Конфигурация Дезарга

Два перспективных треугольника, их центр и ось перспективы.

В геометрии представляет конфигурация Дезарга собой конфигурацию из десяти точек и десяти линий, по три точки на линию и по три линии на точку. Он назван в честь Жирара Дезарга .

Конфигурация Дезарга может быть построена в двух измерениях из точек и линий, встречающихся в теореме Дезарга , в трех измерениях из пяти плоскостей в общем положении или в четырех измерениях из 5-клеток , четырехмерного правильного симплекса . Он имеет большую группу симметрий, переводящих любую точку в любую другую точку и любую линию в любую другую прямую. Он также самодуален, что означает, что если точки заменяются линиями и наоборот с использованием проективной двойственности , получится та же самая конфигурация.

Графы, связанные с конфигурацией Дезарга, включают граф Дезарга (его график инцидентности точечных линий) и граф Петерсена (его график неинцидентных линий). Конфигурация Дезарга — одна из десяти различных конфигураций с десятью точками и линиями, тремя точками на линию и тремя линиями на точку, девять из которых могут быть реализованы в евклидовой плоскости .

Конструкции

Два измерения

Два треугольника $ABC$ и $abc$ Говорят, что они находятся в перспективе в центре, если линии $Aa$, $Bb$, и $Cc$ встречаются в общей точке, называемой центром перспективы . Они находятся в перспективе в осевом направлении , если точки пересечения соответствующих сторон треугольника $X=AB\cap ab$, $Y=AC\cap ac$, и $Z=BC\cap bc$ все лежат на одной линии, оси перспективы . Теорема Дезарга в геометрии утверждает, что эти два условия эквивалентны: если два треугольника находятся в перспективе в центре, то они также должны находиться в перспективе в осевом направлении, и наоборот. Когда это происходит, десять точек и десять линий двух перспектив (шесть вершин треугольника, три точки пересечения и центр перспективы, а также шесть сторон треугольника, три линии, проходящие через соответствующие пары вершин и ось перспективы) вместе образуют экземпляр конфигурации Дезарга.

Три измерения

Хотя конфигурация Дезарга может быть вложена в двух измерениях, она имеет очень простую конструкцию в трех измерениях: для любой конфигурации из пяти плоскостей, находящихся в общем положении в евклидовом пространстве , десять точек, где встречаются три плоскости, и десять линий, образованных пересечением две плоскости вместе образуют экземпляр конфигурации. Эта конструкция тесно связана с тем свойством, что каждая проективная плоскость , которую можно вложить в трехмерное проективное пространство, подчиняется теореме Дезарга. Эту трехмерную реализацию конфигурации Дезарга также называют полным пентаэдром .

Четыре измерения

3D-проекция 5-ячеечной клетки с ее вершинами, краями и выступами.

5 -ячеечный или пентатоп (правильный симплекс в четырех измерениях) имеет пять вершин , десять ребер , десять треугольных гребней (двумерные грани) и пять тетраэдрических граней ; края и гребни касаются друг друга по той же схеме, что и конфигурация Дезарга. Продлите каждое из ребер 5-клетки до содержащей ее линии (ее аффинной оболочки ), аналогично продлите каждый треугольник 5-клетки до содержащей его 2-мерной плоскости и пересеките эти прямые и плоскости тройкой -мерная гиперплоскость , которая не содержит ни одну из них и не параллельна им. Каждая линия пересекает гиперплоскость в точке, а каждая плоскость пересекает гиперплоскость по прямой; эти десять точек и линий образуют экземпляр конфигурации Дезарга.

Симметрии

Хотя теорема Дезарга выбирает разные роли для своих десяти линий и точек, сама конфигурация Дезарга более симметрична : любая из десяти точек может быть выбрана в качестве центра перспективы, и этот выбор определяет, какие шесть точек будут вершинами треугольников. и какая линия будет осью перспективы. Конфигурация Дезарга имеет группу симметрии. $S_{5}$ порядка 120; то есть существует 120 различных способов перестановки точек и линий конфигурации таким образом, чтобы сохранить ее инцидентность точки с линией. Трехмерная конструкция конфигурации Дезарга делает эти симметрии более очевидными: если конфигурация создается из пяти плоскостей, находящихся в общем положении в трех измерениях, то каждая из 120 различных перестановок этих пяти плоскостей соответствует симметрии конфигурации.

Конфигурация Дезарга самодуальна, т. е. можно найти соответствие от точек одной конфигурации Дезарга линиям второй конфигурации и от линий первой конфигурации точкам второй конфигурации таким образом, что все случаев конфигурации сохраняются.

Графики

Граф Леви конфигурации Дезарга, граф, имеющий одну вершину для каждой точки или линии в конфигурации, известен как граф Дезарга . Из-за симметрии и самодуальности конфигурации Дезарга граф Дезарга является симметричным графом .

График Петерсена в схеме, показанной Кемпе (1886 г.)

Кемпе (1886) рисует для этой конфигурации другой граф, в котором десять вершин представляют десять линий, а две вершины соединены ребром всякий раз, когда соответствующие две линии не пересекаются в одной из точек конфигурации. Альтернативно, вершины этого графа можно интерпретировать как представляющие точки конфигурации Дезарга, и в этом случае ребра соединяют пары точек, для которых соединяющая их линия не является частью конфигурации. Эта публикация знаменует собой первое известное появление графа Петерсена в математической литературе, за 12 лет до того, как Юлиус Петерсен использовал тот же граф в качестве контрпримера к задаче о раскраске ребер .

Связанные конфигурации

Недесарговая (10 ₃ 10 ₃ ) конфигурация.

Как проективная конфигурация, конфигурация Дезарга имеет обозначение (10 ₃ 10 ₃ ), означающее, что каждая из ее десяти точек инцидентна трем прямым, а каждая из ее десяти прямых инцидентна трем точкам. Его десять точек можно уникальным образом рассматривать как пару взаимно вписанных пятиугольников или как самовписанный десятиугольник . Граф Дезарга с 20 вершинами , двудольный симметричный кубический граф , называется так потому, что его можно интерпретировать как граф Леви конфигурации Дезарга, с вершиной для каждой точки и линии конфигурации и ребром для каждой инцидентной точки-линии. пара.

Также существуют восемь других (10 ₃ 10 ₃ ) конфигураций (то есть наборов точек и прямых на евклидовой плоскости с тремя прямыми на точку и тремя точками на прямую), которые не изоморфны по инцидентности конфигурации Дезарга, одна из которых показано справа. Десятая конфигурация существует как абстрактная конечная геометрия , но не может быть реализована с использованием евклидовых точек и линий. Во всех этих конфигурациях каждая точка имеет три другие точки, не коллинеарные с ней. Но в конфигурации Дезарга эти три точки всегда коллинеарны друг другу (если выбранная точка является центром перспективы, то три точки образуют ось перспективы), тогда как в другой конфигурации, показанной на иллюстрации, эти три точки образуют треугольник из трех линий. Как и в случае с конфигурацией Дезарга, другую изображенную конфигурацию можно рассматривать как пару взаимно вписанных пятиугольников.

Конфигурация Дезарга рассматривается как пара взаимно вписанных пятиугольников: каждая вершина пятиугольника лежит на линии, проходящей через одну из сторон другого пятиугольника.

Ссылки

• Барнс, Джон (2012), «Двойственность в трех измерениях» , Gems of Geometry , Springer, стр. 95–97, ISBN  9783642309649
• Берман, Лия Ренн ; ДеОрси, Филип; Фаудри, Джилл Р.; Писански, Томаж ; Житник, Арьяна (2020), «Киральные астральные реализации циклических 3-конфигураций», Дискретная и вычислительная геометрия , 64 (2): 542–565, doi : 10.1007/s00454-020-00203-1 , MR   4131561
• Коксетер, HSM (1964), Проективная геометрия , Нью-Йорк: Блейсделл, стр. 26–27.
• Гильберт, Дэвид ; Кон-Воссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, стр. 119–128, ISBN.  0-8284-1087-9
• Холтон, Д.А.; Шихан, Дж. (1993), Граф Петерсена , Серия лекций Австралийского математического общества, том. 7, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, с. 1, номер домена : 10.1017/CBO9780511662058 , ISBN  0-521-43594-3 , МР   1232658
• Кемпе, AB (1886), «Мемуары по теории математической формы», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 177 : 1–70, doi : 10.1098/rstl.1886.0002
• Писански, Томаж ; Серватиус, Бриджит (2013), «5.3.4 Конфигурация Дезарга», Конфигурации с графической точки зрения , Springer, стр. 176–179, ISBN  9780817683641
• Шрётер, Х. (1889), «Об образовании и геометрическом построении конфигураций 10 ₃ » , Nachrichten von der Königl. Общество наук и Геттингенский университет имени Георга Августа , 1889 : 193–236.
• Строппель, Бернхильд; Строппель, Маркус (2013), «Дезарг, салфетка, двойственность и исключительные изоморфизмы» (PDF) , Австралазийский журнал комбинаторики , 57 : 257

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Конфигурация Дезарга» , MathWorld