Конфигурация Грюнбаума – Ригби

Конфигурация Грюнбаума-Ригби.

В геометрии конфигурация Грюнбаума-Ригби представляет собой симметричную конфигурацию, состоящую из 21 точки и 21 линии, по четыре точки на каждой линии и четыре линии, проходящие через каждую точку. Первоначально изученная Феликсом Кляйном в комплексной проективной плоскости в связи с квартикой Клейна , она была впервые реализована в евклидовой плоскости Бранко Грюнбаумом и Джоном Ф. Ригби .

История и обозначения

Конфигурация Грюнбаума-Ригби была известна Феликсу Кляйну , Уильяму Бернсайду и Х.С.М. Кокстеру . Его первоначальное описание Кляйном в 1879 году ознаменовало первое появление в математической литературе 4-конфигурации, системы точек и линий с четырьмя точками на линию и четырьмя линиями на точку. В описании Кляйна эти точки и линии принадлежат комплексной проективной плоскости , пространству, координаты которого являются комплексными числами , а не действительными координатами евклидовой плоскости.

Геометрическая реализация этой конфигурации в виде точек и линий на евклидовой плоскости , основанная на наложении трех правильных гептаграмм , была установлена ​​гораздо позже Бранко Грюнбаумом и Дж. Ф. Ригби ( 1990 ). Их статья об этом стала первой из серии работ Грюнбаума о конфигурациях и содержала первое опубликованное графическое изображение 4-конфигурации.

В обозначениях конфигураций обозначаются конфигурации с 21 точкой, 21 линией, 4 точками на линию и 4 линиями на точку (21 ₄ ). Однако в обозначениях указывается не сама конфигурация, а только ее тип (количество точек, линий и вхождений). Он также не определяет, является ли конфигурация чисто комбинаторной (абстрактная картина инцидентности линий и точек) или реализуемы ли точки и линии конфигурации в евклидовой плоскости или другой стандартной геометрии. Тип (21 ₄ ) весьма неоднозначен: существует неизвестное, но большое количество (комбинаторных) конфигураций этого типа, 200 из которых были перечислены Ди Паолой и Гроппом (1989) .

Строительство

Конфигурацию Грюнбаума – Ригби можно построить из семи точек правильного семиугольника и его 14 внутренних диагоналей. Чтобы завершить 21 точку и линию конфигурации, к ним необходимо добавить еще 14 точек и еще семь линий. Остальные 14 точек конфигурации — это точки пересечения пар диагоналей одинаковой длины семиугольника. Они образуют два семиугольника меньшего размера, по одному на каждую из двух длин диагонали; стороны этих меньших семиугольников являются диагоналями внешнего семиугольника. Каждый из двух меньших семиугольников имеет 14 диагоналей, семь из которых являются общими с другим меньшим семиугольником. Семь общих диагоналей — это оставшиеся семь линий конфигурации.

Первоначальная конструкция конфигурации Грюнбаума-Ригби Кляйном рассматривала ее точки и линии как принадлежащие комплексной проективной плоскости , а не евклидовой плоскости. В этом пространстве точки и линии образуют перспективные центры и оси перспективных преобразований квартики Клейна . Они имеют тот же образец пересечения точек и линий, что и евклидова версия конфигурации.

Конечная проективная плоскость $PG(2,7)$ имеет 57 точек и 57 линий, и ему могут быть заданы координаты на основе целых чисел по модулю 7. В этом пространстве каждая коника $C$ (множество решений квадратного уравнения с двумя переменными по модулю 7) имеет 28 секущих, проходящих через пары его точек, 8 касательных, проходящих через одну точку, и 21 несекащую прямую, не пересекающуюся с $C$. Двойственно, есть 28 точек, где встречаются пары касательных линий, 8 точек на $C$и 21 внутренняя точка, не принадлежащая ни одной касательной. 21 несекущая линия и 21 внутренняя точка образуют экземпляр конфигурации Грюнбаума – Ригби, а это означает, что эти точки и линии снова имеют одинаковую схему пересечений.

Характеристики

Проективный двойник этой конфигурации, система точек и прямых с точкой для каждой линии конфигурации и линией для каждой точки и с одинаковыми инцидентностями точки и линии, представляет собой ту же самую конфигурацию. Группа симметрии конфигурации включает симметрии, которые переводят любую инцидентную пару точек и линий в любую другую инцидентную пару. Конфигурация Грюнбаума-Ригби является примером полициклической конфигурации, то есть конфигурации с циклической симметрией , такой, что каждая орбита точек или линий имеет одинаковое количество элементов.

Ссылки

• Бобен, Марко; Писански, Томаж (2003), «Полициклические конфигурации», Европейский журнал комбинаторики , 24 (4): 431–457, doi : 10.1016/S0195-6698(03)00031-3 , ISSN   0195-6698 , MR   1975946
• Бернсайд, В. (1907), «О гессенской конфигурации и ее связи с группой из 360 плоских коллинеаций» , Труды Лондонского математического общества , вторая серия, 4 : 54–71, doi : 10.1112/plms/s2-4.1 .54 , МР   1576105
• Коксетер, HSM (1983), «Мой график», Труды Лондонского математического общества , третья серия, 46 (1): 117–136, doi : 10.1112/plms/s3-46.1.117 , MR   0684825
• Ди Паола, Джейн В.; Гропп, Харальд (1989), «Гиперболические графы из гиперболических плоскостей», Congressus Numerantium , 68 : 23–43, MR   0995852 . Цитируется Грюнбаумом (2009) .
• Грюнбаум, Бранко (2009), Конфигурации точек и линий , Аспирантура по математике , том. 103, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , номер документа : 10.1090/gsm/103 , ISBN.  978-0-8218-4308-6 , МР   2510707
• Грюнбаум, Бранко ; Ригби, Дж. Ф. (1990), «Реальная конфигурация (21 ₄ )», Журнал Лондонского математического общества , вторая серия, 41 (2): 336–346, doi : 10.1112/jlms/s2-41.2.336 , MR   1067273
• Кляйн, Феликс (1879), «О преобразовании эллиптических функций седьмого порядка» , Mathematical Annals , 14 (3): 428–471, doi : 10.1007/BF01677143 , S2CID   121407539 . Переведено на английский Сильвио Леви как Кляйн, Феликс (1999), «О преобразовании эллиптических функций седьмого порядка», Восьмеричный путь , Публикации Научно-исследовательского института математических наук, том. 35, Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, стр. 287–331, MR   1722419.