольником (6 ₂ , 4 ₃ ) конфигурация из шести точек и четырех прямых.

Множество всех точек на прямой, называемое проективным диапазоном , имеет в качестве двойника пучок прямых , набор всех прямых на точке.

Двойственность как отображение

Плоские дуальности

— Двойственность плоскости это отображение проективной плоскости C = ( P , L , I) ей в двойственную плоскость C. ^∗ знак равно ( л , п , я ^∗ ) (см. § Принцип двойственности выше), который сохраняет инцидентность . То есть двойственность плоскости σ будет отображать точки в линии, а линии в точки ( P ^п = Л и Л ^п = P ) таким образом, что если точка Q находится на прямой m (обозначается Q I m ), то Q I m ⇔ m ^п я ^∗ вопрос ^п . Плоская двойственность, являющаяся изоморфизмом, называется корреляцией . Существование корреляции означает, что проективная C самодуальна плоскость .

Проективная плоскость C в этом определении не обязательно должна быть дезарговой плоскостью . Однако если это так, то есть C = PG(2, K ) с K телом ( телом ), то двойственность, определенная ниже для общих проективных пространств , дает двойственность плоскости на C , которая удовлетворяет приведенному выше определению.

В общих проективных пространствах

Двойственность δ проективного пространства — это перестановка подпространств PG( n , K ) (также обозначаемая K P ^н ) с K полем (или , в более общем смысле, телом ( телом )), которое меняет включение, то есть:

S ⊆ T влечет S ^д ⊇ Т ^д для всех подпространств S , T PG ( n , K ) .

Следовательно, двойственность меняет местами объекты размерности r с объектами размерности n - 1 - r (= коразмерности r + 1 ). То есть в проективном пространстве размерности n точки (размерность 0) соответствуют гиперплоскостям (коразмерность 1), линии, соединяющие две точки (размерность 1), соответствуют пересечению двух гиперплоскостей (коразмерность 2) и так далее.

Классификация дуальностей

В этом разделе вместо алгебраических терминов « R-модули над телом » используется традиционная геометрическая терминология «правых (левых) векторных пространств над телами».

Двойной ​ V ^∗ конечномерного (правого) векторного пространства V над телом K можно рассматривать как (правое) векторное пространство той же размерности над противоположным телом K ^О . Таким образом, существует обращающая включение биекция между проективными пространствами PG( n , K ) и PG( n , K ^О ) . Если К и К ^О существует двойственность изоморфны, то на PG( n , K ) . Обратно, если PG( n , K ) допускает двойственность при n > 1 , то K и K ^О изоморфны.

Пусть π — двойственность PG( n , K ) для n > 1 . Если π составлено с естественным изоморфизмом между PG( n , K ) и PG( n , K ^О ) , композиция θ является сохраняющей инцидентность биекцией между PG( n , K ) и PG( n , K ^О ) . По Основной теореме проективной геометрии θ индуцируется полулинейным отображением T : V → V ^∗ с ассоциированным изоморфизмом σ : K → K ^О можно рассматривать как антиавтоморфизм K , который . В классической литературе π назвали бы взаимностью вообще , а если бы σ = id, то это назвали бы корреляцией (а K обязательно было бы полем ). Некоторые авторы преуменьшают роль естественного изоморфизма и называют 9 двойственностью. Когда это будет сделано, двойственность можно будет рассматривать как коллинеацию между парой специально связанных проективных пространств и назвать взаимностью. Если эта коллинеация является проективностью , то она называется корреляцией.

Пусть T _w = T ( w ) обозначает линейный функционал от V ^∗ связанный с вектором w в V . Определим форму φ : V × V → K следующим образом:

$\varphi (v,w)=T_{w}(v).$

φ — невырожденная полуторалинейная форма с сопутствующим антиавтоморфизмом σ .

Любая двойственность PG( n , K ) для n > 1 индуцируется невырожденной полуторалинейной формой в базовом векторном пространстве (с сопутствующим антиавтоморфизмом) и наоборот.

координат

Однородные координаты можно использовать для алгебраического описания двойственности. Чтобы упростить это обсуждение, мы будем предполагать, что K — поле , но все можно сделать таким же образом, когда K — тело, если обратить внимание на то, что умножение не обязательно должно быть коммутативной операцией.

Точки PG( n , K ) можно считать ненулевыми векторами в ( n + 1 )-мерном векторном пространстве над K , где мы идентифицируем два вектора, которые отличаются скалярным коэффициентом. Другими словами, точки n -мерного проективного пространства представляют собой одномерные векторные подпространства , которые можно визуализировать как линии, проходящие через начало координат в K. ^{п +1} . Также n - (векторные) мерные подпространства K ^{п +1} представляют ( n − 1 )- (геометрические) мерные гиперплоскости проективного n -пространства над K , т. е. PG( n , K ) .

Ненулевой вектор u = ( u ₀ , u ₁ ..., un _, ) в K ^{п +1} также определяет ( n − 1) - геометрически размерное подпространство (гиперплоскость) H _u по формуле

ЧАС _ты знак равно {( Икс ₀ , Икс ₁ , ..., Икс _п ) : ты ₀ Икс ₀ + ... + ты _п Икс _п знак равно 0} .

Когда вектор u используется для определения гиперплоскости таким образом, его следует обозначать u _H , а если он обозначает точку, мы будем использовать u _P . Они называются координатами точки или координатами гиперплоскости соответственно (в важном двумерном случае координаты гиперплоскости называются координатами линии ). Некоторые авторы различают, как следует интерпретировать вектор, записывая координаты гиперплоскости как горизонтальные векторы (строки), а координаты точек — как вертикальные векторы (столбцы). Таким образом, если u — вектор-столбец, мы будем иметь u _P = u , а u _H = u ^Т . С точки зрения обычного скалярного произведения ЧАС знак _равно { Икс _P : ты _ЧАС ⋅ Икс _P знак равно 0} . Поскольку K является полем, скалярное произведение симметрично, что означает u _H ⋅ x _P = u ₀ x ₀ + u ₁ x ₁ + ... + u _n x _n = x ₀ u ₀ + x ₁ u ₁ + .. + Икс _п ты _п знак равно Икс _ЧАС ⋅ ты _п .

Фундаментальный пример

Простая взаимность (фактически корреляция) может быть задана формулой u _P ↔ u _H между точками и гиперплоскостями. Это распространяется на взаимность между линией, образованной двумя точками, и пересечением двух таких гиперплоскостей и так далее.

В частности, на плоскости проективной PG(2, K ) с полем K a мы имеем корреляцию, определяемую следующим образом: точки в однородных координатах ( a , b , c ) ↔ линии с уравнениями ax + by + cz = 0 . В проективном пространстве PG(3, K ) корреляция задается следующим образом: точки в однородных координатах ( a , b , c , d ) ↔ плоскости с уравнениями ax + by + cz + dw = 0 . Эта корреляция также отобразит линию, определяемую двумя точками ( a ₁ , b ₁ , c ₁ , d ₁ ) и ( a ₂ , b ₂ , c ₂ , d ₂ ) , в линию, которая является пересечением двух плоскостей с уравнения a ₁ x + b ₁ y + c ₁ z + d ₁ w знак равно 0 и a ₂ x + b ₂ y + c ₂ z + d ₂ w = 0 .

Соответствующая полуторалинейная форма этой корреляции:

φ ( ты , Икс ) знак равно ты _ЧАС ⋅ Икс _P знак равно ты ₀ Икс ₀ + ты ₁ Икс ₁ + ... + ты _п Икс _п ,

где сопутствующий антиавтоморфизм σ = id . Следовательно, это билинейная форма (обратите внимание, что K должно быть полем). Это можно записать в матричной форме (относительно стандартного базиса) как:

φ ( ты , Икс ) знак равно ты _ЧАС грамм Икс _п ,

где G — ( n + 1) × ( n + 1) единичная матрица размера , согласно соглашению, что u _H — вектор-строка, а x _P — вектор-столбец.

Корреляция определяется:

$\pi (\mathbf {x} _{P})=(G\mathbf {x} _{P})^{\mathsf {T}}=(\mathbf {x} _{P})^{\mathsf {T}}=\mathbf {x} _{H}.$

Геометрическая интерпретация в реальной проективной плоскости

Эту корреляцию в случае PG(2, R ) можно описать геометрически с помощью модели реальной проективной плоскости , которая представляет собой «единичную сферу с антиподами идентифицированная» или, что то же самое, модель прямых и плоскостей, проходящая через начало векторного пространства R. ³ . Свяжите с любой линией, проходящей через начало координат, уникальную плоскость, проходящую через начало координат, которая перпендикулярна (ортогональна) к линии. Когда в модели эти линии считаются точками, а плоскости — линиями проективной плоскости PG(2, R ) , эта ассоциация становится корреляцией (фактически полярностью) проективной плоскости. Модель сферы получается путем пересечения линий и плоскостей через начало координат с единичной сферой с центром в начале координат. Линии встречаются со сферой в противоположных точках, которые затем необходимо идентифицировать, чтобы получить точку проективной плоскости, а плоскости встречаются со сферой в больших кругах , которые, таким образом, являются линиями проективной плоскости.

То, что эта ассоциация «сохраняет» заболеваемость, легче всего увидеть на примере модели линий и плоскостей. Точка, инцидентная прямой в проективной плоскости, соответствует линии, проходящей через начало координат, лежащей в плоскости, проходящей через начало координат в модели. Применяя ассоциацию, плоскость становится линией, проходящей через начало координат, перпендикулярной плоскости, с которой она связана. Эта линия изображения перпендикулярна каждой линии плоскости, проходящей через начало координат, в частности исходной линии (точке проективной плоскости). Все линии, перпендикулярные исходной линии в начале координат, лежат в единственной плоскости, ортогональной исходной линии, то есть плоскости изображения под ассоциацией. Таким образом, линия изображения лежит в плоскости изображения и ассоциация сохраняет падение.

Матричная форма

Как и в приведенном выше примере, матрицы можно использовать для представления двойственности. Пусть π — двойственность PG( n , K ) для n > 1 и пусть φ — ассоциированная полуторалинейная форма (с сопутствующим антиавтоморфизмом σ ) в базовом ( n + 1 )-мерном векторном V. пространстве Учитывая базис { e _i } V , мы можем представить эту форму следующим образом:

$\varphi (\mathbf {u} ,\mathbf {x} )=\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}G(\mathbf {x} ^{\sigma }),$

где G — неособая матрица размера ( n + 1) × ( n + 1) над K , а векторы записаны в виде вектор-столбцов. Обозначение х ^п означает, что антиавтоморфизм σ применяется к каждой координате вектора x .

Теперь определим двойственность в терминах координат точки:

$\pi (\mathbf {x} )=(G(\mathbf {x} ^{\sigma }))^{\mathsf {T}}.$

Полярность

Дуальность, которая является инволюцией (имеет второй порядок), называется полярностью . Необходимо различать полярности общих проективных пространств и те, которые возникают из несколько более общего определения плоской двойственности. Более точные утверждения можно дать и в случае конечной геометрии , поэтому мы будем акцентировать внимание на результатах в конечных проективных плоскостях.

общих

Если π — двойственность PG( n , K ) с K телом, то общее обозначение определяется как π ( S ) = S ^⊥ для подпространства S PG ( n , K ) . Следовательно, полярность — это двойственность, для которой S ^⊥⊥ = S для каждого подпространства S PG ( n , K ) . Также принято обходить упоминание о двойственном пространстве и писать в терминах соответствующей полуторалинейной формы:

$S^{\bot }=\{\mathbf {u} {\text{ in }}V\colon \varphi (\mathbf {u} ,\mathbf {x} )=0{\text{ for all }}\mathbf {x} {\text{ in }}S\}.$

Полуторалинейная форма φ является рефлексивной, если из φ ( u , x ) = 0 следует φ ( x , u ) = 0 .

Двойственность является полярностью тогда и только тогда, когда (невырожденная) полуторалинейная форма, определяющая ее, рефлексивна.

Полярности были классифицированы в результате работы Биркгофа и фон Неймана (1936), которая неоднократно подвергалась критике. Пусть V — (левое) векторное пространство над телом K , а φ — рефлексивная невырожденная полуторалинейная форма на V с сопутствующим антиавтоморфизмом σ . Если φ — полуторалинейная форма, связанная с полярностью, то либо:

1. σ = id (следовательно, K — поле) и φ ( u , x ) = φ ( x , u ) для всех u , x в V , то есть φ — билинейная форма. В этом случае полярность называется ортогональной (или обыкновенной ). Если характеристика поля K равна двум, то в этом случае должен существовать вектор z с φ ( z , z ) ≠ 0 , и полярность называется псевдополярностью .
2. σ = id (следовательно, K — поле) и φ ( u , u ) = 0 для всех u в V . Полярность называется нулевой полярностью (или симплектической полярностью ) и может существовать только тогда, когда проективная размерность n нечетна.
3. п ² = id ≠ σ (здесь K не обязательно должно быть полем) и φ ( ты , x ) = φ ( x , u ) ^п для u , x в V. всех Такая полярность называется унитарной полярностью (или эрмитовой полярностью ).

Точка P группы PG( n , K ) является абсолютной точкой (самосопряженной точкой) относительно полярности ⊥ , если P I P ^⊥ . Аналогично, гиперплоскость H является абсолютной гиперплоскостью (самосопряженной гиперплоскостью), если H ^⊥ я Х. ​ Другими словами, точка x является абсолютной точкой полярности π со связанной с ней полуторалинейной формой φ, если φ ( x , x ) = 0 и если φ записана в терминах матрицы G , x ^Т Г х ^п = 0 .

Можно описать множество абсолютных точек каждого типа полярности. Мы снова ограничиваем обсуждение случаем, когда K — поле.

1. Если K — поле, характеристика которого не равна двум, множество абсолютных точек ортогональной полярности образует неособую квадрику (если K бесконечно, оно может быть пустым). Если характеристика равна двум, абсолютные точки псевдополярности образуют гиперплоскость.
2. Все точки пространства PG(2s + 1, K ) являются абсолютными точками нулевой полярности.
3. Абсолютные точки эрмитовой полярности образуют эрмитово многообразие , которое может быть пустым, если K бесконечно.

При составлении самой себя корреляция φ ( x _P ) = x _H (в любом измерении) дает тождественную функцию , поэтому это полярность. Набором абсолютных точек этой полярности будут точки, однородные координаты которых удовлетворяют уравнению:

x _H ⋅ x _P = x ₀ x ₀ + x ₁ x ₁ + ... + x _n x _n = x ₀ ² + х ₁ ² + ... + х _н ² = 0 .

зависит от поля K. Какие точки входят в этот набор точек , Если K = R , то множество пусто, нет абсолютных точек (и абсолютных гиперплоскостей). С другой стороны, если K = C, множество абсолютных точек образует невырожденную квадрику ( конику в двумерном пространстве). Если K — конечное поле нечетной характеристики , абсолютные точки также образуют квадрику, но если характеристика четная, то абсолютные точки образуют гиперплоскость (это пример псевдополярности).

При любой двойственности точка P называется полюсом гиперплоскости P ^⊥ , и эта гиперплоскость называется полярой точки P . Используя эту терминологию, абсолютные точки полярности — это точки, инцидентные своим полярам, ​​а абсолютные гиперплоскости — это гиперплоскости, инцидентные своим полюсам.

проективных

По теореме Веддерберна каждое конечное тело является полем, и автоморфизм второго порядка (отличный от единицы) может существовать только в конечном поле, порядок которого равен квадрату. Эти факты помогают упростить общую ситуацию для конечных дезарговых плоскостей . У нас есть:

Если π — полярность конечной дезарговой проективной плоскости PG(2, q ) , где q = p ^Это для некоторого простого числа p число абсолютных точек π равно q + 1 , если π ортогонально или q ^3/2 + 1 , если π унитарно. В ортогональном случае абсолютные точки лежат на конике , если p нечетно, или образуют линию, если p = 2 . Унитарный случай может иметь место только в том случае, если q является квадратом; абсолютные точки и абсолютные линии образуют единое целое .

В общем случае проективной плоскости, где двойственность означает двойственность плоскости , определения полярности, абсолютных элементов, полюса и полярности остаются прежними.

Обозначим через P проективную плоскость порядка n . можно установить, что для полярности π P Подсчитав аргументы , :

Число неабсолютных точек (прямых), инцидентных неабсолютной прямой (точке), четное.

Более того,

Полярность π имеет не менее n + 1 абсолютных точек, а если n не квадрат, то ровно n + 1 абсолютных точек. Если π имеет ровно n + 1 абсолютных точек, то;

1. если n нечетно, абсолютные точки образуют овал , касательные которого являются абсолютными линиями; или
2. если n четно, абсолютные точки коллинеарны на неабсолютной линии.

Верхняя граница числа абсолютных точек в случае, когда n является квадратом, была дана Зейбом. и чисто комбинаторный аргумент может установить:

Полярность π в проективной плоскости квадратного порядка n = s ² имеет не более s ³ + 1 абсолютный балл. Кроме того, если число абсолютных точек равно s ³ + 1 , то абсолютные точки и абсолютные линии образуют единицу (т. е. каждая линия плоскости встречается с этим набором абсолютных точек либо в 1 , либо в s + 1 точках).

Полюса и поляры

Основная статья: Полюс и полярный

Полюс и полярный относительно C. круга P и Q — обратные точки, p — поляра P , P — полюс p .

Возвратно-поступательное движение в евклидовой плоскости

Метод, который можно использовать для построения полярности вещественной проективной плоскости, имеет в качестве отправной точки построение частичной двойственности в евклидовой плоскости .

В евклидовой плоскости зафиксируйте круг C с центром O и радиусом r . Для каждой точки P, кроме O, определите точку изображения Q так, чтобы OP ⋅ OQ = r ² . Отображение, определенное → Q , называется инверсией относительно окружности C. P Линия p , проходящая через Q и перпендикулярная линии OP, называется полярной. точки P относительно C. окружности

Пусть q — прямая, не проходящая O. через Опустите перпендикуляр из O на q , встретив q в точке P (это точка q , ближайшая к O ). Образ Q точки P при инверсии относительно C называется полюсом. q ​ . Если точка M находится на прямой q (не проходящей через O ), то полюс q лежит на поляре M и наоборот. Процесс сохранения инцидентности, при котором точки и линии преобразуются в свои поляры и полюса относительно C , называется возвратно-поступательным движением .

Чтобы превратить этот процесс в корреляцию, евклидову плоскость (которая не является проективной плоскостью) необходимо расширить до расширенной евклидовой плоскости , добавив бесконечную линию и бесконечные точки , лежащие на этой прямой. В этой расширенной плоскости мы определяем поляру точки O как бесконечную линию (а O — это полюс бесконечной линии), а полюса линий, проходящих через O , — это точки бесконечности, где, если линия имеет наклон s (≠ 0), его полюс — это бесконечная точка, связанная с параллельным классом прямых с наклоном −1/ s . Полюс оси x является точкой бесконечности вертикальных линий, а полюс оси y является точкой бесконечности горизонтальных линий.

Приведенное выше построение корреляции на основе инверсии в окружности можно обобщить, используя инверсию в коническом сечении (в расширенной вещественной плоскости). Построенные таким образом корреляции имеют второй порядок, т. е. полярность.

Алгебраическая

Три пары двойных точек и линий: одна красная пара, одна желтая пара и одна синяя пара.

Мы опишем эту полярность алгебраически, следуя приведенной выше конструкции в случае, когда C — единичная окружность (т. е. r = 1 ) с центром в начале координат.

Аффинная точка P , отличная от начала координат, с декартовыми координатами ( a , b ) имеет обратную в единичной окружности точку Q с координатами,

$\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\right).$

Линия, проходящая через Q и перпендикулярная линии OP , имеет уравнение ax + by = 1 .

Переключаясь на однородные координаты с помощью вложения ( a , b ) ↦ ( a , b , 1) , расширение до вещественной проективной плоскости получается, допуская, что последняя координата равна 0. Вспоминая, что координаты точки записываются в виде векторов-столбцов и прямой координаты как векторы-строки, мы можем выразить эту полярность следующим образом:

$\pi :\mathbb {R} P^{2}\rightarrow \mathbb {R} P^{2}$

такой, что

$\pi \left((x,y,z)^{\mathsf {T}}\right)=(x,y,-z).$

Или, используя альтернативные обозначения, π (( x , y , z ) _P ) = ( x , y , - z ) _L . Матрица ассоциированной полуторалинейной формы (относительно стандартного базиса):

$G=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{matrix}}\right).$

Абсолютные точки этой полярности задаются решениями:

$0=P^{\mathsf {T}}GP=x^{2}+y^{2}-z^{2},$

где Р ^Т знак равно ( Икс , y , z ) . Обратите внимание, что при ограничении евклидовой плоскости (то есть при условии z = 1 ) это всего лишь единичный круг, круг инверсии.

Синтетический

Диагональный треугольник P , Q , R из четырехугольника A , B , J , K на конике. Поляры диагональных точек окрашены так же, как и точки.

Теорию полюсов и поляр коники на проективной плоскости можно развивать без использования координат и других метрических понятий.

Пусть C — коника в PG(2, F ) , где F — поле не характеристики два, и пусть P — точка этой плоскости, не лежащая на C . Две различные секущие линии к конике, скажем, AB и JK , определяют четыре точки на конике ( A , B , J , K ), которые образуют четырехугольник . Точка P является вершиной диагонального треугольника этого четырехугольника. Полярой противолежащая P является по отношению к C сторона диагонального треугольника, P .

Теория проективных гармонических сопряжений точек на прямой также может быть использована для определения этой связи. Используя те же обозначения, что и выше;

через точку P является секущей коники C , то все гармонические сопряжения P относительно двух точек C на секущей лежат на поляре P. Если переменная прямая, проходящая ,

Свойства

Есть несколько свойств, которыми обладают полярности в проективной плоскости.

Учитывая полярность π , точка P лежит на прямой q , поляре точки Q , тогда и только тогда, когда Q лежит на p поляре P. ,

Точки P и Q , находящиеся в этом отношении, называются сопряженными точками относительно π . В соответствии с этим определением абсолютные точки называются самосопряженными, поскольку они инцидентны своим полярам. Сопряженные прямые определяются двойственно.

Прямая, соединяющая две самосопряженные точки, не может быть самосопряженной прямой.

Прямая не может содержать более двух самосопряженных точек.

Полярность вызывает инволюцию сопряженных точек на любой прямой, которая не является самосопряженной.

Треугольник, в котором каждая вершина является полюсом противоположной стороны, называется самополярным треугольником.

Корреляция, которая отображает три вершины треугольника на их противоположные стороны соответственно, является полярностью, и этот треугольник является самополярным относительно этой полярности.

История

Принцип двойственности принадлежит Жозефу Диасу Жергонну (1771–1859), поборнику зарождавшейся в то время области аналитической геометрии , а также основателю и редактору первого журнала, полностью посвященного математике, Annales de mathématiques pures et appliquées . Жергон и Шарль Жюльен Брианшон (1785–1864) разработали концепцию плоской двойственности. Жергонн ввел термины «двойственность» и «полярность» (но «полюс» принадлежит Ф.-Ж. Сервуа ) и принял стиль написания двойственных утверждений рядом в своем журнале.

Жан-Виктор Понселе (1788–1867), автор первого текста по проективной геометрии « Трактат о собственности проекций фигур» , был синтетическим геометром , систематически развивавшим теорию полюсов и поляр по отношению к конике. Понселе утверждал, что принцип двойственности является следствием теории полюсов и полярностей.

Юлиусу Плюкеру (1801–1868) приписывают распространение концепции двойственности на трехмерные и более многомерные проективные пространства.

Понселе и Жергонн начинали как серьезные, но дружелюбные соперники, представлявшие свои различные точки зрения и методы в статьях, опубликованных в «Анналах Жергонна» . Антагонизм вырос по вопросу приоритета в провозглашении принципа двойственности своим собственным. Молодой Плюкер был вовлечен в эту вражду, когда статья, которую он представил Жергонне, к моменту публикации была настолько сильно отредактирована, что Понселе был введен в заблуждение, полагая, что Плюкер занимался его плагиатом. Яростная атака Понселе была отражена Плюкером при поддержке Жергонны, и в конечном итоге ответственность была возложена на Жергонну. Об этой вражде Пьер Самуэль пошутил, что, поскольку оба мужчины служили во французской армии и Понселе был генералом, а Жергонн - простым капитаном, точка зрения Понселе преобладала, по крайней мере, среди их французских современников.

См. также

• Двойная кривая

Ссылки

• Артин, Э. (1957). «1.4 «Двойственность и парность» ». Геометрическая алгебра . Нью-Йорк и Лондон: Interscience.
• Баер, Рейнхольд (2005) [1952]. Линейная алгебра и проективная геометрия . Минеола, штат Нью-Йорк: Дувр. ISBN  0-486-44565-8 .
• Барвик, Сьюзен; Эберт, Гэри (2008), Юнитали в проективных плоскостях , Springer, doi : 10.1007/978-0-387-76366-8 , ISBN  978-0-387-76364-4
• Биркгоф, Г.; фон Нейман, Дж. (1936), «Логика квантовой механики», Annals of Mathematics , 37 : 823–843, doi : 10.2307/1968621
• Бойер, Карл Б. (2004) [1956], История аналитической геометрии , Дувр, ISBN  978-0-486-43832-0
• Коксетер, HSM (1964), Проективная геометрия , Блейсделл
• Коксетер, HSM ; Грейцер, С.Л. (1967), Возвращение к геометрии , Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, ISBN  0-88385-600-Х
• Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия , результаты математики и ее пограничные области , Том 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  3-540-61786-8 , МР   0233275
• Ивс, Ховард (1963), Обзор геометрии, том I , Аллин и Бэкон
• Хиршфельд, JWP (1979), Проективная геометрия над конечными полями , Oxford University Press , ISBN  978-0-19-850295-1
• Хьюз, Дэниел Р.; Пайпер, Фред К. (1973), Проекционные плоскости , Springer-Verlag, ISBN  0-387-90044-6
• Самуэль, Пьер (1988). Проективная геометрия . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-96752-4 .

Дальнейшее чтение

• Альберт, А. Адриан; Сэндлер, Рубен (1968), Введение в конечные проективные плоскости , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон.
• Ф. Бахманн, 1959. Структура геометрии из концепции отражения , Шпрингер, Берлин.
• Беннетт, МК (1995). Аффинная и проективная геометрия . Нью-Йорк: Уайли. ISBN  0-471-11315-8 .
• Бойтельспехер, Альбрехт; Розенбаум, Юте (1998). Проективная геометрия: от основ к приложениям . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-48277-1 .
• Касс, Рей (2006), Проективная геометрия: введение , Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN  0-19-929886-6
• Седерберг, Джудит Н. (2001). Курс современной геометрии . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98972-2 .
• Коксетер, HSM , 1995. Реальная проекционная плоскость , 3-е изд. Спрингер Верлаг.
• Коксетер, HSM, 2003. Проективная геометрия , 2-е изд. Спрингер Верлаг. ISBN   978-0-387-40623-7 .
• Коксетер, HSM (1969). Введение в геометрию . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-50458-0 .
• Гарнер, Линн Э. (1981). Краткое описание проективной геометрии . Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN  0-444-00423-8 .
• Гринберг, М.Дж., 2007. Евклидова и неевклидова геометрия , 4-е изд. Фриман.
• Хартсхорн, Робин (2009), Основы проективной геометрии (2-е изд.), Ishi Press, ISBN  978-4-87187-837-1
• Хартсхорн, Робин, 2000. Геометрия: Евклид и не только . Спрингер.
• Хильберт Д. Фоссен С. и Кон - Челси.
• Картези, Ф. (1976), Введение в конечную геометрию , Амстердам: Северная Голландия, ISBN  0-7204-2832-7
• Михалек, Р.Дж. (1972). Проективная геометрия и алгебраические структуры . Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN  0-12-495550-9 .
• Раманан, С. (август 1997 г.). «Проективная геометрия». Резонанс . 2 (8). Спрингер Индия: 87–94. дои : 10.1007/BF02835009 . ISSN   0971-8044 .
• Стивенсон, Фредерик В. (1972), Проекционные плоскости , Сан-Франциско: WH Freeman and Company, ISBN  0-7167-0443-9
• Веблен, Освальд; Янг, JWA (1938). Проективная геометрия . Джинн и Ко. Бостон: ISBN  978-1-4181-8285-4 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Принцип двойственности» . Математический мир .