Jump to content

Конфигурация Дезарга

Два перспективных треугольника, их центр и ось перспективы.

В геометрии представляет конфигурация Дезарга собой конфигурацию из десяти точек и десяти линий, по три точки на линию и по три линии на точку. Он назван в честь Жирара Дезарга .

Конфигурация Дезарга может быть построена в двух измерениях из точек и линий, встречающихся в теореме Дезарга , в трех измерениях из пяти плоскостей в общем положении или в четырех измерениях из 5-клеток , четырехмерного правильного симплекса . Он имеет большую группу симметрий, переводящих любую точку в любую другую точку и любую линию в любую другую прямую. Он также самодуален, что означает, что если точки заменяются линиями и наоборот с использованием проективной двойственности , получится та же самая конфигурация.

Графы, связанные с конфигурацией Дезарга, включают граф Дезарга (его график инцидентности точечных линий) и граф Петерсена (его график неинцидентных линий). Конфигурация Дезарга — одна из десяти различных конфигураций с десятью точками и линиями, тремя точками на линию и тремя линиями на точку, девять из которых могут быть реализованы в евклидовой плоскости .

Конструкции

[ редактировать ]

Два измерения

[ редактировать ]

Два треугольника и Говорят, что они находятся в перспективе в центре, если линии , , и встречаются в общей точке, называемой центром перспективы . Они находятся в перспективе в осевом направлении , если точки пересечения соответствующих сторон треугольника , , и все лежат на одной линии, оси перспективы . Теорема Дезарга в геометрии утверждает, что эти два условия эквивалентны: если два треугольника находятся в перспективе в центре, то они также должны находиться в перспективе в осевом направлении, и наоборот. Когда это происходит, десять точек и десять линий двух перспектив (шесть вершин треугольника, три точки пересечения и центр перспективы, а также шесть сторон треугольника, три линии, проходящие через соответствующие пары вершин и ось перспективы) вместе образуют экземпляр конфигурации Дезарга. [1]

Три измерения

[ редактировать ]

Хотя конфигурация Дезарга может быть вложена в двух измерениях, она имеет очень простую конструкцию в трех измерениях: для любой конфигурации из пяти плоскостей, находящихся в общем положении в евклидовом пространстве , десять точек, где встречаются три плоскости, и десять линий, образованных пересечением две плоскости вместе образуют экземпляр конфигурации. [2] Эта конструкция тесно связана с тем свойством, что каждая проективная плоскость , которую можно вложить в трехмерное проективное пространство, подчиняется теореме Дезарга. Эту трехмерную реализацию конфигурации Дезарга также называют полным пентаэдром . [2]

Четыре измерения

[ редактировать ]
3D-проекция 5-ячеечной клетки с ее вершинами, краями и выступами.

5 -ячеечный или пентатоп (правильный симплекс в четырех измерениях) имеет пять вершин , десять ребер , десять треугольных гребней (двумерные грани) и пять тетраэдрических граней ; края и гребни касаются друг друга по той же схеме, что и конфигурация Дезарга. Продлите каждое из ребер 5-клетки до содержащей ее линии (ее аффинной оболочки ), аналогично продлите каждый треугольник 5-клетки до содержащей его 2-мерной плоскости и пересеките эти прямые и плоскости тройкой -мерная гиперплоскость , которая не содержит ни одну из них и не параллельна им. Каждая линия пересекает гиперплоскость в точке, а каждая плоскость пересекает гиперплоскость по прямой; эти десять точек и линий образуют экземпляр конфигурации Дезарга. [2]

Симметрии

[ редактировать ]

Хотя теорема Дезарга выбирает разные роли для своих десяти линий и точек, сама конфигурация Дезарга более симметрична : любая из десяти точек может быть выбрана в качестве центра перспективы, и этот выбор определяет, какие шесть точек будут вершинами треугольников. и какая линия будет осью перспективы. Конфигурация Дезарга имеет группу симметрии. порядка 120; то есть существует 120 различных способов перестановки точек и линий конфигурации таким образом, чтобы сохранить ее инцидентность точки с линией. [3] Трехмерная конструкция конфигурации Дезарга делает эти симметрии более очевидными: если конфигурация создается из пяти плоскостей, находящихся в общем положении в трех измерениях, то каждая из 120 различных перестановок этих пяти плоскостей соответствует симметрии конфигурации. [2]

Конфигурация Дезарга самодуальна, т. е. можно найти соответствие от точек одной конфигурации Дезарга линиям второй конфигурации и от линий первой конфигурации точкам второй конфигурации таким образом, что все случаев конфигурации сохраняются. [4]

Граф Леви конфигурации Дезарга, граф, имеющий одну вершину для каждой точки или линии в конфигурации, известен как граф Дезарга . Из-за симметрии и самодуальности конфигурации Дезарга граф Дезарга является симметричным графом . [1]

График Петерсена в схеме, показанной Кемпе (1886 г.)

Кемпе (1886) рисует для этой конфигурации другой граф, в котором десять вершин представляют десять линий, а две вершины соединены ребром всякий раз, когда соответствующие две линии не пересекаются в одной из точек конфигурации. Альтернативно, вершины этого графа можно интерпретировать как представляющие точки конфигурации Дезарга, и в этом случае ребра соединяют пары точек, для которых соединяющая их линия не является частью конфигурации. Эта публикация знаменует собой первое известное появление графа Петерсена в математической литературе, за 12 лет до того, как Юлиус Петерсен использовал тот же граф в качестве контрпримера к задаче о раскраске ребер . [5]

[ редактировать ]
Недесарговая (10 3 10 3 ) конфигурация.

Как проективная конфигурация, конфигурация Дезарга имеет обозначение (10 3 10 3 ), означающее, что каждая из ее десяти точек инцидентна трем прямым, а каждая из ее десяти прямых инцидентна трем точкам. Его десять точек можно уникальным образом рассматривать как пару взаимно вписанных пятиугольников или как самовписанный десятиугольник . [6] Граф Дезарга с 20 вершинами , двудольный симметричный кубический граф , называется так потому, что его можно интерпретировать как граф Леви конфигурации Дезарга, с вершиной для каждой точки и линии конфигурации и ребром для каждой инцидентной точки-линии. пара. [1]

Также существуют восемь других (10 3 10 3 ) конфигураций (то есть наборов точек и прямых на евклидовой плоскости с тремя прямыми на точку и тремя точками на прямую), которые не изоморфны по инцидентности конфигурации Дезарга, одна из которых показано справа. Десятая конфигурация существует как абстрактная конечная геометрия , но не может быть реализована с использованием евклидовых точек и линий. [7] Во всех этих конфигурациях каждая точка имеет три другие точки, не коллинеарные с ней. Но в конфигурации Дезарга эти три точки всегда коллинеарны друг другу (если выбранная точка является центром перспективы, то три точки образуют ось перспективы), тогда как в другой конфигурации, показанной на иллюстрации, эти три точки образуют треугольник из трех линий. Как и в случае с конфигурацией Дезарга, другую изображенную конфигурацию можно рассматривать как пару взаимно вписанных пятиугольников. [8]

Конфигурация Дезарга рассматривается как пара взаимно вписанных пятиугольников: каждая вершина пятиугольника лежит на линии, проходящей через одну из сторон другого пятиугольника.

Примечания

[ редактировать ]
  • Барнс, Джон (2012), «Двойственность в трех измерениях» , Gems of Geometry , Springer, стр. 95–97, ISBN  9783642309649
  • Берман, Лия Ренн ; ДеОрси, Филип; Фаудри, Джилл Р.; Писански, Томаж ; Житник, Арьяна (2020), «Киральные астральные реализации циклических 3-конфигураций», Дискретная и вычислительная геометрия , 64 (2): 542–565, doi : 10.1007/s00454-020-00203-1 , MR   4131561
  • Коксетер, HSM (1964), Проективная геометрия , Нью-Йорк: Блейсделл, стр. 26–27.
  • Гильберт, Дэвид ; Кон-Воссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, стр. 119–128, ISBN.  0-8284-1087-9
  • Холтон, Д.А.; Шихан, Дж. (1993), Граф Петерсена , Серия лекций Австралийского математического общества, том. 7, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, с. 1, номер домена : 10.1017/CBO9780511662058 , ISBN  0-521-43594-3 , МР   1232658
  • Кемпе, AB (1886), «Мемуары по теории математической формы», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 177 : 1–70, doi : 10.1098/rstl.1886.0002
  • Писански, Томаж ; Серватиус, Бриджит (2013), «5.3.4 Конфигурация Дезарга», Конфигурации с графической точки зрения , Springer, стр. 176–179, ISBN  9780817683641
  • Шрётер, Х. (1889), «Об образовании и геометрическом построении конфигураций 10 3 » , Nachrichten von der Königl. Общество наук и Геттингенский университет имени Георга Августа , 1889 : 193–236.
  • Строппель, Бернхильд; Строппель, Маркус (2013), «Дезарг, салфетка, двойственность и исключительные изоморфизмы» (PDF) , Австралазийский журнал комбинаторики , 57 : 257
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: c7500b30604588eea0e6cd55c92bbb3d__1692350700
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/c7/3d/c7500b30604588eea0e6cd55c92bbb3d.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Desargues configuration - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)