Конфигурация печали
В геометрии , конфигурация Куммера названная в честь Эрнста Куммера , представляет собой геометрическую конфигурацию из 16 точек и 16 плоскостей, при которой каждая точка лежит на 6 плоскостях, а каждая плоскость содержит 6 точек. Далее, каждая пара точек инцидентна ровно двум плоскостям, а любые две плоскости пересекаются ровно в двух точках. Таким образом, конфигурация представляет собой биплан , а именно конструкцию 2-(16,6,2). 16 узлов и 16 тропов поверхности Куммера образуют конфигурацию Куммера. [1]
Существует три разных неизоморфных способа выбрать 16 различных 6-множеств из 16 элементов, удовлетворяющих указанным выше свойствам, то есть образуя биплан. Наиболее симметричной из трех является конфигурация Куммера, которую еще называют «лучшим бипланом» по 16 баллам. [2]
Строительство
[ редактировать ]
Следуя методу Джордана (1869 г.), но см. также Ассмус и Сарди (1981 г.), [2] расположите 16 точек (скажем, числа от 1 до 16) в сетке 4х4. По очереди для каждого элемента возьмите еще 3 точки в той же строке и еще 3 точки в том же столбце и объедините их в набор из 6 элементов. Это создает один блок из 6 элементов для каждой точки.
Рассмотрим две точки в одной строке или столбце. В этой строке или столбце есть еще две точки, которые отображаются в блоках для обеих начальных точек, поэтому эти блоки пересекаются в двух точках. Теперь рассмотрим две точки, находящиеся не в одной строке или столбце. Соответствующие им блоки пересекаются в двух точках, образующих прямоугольник с двумя начальными точками. Таким образом, все блоки пересекаются в двух точках. Исследуя блоки, соответствующие этим точкам пересечения, можно увидеть, что любые две начальные точки присутствуют в двух блоках.
Автоморфизмы
[ редактировать ]Существует ровно 11520 перестановок 16 точек, которые возвращают одни и те же блоки. [3] [4] Кроме того, замена меток блоков на метки точек дает еще один автоморфизм размера 2, что дает 23040 автоморфизмов.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Хадсон, RWHT (1990), квартическая поверхность Куммера , Кембриджская математическая библиотека, издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-39790-2 , МР 1097176
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Ассмус, EF; Сарди, Дж. Э. Новилло (1981), «Обобщенные системы Штейнера типа 3-(v, {4,6},1)», Конечная геометрия и конструкции, материалы конференции в Челвуд-Гейт (1980) , Cambridge University Press, стр. . 16–21
- ^ Кармайкл, Р.Д. (1931), «Тактические конфигурации второго ранга», American Journal of Mathematics , 53 (1): 217–240, doi : 10.2307/2370885 , JSTOR 2370885
- ^ Кармайкл, Роберт Д. (1956) [1937], Введение в теорию групп конечного порядка , Дувр, с. 42 (Исх. 30) и с. 437 (Пример 17), ISBN 0-486-60300-8