Фальшивая проективная плоскость

В математике фальшивая проективная плоскость (или поверхность Мамфорда ) — это одна из 50 комплексных алгебраических поверхностей , которые имеют те же числа Бетти, что и проективная плоскость , но не изоморфны ей. Такие объекты всегда являются алгебраическими поверхностями общего типа .

История

Севери спросил, существует ли комплексная поверхность, гомеоморфная проективной плоскости, но не биголоморфная ей. Яу (1977) показал, что такой поверхности не существует, поэтому самым близким приближением к проективной плоскости может быть поверхность с теми же числами Бетти ( b ₀ , b ₁ , b ₂ , b ₃ , b ₄ ) = ( 1,0,1,0,1) как проективная плоскость. Первый пример был найден Мамфордом (1979) с использованием p -адической униформизации, независимо введенной Курихарой и Мустафиным.Мамфорд также заметил, что результат Яу вместе с теоремой Вейля о жесткости дискретных кокомпактных подгрупп в PU (1,2) подразумевает, что существует только конечное число ложных проективных плоскостей. Исида и Като (1998) нашли еще два примера, используя аналогичные методы, а Кеум (2006) нашел пример с автоморфизмом порядка 7, который бирационален циклическому накрытию степени 7 поверхности Долгачева . Прасад и Йенг (2007) , Прасад и Йенг (2010) нашли систематический способ классификации всех ложных проективных плоскостей, показав, что существует двадцать восемь классов, каждый из которых содержит по крайней мере примерфальшивая проективная плоскость с точностью до изометрии и что может быть максимум пять еще классов, несуществование которых позже было показано. Проблема перечисления всех ложных проективных плоскостей сводится к перечислению всех подгрупп соответствующего индекса явно заданной решетки, ассоциированных с каждым классом. Распространив эти расчеты Картрайт и Стегер (2010) показали, что двадцать восемь классов исчерпывают все возможности для ложных проективных плоскостей и что всего имеется 50 примеров, определенных с точностью до изометрии, или 100 ложных проективных плоскостей с точностью до биголоморфизма.

Поверхность общего типа с теми же числами Бетти, что и минимальная поверхность не общего типа, должна иметь числа Бетти либо проективная плоскость P ² или квадрика P ¹× P ¹. Шавель (1978) построил некоторые «фальшивые квадрики»: поверхности общего типа с теми же числами Бетти, что и квадрики. Поверхности Бовиля дают дополнительные примеры.

Аналоги фальшивых проективных поверхностей более высокой размерности называются фальшивыми проективными пространствами .

Основная группа

Как следствие работы Обина и Яу по решению гипотезы Калаби в случае отрицательной кривизны Риччи, см. Яу ( 1977 , 1978 ), любая ложная проективная плоскость является фактором комплексного единичного шара в 2 измерениях по дискретной подгруппе. , которая является фундаментальной группой ложной проективной плоскости. Следовательно, эта фундаментальная группа должна быть без кручения кокомпактной Клинглер ( дискретной подгруппой в PU(2,1) характеристики Эйлера-Пуанкаре 3. 2003) и Юнг (2004) показали, что эта фундаментальная группа также должна быть арифметической группой . Результаты Мостоу о сильной жесткости подразумевают, что фундаментальная группа определяет ложную плоскость в том смысле, что любая компактная поверхность с той же фундаментальной группой должна быть изометрична ей.

Две ложные проективные плоскости считаются принадлежащими к одному и тому же классу, если их фундаментальные группы содержатся в одной и той же максимальной арифметической подгруппе автоморфизмов единичного шара. Прасад и Йенг (2007) , Прасад и Йенг (2010) использовали формулу объема для арифметических групп из ( Прасад 1989 ), чтобы перечислить 28 непустых классов ложных проективных плоскостей и показать, что может быть не более пяти дополнительных классов, которые не являются ожидается существование. (См. приложение к статье, где была уточнена классификация и исправлены некоторые ошибки в исходной статье.) Картрайт и Стегер (2010) подтвердили, что пять дополнительных классов действительно не существуют, и перечислили все возможности внутри них.двадцать восемь классов. Существует ровно 50 ложных проективных плоскостей, классифицированных с точностью до изометрии, и, следовательно, 100 различных ложных проективных плоскостей.классифицированы с точностью до биголоморфизма.

Фундаментальная группа ложной проективной плоскости является арифметической подгруппой PU(2,1). Напишите k для ассоциированного числового поля (полностью вещественного поля) и G для ассоциированной k -формы PU(2,1). Если l — квадратичное расширение поля k, над которым G — внутренняя форма, то l — полностью мнимое поле. Существует тело D с центром l и степенью над l 3 или 1, с инволюцией второго рода, ограничивающейся нетривиальным автоморфизмом l над k , и нетривиальной эрмитовой формой на модуле над D размерности 1 или 3. такая, что G — специальная унитарная группа этой эрмитовой формы. (Как следствие Прасада и Юнга (2007) и работы Картрайта и Стегера, D имеет степень 3 над l , а модуль имеет размерность 1 над D .) Существует одно вещественное место k такое, что точки G образуют копию PU(2,1), а по всем остальным вещественным местам k они образуют компактную группу PU(3).

Согласно результату Прасада и Юнга (2007) , группа автоморфизмов ложной проективной плоскости является либо циклической группой порядка 1, 3 или 7, либо нециклической группой порядка 9, либо неабелевой группой порядка 21. Факторы ложных проективных плоскостей по этим группам были изучены Кеумом (2008). а также Картрайт и Стегер (2010) .

Список 50 фальшивых проективных плоскостей

к	л	Т	индекс	Фальшивые проективные плоскости
вопрос	Q( √ -1 )	5	3	3 фальшивых самолета в 3 классах
	Q( √ -2 )	3	3	3 фальшивых самолета в 3 классах
	Q( √ −7 )	2	21	7 фальшивых самолетов в 2 классах. Один из этих классов содержит примеры Мамфорда и Кеума.
		2, 3	3	4 фальшивых самолета в 2 классах
		2, 5	1	2 фальшивых самолета в 2 классах
	Q( √ -15 )	2	3	10 поддельных самолетов в 4 классах, включая образцы, созданные Исидой и Като.
	Q( √ −23 )	2	1	2 фальшивых самолета в 2 классах
Q( √ 2 )	Q( √ −7+4 √ 2 )	2	3	2 фальшивых самолета в 2 классах
Q( √ 5 )	Q( √ 5 , ζ ₃ )	2	9	7 фальшивых самолетов в 2 классах
Q( √ 6 )	Q( √ 6 ,ζ ₃ )	2 или 2,3	1 или 3 или 9	5 фальшивых самолетов в 3 классах
Q( √ 7 )	Q( √ 7 ,ζ ₄ )	2 или 3,3	21 или 3,3	5 фальшивых самолетов в 3 классах

k — вполне реальное поле.
l — вполне мнимое квадратичное расширение k , а ζ ₃ — кубический корень из 1.
T — множество простых чисел k , где некоторая локальная подгруппа не является гиперспециальной.
индекс — это индекс фундаментальной группы в определенной арифметической группе.

Ссылки

Картрайт, Дональд И.; Стегер, Тим (2010), «Перечисление 50 фальшивых проективных плоскостей» (PDF) , Comptes Rendus Mathématique , 348 (1): 11–13, doi : 10.1016/j.crma.2009.11.016
Исида, Маса-Нори; Като, Фумихару (1998), «Теорема сильной жесткости для неархимедовой униформизации», The Tohoku Mathematical Journal , Second Series, 50 (4): 537–555, doi : 10.2748/tmj/1178224897 , MR 1653430
Кым, ЧонХэ (2006), «Поддельная проективная плоскость с автоморфизмом порядка 7», Топология , 45 (5): 919–927, arXiv : math/0505339 , doi : 10.1016/j.top.2006.06.006 , MR 2239523 , S2CID 15052978
Кым, ЧонХэ (2008), «Факторы фальшивых проективных плоскостей», Геометрия и топология , 12 (4): 2497–2515, arXiv : 0802.3435 , doi : 10.2140/gt.2008.12.2497 , MR 2443971 , S2CID 14476192
Клинглер, Бруно (2003), «О жесткости некоторых фундаментальных групп, арифметичности сложных гиперболических сетей и ложных проективных плоскостей», Inventiones Mathematicae , 153 (1): 105–143, Bibcode : 2003InMat.153.. 105K , doi : 10.1007/s00222-002-0283-2 , MR 1990668 , S2CID 120268251
Kulikov, Vik. S.; Kharlamov, V. M. (2002), "On real structures on rigid surfaces", Izvestiya: Mathematics , 66 (1): 133–150, arXiv : math/0101098 , Bibcode : 2002IzMat..66..133K , doi : 10.1070/IM2002v066n01ABEH000374 , MR 1917540
Мамфорд, Дэвид (1979), «Алгебраическая поверхность с достаточной K (K ²)=9, pg ₌ q=0" (PDF) , Американский журнал математики , 101 (1): 233–244, doi : 10.2307/2373947 , JSTOR 2373947 , MR 0527834
Прасад, Гопал (1989), «Объемы S-арифметических частных полупростых групп» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 69 (69): 91–117, doi : 10.1007/BF02698841 , MR 1019962 , S2CID 53556391
Прасад, Гопал; Юнг, Сай-Ки (2007), «Поддельные проективные плоскости», Inventiones Mathematicae , 168 (2): 321–370, arXiv : math/0512115 , Bibcode : 2007InMat.168..321P , doi : 10.1007/s00222-007- 0034-5 , МР 2289867 , С2КИД 1990160
Прасад, Гопал; Юнг, Сай-Ки (2010), «Дополнение к «Фальшивым проективным плоскостям» », Inventiones Mathematicae , 182 (1): 213–227, arXiv : 0906.4932 , Bibcode : 2010InMat.182..213P , doi : 10.1007/s00222- 010-0259-6 , МР 2672284 , С2КИД 17216453
Реми, Р. (2007), Кообъем S-арифметических групп и ложных проективных плоскостей (по Мамфорду, Прасаду, Клинглеру, Юнгу, Прасаду-Юнгу) (PDF) , Семинар Бурбаки, том. 984, заархивировано из оригинала (PDF) 9 июня 2011 г. , получено 8 мая 2009 г.
Шавел, Ира Х. (1978), «Класс алгебраических поверхностей общего типа, построенных на основе алгебр кватернионов» , Pacific Journal of Mathematics , 76 (1): 221–245, doi : 10.2140/pjm.1978.76.221 , MR 0572981
Яу, Шинг Тунг (1977), «Гипотеза Калаби и некоторые новые результаты в алгебраической геометрии», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 74 (5): 1798–1799, Bibcode : 1977PNAS...74.1798 Y , doi : 10.1073/pnas.74.5.1798 , JSTOR 67110 , MR 0451180 , PMC 431004 , PMID 16592394
Яу, Шинг Тунг (1978), «О кривизне Риччи компактного кэлерова многообразия и комплексном уравнении Монжа-Ампера. I», Communications on Pure and Applied Mathematics , 31 (3): 339–411, doi : 10.1002/cpa .3160310304 , МР 0480350
Юнг, Сай-Ки (2004), «Целостность и арифметичность кокомпактной решетки, соответствующей некоторым комплексным двухшаровым факторам Пикара номер один» , Азиатский журнал математики , 8 (1): 107–129, doi : 10.4310 /ajm.2004.v8.n1.a9 , МР 2128300
Юнг, Сай-Ки (2010), «Классификация ложных проективных плоскостей» , Справочник по геометрическому анализу, № 2 , Адв. Лект. Математика. (АЛМ), вып. 13, Межд. Press, Сомервилл, Массачусетс, стр. 391–431, MR 2761486.

Внешние ссылки

Прасад, Гопал, фальшивые проективные пространства