Строительство проекта

В алгебраической геометрии Proj — конструкция, аналогичная «спектр кольца» конструкции аффинных схем , которая создает объекты с типичными свойствами проективных пространств и проективных многообразий . Конструкция, хотя и не функториальна , является фундаментальным инструментом в теории схем .

В этой статье все кольца будут считаться коммутативными и единичными.

Проект градуированного кольца

Проект в комплекте

Позволять $S$ — коммутативное градуированное кольцо , где $S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}$ – разложение в прямую сумму, связанное с градацией. Неактуальный идеал $S$ – идеал элементов положительной степени $S_{+}=\bigoplus _{i>0}S_{i}.$ Мы говорим, что идеал однороден, если он порождается однородными элементами. Затем в виде набора $\operatorname {Proj} S=\{P\subseteq S{\text{ homogeneous prime ideal, }}S_{+}\not \subseteq P\}.$ Для краткости иногда будем писать $X$ для $\operatorname {Proj} S$ .

Проект как топологическое пространство

Мы можем определить топологию , называемую топологией Зариского , на $\operatorname {Proj} S$ определив замкнутые множества как множества вида

V(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\subseteq p\},

где $a$ представляет собой однородный идеал $S$ . Как и в случае аффинных схем, быстро проверяется, что $V(a)$ образуют замкнутые множества топологии на $X$ .

Действительно, если $(a_{i})_{i\in I}$ представляют собой семью идеалов, то мы имеем ${\textstyle \bigcap V(a_{i})=V\left(\sum a_{i}\right)}$ и если набор индексов I конечен, то ${\textstyle \bigcup V(a_{i})=V\left(\prod a_{i}\right).}$

Эквивалентно, мы можем взять открытые множества в качестве отправной точки и определить

D(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\not \subseteq p\}.

Распространенным сокращением является обозначение $D(Sf)$ к $D(f)$ , где $Sf$ идеал , порожденный $f$ . Для любого идеала $a$ , наборы $D(a)$ и $V(a)$ дополняют друг друга, и, следовательно, то же доказательство, что и раньше, показывает, что множества $D(a)$ сформировать топологию на $\operatorname {Proj} S$ . Преимущество этого подхода в том, что множества $D(f)$ , где $f$ распространяется по всем однородным элементам кольца $S$ , составляют основу этой топологии, которая является незаменимым инструментом для анализа $\operatorname {Proj} S$ , как необходим и аналогичный факт для спектра кольца.

Проект как схема

Также строим пучок на $\operatorname {Proj} S$ , называемый «структурным пучком», как в аффинном случае, что превращает его в схему . Как и в случае с конструкцией Spec, существует множество путей: наиболее прямой из них, который также очень напоминает построение регулярных функций на проективном многообразии в классической алгебраической геометрии, заключается в следующем. Для любого открытого набора $U$ из $\operatorname {Proj} S$ (который по определению представляет собой набор однородных простых идеалов $S$ не содержащий $S_{+}$ ) мы определяем кольцо $O_{X}(U)$ быть набором всех функций

f\colon U\to \bigcup _{p\in U}S_{(p)}

(где $S_{(p)}$ обозначает подкольцо кольца частных $S_{p}$ состоящие из долей однородных элементов одной степени) такие, что для каждого простого идеала $p$ из $U$ :

$f(p)$ является элементом $S_{(p)}$ ;
Существует открытое подмножество $V\subseteq U$ $V\subseteq U$ содержащий $p$ ${\ displaystyle p}$ и однородные элементы $s,t$ $с,т$ из $S$ одинаковой степени такой, что для каждого простого идеала $q$ $q$ из $V$ $V$ :
- $t$ не в $q$ ;
- $f(q)=s/t$

Из определения непосредственно следует, что $O_{X}(U)$ сформировать связку колец $O_{X}$ на $\operatorname {Proj} S$ , и можно показать, что пара ( $\operatorname {Proj} S$ , $O_{X}$ ) на самом деле является схемой (это достигается путем демонстрации того, что каждое из открытых подмножеств $D(f)$ на самом деле является аффинной схемой).

Пучок, связанный с градуированным модулем

Основное свойство $S$ для приведенной конструкции была возможность формировать локализации $S_{(p)}$ для каждого простого идеала $p$ из $S$ . Этим свойством обладает и любой градуированный модуль $M$ над $S$ , и поэтому с соответствующими небольшими изменениями предыдущий раздел строится для любого такого $M$ пучок, обозначаемый ${\tilde {M}}$ , из $O_{X}$ -модули включены $\operatorname {Proj} S$ . Этот пучок квазикогерентен по построению. Если $S$ порождается конечным числом элементов степени $1$ (например, кольцо полиномов или его однородное частное), все квазикогерентные пучки на $\operatorname {Proj} S$ возникают из градуированных модулей этой конструкцией. ^{[ 1 ]} Соответствующий градуированный модуль не является уникальным.

Извилистый пучок Серра

Особый случай пучка, связанного с градуированным модулем, — это когда мы берем $M$ быть $S$ себя с другой градуировкой: а именно, положим степень $d$ элементы $M$ быть степенью $(d+1)$ элементы $S$ , так $M_{d}=S_{d+1}$ и обозначим $M=S(1)$ . Затем мы получаем ${\tilde {M}}$ как квазикогерентный пучок на $\operatorname {Proj} S$ , обозначенный $O_{X}(1)$ или просто ${\mathcal {O}}(1)$ называемый скручивающим пучком Серра , . Это можно проверить ${\mathcal {O}}(1)$ на самом деле является обратимым пучком .

Одна из причин полезности ${\mathcal {O}}(1)$ заключается в том, что он восстанавливает алгебраическую информацию $S$ которое было потеряно, когда при строительстве $O_{X}$ , мы перешли к дробям нулевой степени. В случае Spec A для кольца A глобальные сечения структурного пучка образуют само A , тогда как глобальные сечения ${\mathcal {O}}_{X}$ здесь образуют только элементы нулевой степени $S$ . Если мы определим

{\mathcal {O}}(n)=\bigotimes _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}(1)

затем каждый ${\mathcal {O}}(n)$ содержит степень- $n$ информация о $S$ , обозначенный $S_{n}$ , и вместе они содержат всю потерянную информацию об оценках. Аналогично для любого пучка градуированных ${\mathcal {O}}_{X}$ -модули $N$ мы определяем

N(n)=N\otimes {\mathcal {O}}(n)

и ожидать, что этот «скрученный» пучок будет содержать оценочную информацию о $N$ . В частности, если $N$ пучок, связанный с градуированным $S$ -модуль $M$ мы также ожидаем, что он будет содержать потерянную информацию об оценках $M$ . Это предполагает, хотя и ошибочно, что $S$ на самом деле можно восстановить по этим пучкам; как $\bigoplus _{n\geq 0}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(n))$ однако это верно в том случае, если $S$ - кольцо полиномов, см. ниже. Этой ситуации следует противопоставить тот факт, что функтор spec сопряжен с функтором глобальных сечений в категории локально окольцованных пространств .

Проективное n -пространство

Если $A$ является кольцом, мы определяем проективное n -пространство над $A$ быть схемой

\mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} A[x_{0},\ldots ,x_{n}].

Градуировка на кольце полиномов $S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ определяется, позволяя каждому $x_{i}$ иметь степень одного и каждого элемента $A$ , градус ноль. Сравнивая это с определением ${\mathcal {O}}(1)$ , выше мы видим, что разделы ${\mathcal {O}}(1)$ на самом деле являются линейными однородными полиномами, порожденными $x_{i}$ сами себя. Это предполагает другую интерпретацию ${\mathcal {O}}(1)$ , а именно как пучок «координат» для $\operatorname {Proj} S$ , поскольку $x_{i}$ буквально являются координатами для проективного $n$ -космос.

Примеры проектов

Proj над аффинной линией

Если мы позволим базовому кольцу быть $A=\mathbb {C} [\lambda ]$ , затем $X=\operatorname {Proj} \left({\frac {A[X,Y,Z]_{\bullet }}{(ZY^{2}-X(X-Z)(X-\lambda Z))_{\bullet }}}\right)$ имеет канонический проективный морфизм к аффинной прямой $\mathbb {A} _{\lambda }^{1}$ слои которого представляют собой эллиптические кривые, за исключением точек $\lambda =0,1$ где кривые вырождаются в узловые кривые. Итак, существует расслоение ${\begin{matrix}E_{\lambda }&\longrightarrow &X\\&&\downarrow \\&&\mathbb {A} _{\lambda }^{1}-\{0,1\}\end{matrix}}$ что также является гладким морфизмом схем (что можно проверить с помощью критерия Якобиана ).

Проективные гиперповерхности и многообразия

Проективная гиперповерхность $\operatorname {Proj} \left(\mathbb {C} [X_{0},\ldots ,X_{4}]/(X_{0}^{5}+\cdots +X_{4}^{5})\right)$ является примером трехмерного многообразия Ферма квинтики , которое также является многообразием Калаби – Яу . Помимо проективных гиперповерхностей, любое проективное многообразие, вырезанное системой однородных многочленов $f_{1}=0,\ldots ,f_{k}=0$ в $(n+1)$ -переменные можно преобразовать в проективную схему с помощью конструкции proj для градуированной алгебры ${\frac {k[X_{0},\ldots ,X_{n}]_{\bullet }}{(f_{1},\ldots ,f_{k})_{\bullet }}}$ дающее вложение проективных многообразий в проективные схемы.

Взвешенное проективное пространство

Взвешенные проективные пространства можно построить с использованием кольца полиномов, переменные которого имеют нестандартные степени. Например, взвешенное проективное пространство $\mathbb {P} (1,1,2)$ соответствует взятию $\operatorname {Proj}$ кольца $A[X_{0},X_{1},X_{2}]$ где $X_{0},X_{1}$ иметь вес $1$ пока $X_{2}$ имеет вес 2.

Биградированные кольца

Конструкция проекта распространяется на биградуированные и многоградусные кольца. Геометрически это соответствует взятию произведений проективных схем. Например, учитывая градуированные кольца $A_{\bullet }=\mathbb {C} [X_{0},X_{1}],{\text{ }}B_{\bullet }=\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1}]$ со степенью каждого образующего $1$ . Тогда тензорное произведение этих алгебр по $\mathbb {C}$ дает биградуированную алгебру ${\begin{aligned}A_{\bullet }\otimes _{\mathbb {C} }B_{\bullet }&=S_{\bullet ,\bullet }\\&=\mathbb {C} [X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1}]\end{aligned}}$ где $X_{i}$ иметь вес $(1,0)$ и $Y_{i}$ иметь вес $(0,1)$ . Тогда конструкция проекта дает ${\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })=\mathbb {P} ^{1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {C} )}\mathbb {P} ^{1}$ которое является продуктом проективных схем. Существует вложение таких схем в проективное пространство путем взятия тотальной градуированной алгебры $S_{\bullet ,\bullet }\to S_{\bullet }$ где степень $(a,b)$ элемент рассматривается как степень $(a+b)$ элемент. Это означает, $k$ -th сорт кусок $S_{\bullet }$ это модуль $S_{k}=\bigoplus _{a+b=k}S_{a,b}$ Кроме того, схема ${\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })$ теперь поставляется с биградуированными шкивами ${\mathcal {O}}(a,b)$ которые являются тензорным произведением пучков $\pi _{1}^{*}{\mathcal {O}}(a)\otimes \pi _{2}^{*}{\mathcal {O}}(b)$ где $\pi _{1}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(A_{\bullet })$ и $\pi _{2}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(B_{\bullet })$ являются каноническими проекциями, возникающими в результате инъекций этих алгебр из тензорной диаграммы произведения коммутативных алгебр.

Глобальный проект

Обобщение конструкции Proj заменяет кольцо S пучком алгебр и в результате дает схему, которую можно рассматривать как расслоение колец Proj. Эта конструкция часто используется, например, для построения проективных пространственных расслоений над базовой схемой .

Предположения

Формально, пусть X — любая схема , а S — пучок градуированных $O_{X}$ -алгебры (определение которых аналогично определению $O_{X}$ -модули на локально окольцованном пространстве ): т. е. пучок с разложением в прямую сумму

S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}

где каждый $S_{i}$ это $O_{X}$ -модуль такой, что для любого открытого подмножества в X S U ( U ) является $O_{X}(U)$ -алгебра и полученное разложение в прямую сумму

S(U)=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}(U)

является градуировкой этой алгебры как кольца. Здесь мы предполагаем, что $S_{0}=O_{X}$ . Сделаем дополнительное предположение, что S — квазикогерентный пучок ; это предположение о «непротиворечивости» сечений над разными открытыми множествами, необходимое для продолжения построения.

Строительство

В этой установке мы можем построить схему $\operatorname {\mathbf {Proj} } S$ «проекционное» отображение p на X такое, что для любого открытого аффинного U X и ,

(\operatorname {\mathbf {Proj} } S)|_{p^{-1}(U)}=\operatorname {Proj} (S(U)).

Это определение предполагает, что мы построим $\operatorname {\mathbf {Proj} } S$ предварительно определив схемы $Y_{U}$ для каждого открытого аффинного U , установив

Y_{U}=\operatorname {Proj} S(U),

и карты $p_{U}\colon Y_{U}\to U$ , а затем покажем, что эти данные можно склеить «поверх» каждого пересечения двух открытых аффинов U и V, чтобы сформировать схему Y , которую мы определяем как $\operatorname {\mathbf {Proj} } S$ . Нетрудно показать, что определение каждого $p_{U}$ быть отображением, соответствующим включению $O_{X}(U)$ в S ( U ) как элементы нулевой степени, дает необходимую согласованность $p_{U}$ , в то время как консистенция $Y_{U}$ сами по себе следуют из предположения квазикогерентности на S .

Скручивающий пучок

Если S обладает дополнительным свойством, которое $S_{1}$ является когерентным пучком и локально порождает S над $S_{0}$ (то есть, когда мы переходим к стеблю пучка S в точке x из X , которая является градуированной алгеброй, элементы нулевой степени которой образуют кольцо $O_{X,x}$ то элементы первой степени образуют конечно порожденный модуль над $O_{X,x}$ а также сгенерировать стебель как алгебру над ним), то мы можем сделать дальнейшую конструкцию. Над каждым открытым аффином U Proj S ( U ) несет обратимый пучок O(1) , и только что сделанное нами предположение гарантирует, что эти пучки могут быть склеены так же, как и $Y_{U}$ выше; полученный пучок на $\operatorname {\mathbf {Proj} } S$ также обозначается O (1) и служит примерно той же цели для $\operatorname {\mathbf {Proj} } S$ как это делает скручивающий пучок на Proj кольца.

Проект квазикогерентного пучка

Позволять ${\mathcal {E}}$ быть квазикогерентным пучком на схеме $X$ . Пучок симметрических алгебр $\mathbf {Sym} _{O_{X}}({\mathcal {E}})$ естественно, является квазикогерентным пучком градуированных $O_{X}$ -модули, порожденные элементами степени 1. Полученную схему обозначим через $\mathbb {P} ({\mathcal {E}})$ . Если ${\mathcal {E}}$ имеет конечный тип, то его канонический морфизм $p:\mathbb {P} ({\mathcal {E}})\to X$ является проективным морфизмом . ^{[ 2 ]}

Для любого $x\in X$ , слой указанного морфизма над $x$ это проективное пространство $\mathbb {P} ({\mathcal {E}}(x))$ связанный с двойственным векторным пространством ${\mathcal {E}}(x):={\mathcal {E}}\otimes _{O_{X}}k(x)$ над $k(x)$ .

Если ${\mathcal {S}}$ представляет собой квазикогерентный пучок градуированных $O_{X}$ -модули, генерируемые ${\mathcal {S}}_{1}$ и такое, что ${\mathcal {S}}_{1}$ имеет конечный тип, то $\mathbf {Proj} {\mathcal {S}}$ представляет собой закрытую подсхему $\mathbb {P} ({\mathcal {S}}_{1})$ и тогда проективно $X$ . Фактически, каждая замкнутая подсхема проективной $\mathbb {P} ({\mathcal {E}})$ имеет такую форму. ^{[ 3 ]}

Проективные пространственные пучки

В качестве частного случая, когда ${\mathcal {E}}$ локально свободен от ранга $n+1$ , мы получаем проективное расслоение $\mathbb {P} ({\mathcal {E}})$ над $X$ относительного размера $n$ . Действительно, если мы возьмем открытое покрытие X аффинами открытыми $U=\operatorname {Spec} (A)$ так что при ограничении каждого из них ${\mathcal {E}}$ свободен над A , то

\mathbb {P} ({\mathcal {E}})|_{p^{-1}(U)}\simeq \operatorname {Proj} A[x_{0},\dots ,x_{n}]=\mathbb {P} _{A}^{n}=\mathbb {P} _{U}^{n},

и, следовательно, $\mathbb {P} ({\mathcal {E}})$ является проективным пространственным расслоением. Многие семейства многообразий могут быть построены как подсхемы этих проективных расслоений, например семейство эллиптических кривых Вейерштрасса. Более подробную информацию смотрите в основной статье.

Пример глобального проекта

Global proj можно использовать для построения карандашей Лефшеца . Например, пусть $X=\mathbb {P} _{s,t}^{1}$ и возьмем однородные многочлены $f,g\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]$ степени к. Можно рассматривать идеальный пучок ${\mathcal {I}}=(sf+tg)$ из ${\mathcal {O}}_{X}[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ и построим глобальный проект этого факторпучка алгебр ${\mathcal {O}}_{X}[x_{0},\ldots ,x_{n}]/{\mathcal {I}}$ . Это можно явно описать как проективный морфизм $\operatorname {Proj} (\mathbb {C} [s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]/(sf+tg))\to \mathbb {P} _{s,t}^{1}$ .