Поверхность Хирцебруха

В математике поверхность Хирцебруха — это линейчатая поверхность над проективной прямой . Их изучал Фридрих Хирцебрух ( 1951 ).

Определение

Поверхность Хирцебруха $\Sigma _{n}$ это $\mathbb {P} ^{1}$-расслоение, называемое проективным расслоением , над $\mathbb {P} ^{1}$ связанный с пучком

$${\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n).$$

Обозначение здесь означает: ${\mathcal {O}}(n)$ - n -я тензорная степень скручивающего пучка Серра ${\mathcal {O}}(1)$, обратимый пучок или расслоение линий с соответствующим делителем Картье в одной точке. Поверхность $\Sigma _{0}$ изоморфен P ¹ × П ¹ , и $\Sigma _{1}$ изоморфен P ² взорван в какой-то момент, поэтому не является минимальным.

Коэффициент GIT

Один из методов построения поверхности Хирцебруха — использование фактора GIT.

$$\Sigma _{n}=(\mathbb {C} ^{2}-\{0\})\times (\mathbb {C} ^{2}-\{0\})/(\mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C} ^{*})$$

где действие $\mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C} ^{*}$ дается

$$(\lambda ,\mu )\cdot (l_{0},l_{1},t_{0},t_{1})=(\lambda l_{0},\lambda l_{1},\mu t_{0},\lambda ^{-n}\mu t_{1})$$

Это действие можно интерпретировать как действие $\lambda$ на первые два фактора происходит под действием $\mathbb {C} ^{*}$ на $\mathbb {C} ^{2}-\{0\}$ определение $\mathbb {P} ^{1}$, а второе действие представляет собой комбинацию построения прямой суммы линейных расслоений на $\mathbb {P} ^{1}$ и их проективизация. За прямую сумму ${\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)$ это может быть задано фактор-многообразием

$${\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)=(\mathbb {C} ^{2}-\{0\})\times \mathbb {C} ^{2}/\mathbb {C} ^{*}$$

где действие $\mathbb {C} ^{*}$ дается

$$\lambda \cdot (l_{0},l_{1},t_{0},t_{1})=(\lambda l_{0},\lambda l_{1},\lambda ^{a}t_{0},\lambda ^{0}t_{1}=t_{1})$$

Тогда проективизация $\mathbb {P} ({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))$ дается другим $\mathbb {C} ^{*}$-действие отправка класса эквивалентности $[l_{0},l_{1},t_{0},t_{1}]\in {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)$ к

$$\mu \cdot [l_{0},l_{1},t_{0},t_{1}]=[l_{0},l_{1},\mu t_{0},\mu t_{1}]$$

Объединение этих двух действий дает исходное частное вверху.

Карты перехода

Один из способов построить это $\mathbb {P} ^{1}$-bundle — с использованием функций перехода. Поскольку аффинные векторные расслоения обязательно тривиальны, над картами $U_{0},U_{1}$ из $\mathbb {P} ^{1}$ определяется $x_{i}\neq 0$ есть локальная модель комплекта

$$U_{i}\times \mathbb {P} ^{1}$$

Тогда карты перехода, индуцированные из карт перехода ${\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)$ дайте карту

$$U_{0}\times \mathbb {P} ^{1}|_{U_{1}}\to U_{1}\times \mathbb {P} ^{1}|_{U_{0}}$$

отправка

$$(X_{0},[y_{0}:y_{1}])\mapsto (X_{1},[y_{0}:x_{0}^{n}y_{1}])$$

где $X_{i}$ — аффинная функция координат на $U_{i}$.

Свойства

Проективные расслоения ранга 2 над P ¹

Заметим, что по теореме Гротендика для любого векторного расслоения ранга 2 $E$ на $\mathbb {P} ^{1}$ есть цифры $a,b\in \mathbb {Z}$ такой, что

$$E\cong {\mathcal {O}}(a)\oplus {\mathcal {O}}(b).$$

Поскольку проективное расслоение инвариантно относительно тензорирования линейным расслоением, линейчатая поверхность, связанная с $E={\mathcal {O}}(a)\oplus {\mathcal {O}}(b)$ поверхность Хирцебруха $\Sigma _{b-a}$ поскольку это расслоение можно тензорировать с помощью ${\mathcal {O}}(-a)$.

поверхностей

В частности, приведенное выше наблюдение дает изоморфизм между $\Sigma _{n}$ и $\Sigma _{-n}$ поскольку существуют векторные расслоения изоморфизма

$${\mathcal {O}}(n)\otimes ({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))\cong {\mathcal {O}}(n)\oplus {\mathcal {O}}$$

ассоциированной

Напомним, что проективные расслоения можно построить с помощью Relative Proj , который формируется из градуированного пучка алгебр

$$\bigoplus _{i=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{i}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))$$

Первые несколько симметричных модулей особенные, поскольку существует нетривиальный антисимметричный модуль. $\operatorname {Alt} ^{2}$-модуль ${\mathcal {O}}\otimes {\mathcal {O}}(-n)$. Эти шкивы сведены в таблицу.

$${\begin{aligned}\operatorname {Sym} ^{0}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))&={\mathcal {O}}\\\operatorname {Sym} ^{1}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))&={\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)\\\operatorname {Sym} ^{2}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))&={\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-2n)\end{aligned}}$$

Для $i>2$ симметричные пучки имеют вид

$${\begin{aligned}\operatorname {Sym} ^{k}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))&=\bigoplus _{i=0}^{k}{\mathcal {O}}^{\otimes (n-i)}\otimes {\mathcal {O}}(-in)\\&\cong {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(-kn)\end{aligned}}$$

Теория пересечений

Поверхности Хирцебруха для n > 0 имеют на себе специальную рациональную кривую C : поверхность представляет собой проективное расслоение O (− n ) , а кривая C — нулевое сечение . Эта кривая имеет число самопересечения − n и является единственной неприводимой кривой с отрицательным числом самопересечения. Единственными неприводимыми кривыми с нулевым числом самопересечения являются слои поверхности Хирцебруха (расслоения над P ¹ ). Группа Пикара порождается кривой C и одним из слоев, и эти образующие имеют матрицу пересечения

$${\begin{bmatrix}0&1\\1&-n\end{bmatrix}},$$

таким образом, билинейная форма является двумерной унимодулярной и является четной или нечетной в зависимости от того, является ли n четным или нечетным.Поверхность Хирцебруха Σ _n ( n > 1 ), раздутая в точке специальной кривой C , изоморфна Σ _{n +1} , раздутая в точке, не принадлежащей специальной кривой.

См. также

• Проективный расслоение

Ссылки

• Барт, Вольф П.; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные комплексные поверхности , результаты математики и ее пограничные области. 3-я серия, том. 4, Шпрингер-Верлаг, Берлин, ISBN  978-3-540-00832-3 , МР   2030225
• Бовилль, Арно (1996), Комплексные алгебраические поверхности , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 34 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-49510-3 , МИСТЕР 1406314
• Хирцебрух, Фридрих (1951), «Об одном классе односвязных комплексных многообразий», Mathematical Annals , 124 : 77–86, doi : 10.1007/BF01343552 , hdl : 21.11116/0000-0004-3A56-B , ISSN   0025-5831 , МР   0045384 , S2CID   122844063

Внешние ссылки

• Атлас коллекторов
• https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/alggeom-2002-c10.pdf
• https://mathoverflow.net/q/122952