Сложная проективная плоскость

В математике комплексная проективная плоскость , обычно обозначаемая P ² ( C ) или CP ² , — двумерное комплексное проективное пространство . Это комплексное многообразие комплексной размерности 2, описываемое тремя комплексными координатами.

$(Z_{1},Z_{2},Z_{3})\in \mathbf {C} ^{3},\qquad (Z_{1},Z_{2},Z_{3})\neq (0,0,0)$

где, однако, идентифицированы тройки, отличающиеся общим перемасштабированием:

$(Z_{1},Z_{2},Z_{3})\equiv (\lambda Z_{1},\lambda Z_{2},\lambda Z_{3});\quad \lambda \in \mathbf {C} ,\qquad \lambda \neq 0.$

То есть это однородные координаты в традиционном понимании проективной геометрии .

Топология

Числа Бетти комплексной проективной плоскости равны

1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, .....

Средняя размерность 2 объясняется классом гомологии комплексной проективной прямой или сферы Римана , лежащей в плоскости. Нетривиальными гомотопическими группами комплексной проективной плоскости являются $\pi _{2}=\pi _{5}=\mathbb {Z}$. Фундаментальная группа тривиальна, а все остальные высшие гомотопические группы принадлежат 5-сфере, т. е. кручению.

Алгебраическая геометрия

В бирациональной геометрии комплексная рациональная поверхность — это любая алгебраическая поверхность, бирационально эквивалентная комплексной проективной плоскости. Известно, что любое неособое рациональное многообразие получается из плоскости последовательностью раздутий и обратных к ним («сдутий») кривых, которые должны быть весьма частного типа. В частном случае неособая комплексная квадрика в P ³ получается из плоскости раздуванием двух точек до кривых, а затем продуванием прямой через эти две точки; обратное этому преобразованию можно увидеть, взяв точку P на квадрике Q , раздув ее и спроецировав на общую плоскость в P ³ рисуя линии через P .

Группа бирациональных автоморфизмов комплексной проективной плоскости — группа Кремоны .

Дифференциальная геометрия

Как риманово многообразие , комплексная проективная плоскость представляет собой 4-мерное многообразие, секционная кривизна которого четверть защемлена, но не строго так. То есть он достигает обеих границ и, таким образом, не является сферой, как теорема о сфере в противном случае требовала бы . Конкурирующие нормализации предусматривают сжатие кривизны между 1/4 и 1; альтернативно, от 1 до 4. Что касается первой нормализации, вложенная поверхность, определяемая комплексной проективной линией, имеет гауссову кривизну 1. Что касается последней нормализации, вложенная вещественная проективная плоскость имеет гауссову кривизну 1.

Явная демонстрация тензоров Римана и Риччи приведена в подразделе n =2 статьи о метрике Фубини-Студи .

См. также

• поверхности куска
• Торическая геометрия
• Фальшивая проективная плоскость

Ссылки

• CE Springer (1964) Геометрия и анализ проективных пространств , страницы 140–3, WH Freeman and Company .