Поверхность Дель Пеццо

В математике поверхность дель Пеццо или поверхность Фано — это двумерное многообразие Фано , другими словами, неособая проективная алгебраическая поверхность с обильным антиканонических классом дивизоров . Они в некотором смысле противоположны поверхностям общего типа , канонический класс которых велик.

Они названы в честь Паскуале дель Пеццо , который изучал поверхности с более ограничительным условием, что они имеют очень обширный класс антиканонических дивизоров, или, на его языке, поверхности со степенью n , вложенные в n -мерное проективное пространство ( дель Пеццо 1887 ), которые являются поверхностями дель Пеццо степени не ниже 3.

Классификация

Поверхность дель Пеццо — полная неособая поверхность с обильным антиканоническим расслоением. Иногда используются некоторые варианты этого определения. Иногда поверхности дель Пеццо допускают наличие особенностей. Первоначально предполагалось, что они вложены в проективное пространство посредством антиканонического вложения, которое ограничивает степень не ниже 3.

Степень d ) ее поверхности дель Пеццо X по определению является числом самопересечения ( K , K канонического K. класса

Любая кривая на поверхности дель Пеццо имеет число самопересечения не менее −1. Число кривых с числом самопересечения −1 конечно и зависит только от степени (если степень не равна 8).

(−1)-кривая — это рациональная кривая с числом самопересечения −1. При d > 2 образ такой кривой в проективном пространстве при антиканоническом вложении является линией.

Раздутие любой (−1 ) -кривой на поверхности дель Пеццо является поверхностью дель Пеццо степени 1 выше. Раздутие любой точки на поверхности дель Пеццо является поверхностью дель Пеццо степени 1 меньше, при условии , что точка не лежит на (−1)-кривой и степень больше 2. Когда степень равна 2, мы придется добавить условие, что точка не фиксируется инволюцией Гейзера, связанной с антиканоническим морфизмом.

Дель Пеццо доказал, что поверхность дель Пеццо имеет степень d не выше 9. Над алгебраически замкнутым полем каждая поверхность дель Пеццо является либо произведением двух проективных прямых (с d = 8), либо раздутием проективной плоскости в 9 - d точках, в которых нет трех коллинеарных, нет шести на конике и нет восьми из них на кубе, имеющем узел на одном из них. Обратно, любое раздутие плоскости в точках, удовлетворяющих этим условиям, является поверхностью дель Пеццо.

Группа Пикара поверхности дель Пеццо степени d представляет собой нечетную унимодулярную решетку I _{1,9− d} , за исключением случаев, когда поверхность является произведением двух прямых, когда группа Пикара является четной унимодулярной решеткой II _1,1 . нечетная решетка, канонический элемент равен (3, 1, 1, 1, ....), а исключительные кривые представлены перестановками всех, кроме первой координаты, следующих векторов:

• (0, −1, 0, 0, ....) исключительные кривые раздутых точек,
• (1, 1, 1, 0, 0, ...) линии через 2 точки,
• (2, 1, 1, 1, 1, 1, 0, ...) коники через 5 точек,
• (3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, ...) кубики через 7 точек с двойной точкой в ​​одной из них,
• (4, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1) квартики через 8 точек с двойными точками в трех из них,
• (5, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1) квинтики до 8 очков с двойными очками во всех из них, кроме двух,
• (6, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2) секстики через 8 точек с двойными точками на всех, кроме одной точки с кратностью три.

Примеры

Степень 1: имеют 240 (−1)-кривых, соответствующих корням E8 _{корневой системы} . Они образуют 8-мерную семью. Антиканонический делитель не очень обилен. Линейная система |−2 K | определяет отображение степени 2 поверхности дель Пеццо в квадратичный конус в P ³ , разветвленную по неособой кривой рода 4, вырезанной кубической поверхностью.

Степень 2: они имеют 56 (−1)-кривых, соответствующих мизерным векторам двойственной решетки E ₇ . Они образуют шестимерную семью. Антиканонический дивизор не очень обилен, и его линейная система определяет отображение поверхности дель Пеццо на проективную плоскость, разветвленное по кривой плоскости четвертой степени . Это отображение обычно имеет соотношение 2 к 1, поэтому эту поверхность иногда называют двойной плоскостью дель Пеццо. 56 линий поверхности дель Пеццо попарно отображают 28 биткасательных квартики .

Степень 3: это по существу кубические поверхности в P ³ ; кубическая поверхность является образом антиканонического вложения. соответствующих крохотным векторам одного смежного класса в двойственной решетке E6 _{Они имеют 27 (−1)-кривых ,} , которые отображаются в 27 линий кубической поверхности. Они образуют четырехмерную семью.

Степень 4: по существу это поверхности Сегре в P ⁴ , заданный пересечением двух квадрик. Они имеют 16 (−1)-кривых. Они образуют двумерную семью.

Степень 5: они имеют 10 (−1)-кривых, соответствующих мизерным векторам одного смежного класса в двойственной решетке A ₄ . С точностью до изоморфизма существует только одна такая поверхность, заданная раздутием проективной плоскости в 4 точках, где нет 3 на прямой.

Степень 6: имеют 6 (−1)-кривых. С точностью до изоморфизма существует только одна такая поверхность, заданная раздутием проективной плоскости в трех точках, а не на прямой. Корневая система A ₂ × A _1.

Степень 7: имеют 3 (−1)-кривые. С точностью до изоморфизма существует только одна такая поверхность, заданная раздутием проективной плоскости в двух различных точках.

Степень 8: имеют 2 типа изоморфизма. Одна из них представляет собой поверхность Хирцебруха, заданную раздутием проективной плоскости в одной точке и имеющую 1 (−1)-кривую. Другая представляет собой произведение двух проективных линий и является единственной поверхностью дель Пеццо, которую нельзя получить, начиная с проективной плоскости и расширяя точки. Ее группа Пикара представляет собой четную двумерную унимодулярную неопределенную решетку II _1,1 и не содержит (−1)-кривых.

Степень 9: Единственная поверхность дель Пеццо степени 9 - это P. ² . степени 3 Его антиканоническое вложение — это вложение Веронезе в P ⁹ с помощью линейной системы кубов.

Слабые поверхности дель Пеццо

Слабая поверхность дель Пеццо — это полная неособая поверхность с эффективным и большим антиканоническим расслоением.

Раздутие любой (−1)-кривой на слабой поверхности дель Пеццо является слабой поверхностью дель Пеццо степени 1 больше. Раздутие любой точки на слабой поверхности дель Пеццо является слабой поверхностью дель Пеццо степени 1 меньше, если точка не лежит на −2-кривой и степень больше 1.

Любая кривая на слабой поверхности дель Пеццо имеет число самопересечения не менее −2. Число кривых с числом самопересечения −2 не превосходит 9− d , а число кривых с числом самопересечения −1 конечно.

См. также

• Загадочная двойственность связывает геометрию поверхностей дель Пеццо и М-теорию .
• Поверхность булыжника

Ссылки

• дель Пеццо, Паскуале (1885), «О поверхностях порядка n, погруженных в пространства n+1 измерений», Rend. Из R. Acc. физических наук. И Мэтт. Из Неаполя
• дель Пеццо, Паскуале (1887), «На поверхностях n ^для порядок, погруженный в n-мерное пространство», Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 1 (1): 241–271, doi : 10.1007/BF03020097 , S2CID   184479766
• Долгачев, Игорь (2012), Классическая алгебраическая геометрия. Современный взгляд , Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-1-107-01765-8 , МР   2964027
• Коллар, Янош; Смит, Карен Э.; Корти, Алессио (2004), Рациональные и почти рациональные разновидности , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 92, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-83207-6 , МР   2062787
• Манин, Юрий Иванович (1986), Кубические формы , Математическая библиотека Северной Голландии, вып. 4 (2-е изд.), Амстердам: Северная Голландия, ISBN  978-0-444-87823-6 , МР   0833513
• Нагата, Масаеши (1960), «О рациональных поверхностях. I. Неприводимые кривые арифметического рода 0 или 1», Mem. Колл. наук. унив. Киото сер. Математика. , 32 : 351–370, МР   0126443
• Семпл, Дж. Г.; Рот, Л. (1985), Введение в алгебраическую геометрию , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, MR   0814690