Спектр кольца

О понятии кольцевого спектра в гомотопической теории см. Кольцевой спектр .

В коммутативной алгебре простой спектр (или просто спектр ) коммутативного кольца R представляет собой множество всех простых идеалов кольца R и обычно обозначается через $\operatorname {Spec} {R}$; в алгебраической геометрии это одновременно топологическое пространство , снабженное пучком колец ${\mathcal {O}}$.

Топология Зариского

Для любого идеала I из R определим $V_{I}$быть множеством простых идеалов, содержащих I . Мы можем топологию разместить $\operatorname {Spec} (R)$ определяя коллекцию закрытых множеств, которые будут

$\{V_{I}\colon I{\text{ is an ideal of }}R\}.$

Эта топология называется топологией Зарисского .

Базис . топологии Зарисского можно построить следующим образом Для f ∈ R определим D _f как множество простых идеалов R , не содержащих f . Тогда каждое D _f является открытым подмножеством $\operatorname {Spec} (R)$, и $\{D_{f}:f\in R\}$ является основой топологии Зарисского.

$\operatorname {Spec} (R)$— компактное пространство , но почти никогда не Хаусдорф : на самом деле максимальные идеалы в R — это именно замкнутые точки в этой топологии. По тем же соображениям, $\operatorname {Spec} (R)$ вообще говоря, не является T ₁ пространством . Однако, $\operatorname {Spec} (R)$всегда является пространством Колмогорова (удовлетворяет аксиоме T ₀ ); это также спектральное пространство .

Пучки и схемы

Учитывая пространство $X=\operatorname {Spec} (R)$ с топологией Зарисского структурный пучок ${\mathcal {O}}_{X}$ определяется на выделенных открытых подмножествах $D_{f}$ установив $\Gamma (D_{f},{\mathcal {O}}_{X})=R_{f},$локализация ​ R f степеням . по Можно показать, что это определяет B-пучок и, следовательно, определяет пучок . Более подробно, выделенные открытые подмножества являются основой топологии Зарисского, поэтому для произвольного открытого множества U , записанного как объединение ${\textstyle U=\bigcup _{i\in I}D_{f_{i}}}$, мы устанавливаем ${\textstyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})=\varprojlim _{i\in I}R_{f_{i}},}$ где $\varprojlim$ обозначает обратный предел относительно естественных гомоморфизмов колец $R_{f}\to R_{fg}.$ Можно проверить, что этот предпучок является пучком, поэтому $\operatorname {Spec} (R)$представляет собой кольцевое пространство . Любое кольцевое пространство, изоморфное одной из этих форм, называется аффинной схемой . Общие схемы получаются склейкой аффинных схем.

Аналогично для модуля M над кольцом R мы можем определить пучок ${\tilde {M}}$ на $\operatorname {Spec} (R)$. О выделенном открытом подмножестве $\Gamma (D_{f},{\tilde {M}})=M_{f},$используя локализацию модуля . Как и выше, эта конструкция распространяется на предпучок на всех открытых подмножествах $\operatorname {Spec} (R)$и удовлетворяет аксиоме склейки . Пучок такого вида называется квазикогерентным .

Если P — точка в $\operatorname {Spec} (R)$ простой идеал, то слой структурного пучка в P равен локализации R , т. е . в идеале P , и это локальное кольцо . Следовательно, $\operatorname {Spec} (R)$ является локально окольцованным пространством .

Если R — область целостности с полем частных K , то мы можем описать кольцо $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$более конкретно следующим образом. Мы говорим, что элемент f в K является регулярным в точке P в X , если его можно представить в виде дроби f = a / b где b не входит в P. , Обратите внимание, что это согласуется с понятием регулярной функции в алгебраической геометрии. Используя это определение, мы можем описать $\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ как и множество элементов K , которые регулярны в каждой точке P в U .

Полезно использовать язык теории категорий и заметить, что $\operatorname {Spec}$является функтором . Любой кольцевой гомоморфизм $f:R\to S$ вызывает непрерывное отображение $\operatorname {Spec} (f):\operatorname {Spec} (S)\to \operatorname {Spec} (R)$ (поскольку прообраз любого простого идеала в $S$ является главным идеалом в $R$). Таким образом, $\operatorname {Spec}$можно рассматривать как контравариантный функтор из категории коммутативных колец в категорию топологических пространств . Более того, для каждого простого числа ${\mathfrak {p}}$ гомоморфизм $f$ сводится к гомоморфизмам

${\mathcal {O}}_{f^{-1}({\mathfrak {p}})}\to {\mathcal {O}}_{\mathfrak {p}}$

местных колец. Таким образом $\operatorname {Spec}$даже определяет контравариантный функтор из категории коммутативных колец в категорию локально окольцованных пространств . Фактически это универсальный такой функтор, и, следовательно, его можно использовать для определения функтора $\operatorname {Spec}$ с точностью до естественного изоморфизма .

Функтор $\operatorname {Spec}$дает контравариантную эквивалентность между категорией коммутативных колец и категорией аффинных схем ; каждую из этих категорий часто считают категорией, противоположной другой.

Мотивация из алгебраической геометрии

Следуя примеру, в алгебраической геометрии изучаются алгебраические множества , т.е. подмножества K ^н (где K — алгебраически замкнутое поле ), которые определяются как общие нули набора многочленов от n переменных. Если A такое алгебраическое множество, рассматривается коммутативное кольцо R всех полиномиальных функций A → K . Максимальные идеалы R R соответствуют точкам A (поскольку K алгебраически замкнуто), а простые идеалы или многообразием , если его нельзя записать в соответствуют подмногообразиям A ( алгебраическое множество называется неприводимым виде объединения два собственных алгебраических подмножества).

Таким образом, спектр R состоит из точек A вместе с элементами всех подмногообразий A . Точки A замкнуты в спектре, а элементы, соответствующие подмногообразиям, имеют замыкание, состоящее из всех их точек и подмногообразий. Если рассматривать только точки A , т. е. максимальные идеалы в R , то определенная выше топология Зарисского совпадает с топологией Зариского, определенной на алгебраических множествах (которая имеет именно алгебраические подмножества как замкнутые множества). В частности, максимальные идеалы в R , т.е. $\operatorname {MaxSpec} (R)$, вместе с топологией Зарисского гомеоморфен A также с топологией Зарисского.

Таким образом, можно рассматривать топологическое пространство $\operatorname {Spec} (R)$как «обогащение» топологического пространства A (топологией Зарисского): для каждого подмногообразия A введена одна дополнительная незамкнутая точка, и эта точка «следит» за соответствующим подмногообразием. Эту точку можно рассматривать как общую точку подмногообразия. Кроме того, пучок на $\operatorname {Spec} (R)$и пучок полиномиальных функций на A существенно тождественны. Изучая спектры колец полиномов вместо алгебраических множеств с топологией Зарисского, можно обобщить понятия алгебраической геометрии на неалгебраически замкнутые поля и за их пределами, в конечном итоге придя к языку схем .

Примеры

• Спектр целых чисел: аффинная схема $\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )$ является последним объектом в категории аффинных схем, поскольку $\mathbb {Z}$ является исходным объектом в категории коммутативных колец.
• Теоретико-схемный аналог $\mathbb {C} ^{n}$: Аффинная схема $\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}])$. С точки зрения функтора точек точка $(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {C} ^{n}$ можно отождествить с оценочным морфизмом $\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]{\xrightarrow {ev_{(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}}}\mathbb {C}$. Это фундаментальное наблюдение позволяет нам придать смысл другим аффинным схемам.
• Крест: $\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy))$ топологически выглядит как поперечное пересечение двух комплексных плоскостей в точке, хотя обычно это изображается как $+$, поскольку единственные корректно определенные морфизмы на $\mathbb {C}$ являются оценочными морфизмами, связанными с точками $\{(\alpha _{1},0),(0,\alpha _{2}):\alpha _{1},\alpha _{2}\in \mathbb {C} \}$.
• Простой спектр булевого кольца (например, кольца степенных множеств ) представляет собой компактное вполне несвязное хаусдорфово пространство (т. е. пространство Стоуна ).
• ( М. Хохстер ) Топологическое пространство гомеоморфно простому спектру коммутативного кольца (т. е. спектральному пространству ) тогда и только тогда, когда оно компактно, квазиотделимо и трезво .

Неаффинные примеры

Вот несколько примеров схем, которые не являются аффинными схемами. Они построены путем склеивания аффинных схем.

• Проективный ​ $n$-космос $\mathbb {P} _{k}^{n}=\operatorname {Proj} k[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ над полем $k$. Это можно легко обобщить на любое базовое кольцо, см. Конструкцию Проя (фактически, мы можем определить проективное пространство для любой базовой схемы). Проективный $n$-пространство для $n\geq 1$ не аффинен как глобальный раздел $\mathbb {P} _{k}^{n}$ является $k$.
• Аффинная плоскость без начала координат. Внутри $\mathbb {A} _{k}^{2}=\operatorname {Spec} k[x,y]$ выделяют открытые аффинные подсхемы $D_{x},D_{y}$. Их союз $D_{x}\cup D_{y}=U$— аффинная плоскость с удаленным началом координат. Глобальные разделы $U$ представляют собой пары полиномов от $D_{x},D_{y}$ которые ограничиваются одним и тем же полиномом на $D_{xy}$, что можно показать как $k[x,y]$, глобальный раздел $\mathbb {A} _{k}^{2}$. $U$ не является аффинным, поскольку $V_{(x)}\cap V_{(y)}=\varnothing$ в $U$.

Незарисские топологии

Некоторые авторы (особенно М. Хохстер) рассматривают топологии простых спектров, отличные от топологии Зарисского.

Во-первых, существует понятие конструктивной топологии : для данного кольца A подмножества $\operatorname {Spec} (A)$ формы $\varphi ^{*}(\operatorname {Spec} B),\varphi :A\to B$удовлетворяют аксиомам замкнутых множеств в топологическом пространстве. Эта топология на $\operatorname {Spec} (A)$ называется конструктивной топологией.

В Хохстере (1969) Хохстер рассматривает то, что он называет топологией патча на простом спектре. По определению топология патча — это наименьшая топология, в которой наборы форм $V(I)$ и $\operatorname {Spec} (A)-V(f)$ закрыто.

или

Существует относительная версия функтора $\operatorname {Spec}$ называется глобальным $\operatorname {Spec}$или относительно $\operatorname {Spec}$. Если $S$ это схема, то относительная $\operatorname {Spec}$ обозначается ${\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}$ или $\mathbf {Spec} _{S}$. Если $S$ понятно из контекста, то относительную Spec можно обозначить через ${\underline {\operatorname {Spec} }}$ или $\mathbf {Spec}$. Для схемы $S$ и квазикогерентный пучок ${\mathcal {O}}_{S}$-алгебры ${\mathcal {A}}$, есть схема ${\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})$ и морфизм $f:{\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})\to S$ такой, что для каждого открытого аффинного $U\subseteq S$, существует изоморфизм $f^{-1}(U)\cong \operatorname {Spec} ({\mathcal {A}}(U))$, и такой, что для открытых аффинов $V\subseteq U$, включение $f^{-1}(V)\to f^{-1}(U)$ индуцируется отображением ограничения ${\mathcal {A}}(U)\to {\mathcal {A}}(V)$. То есть, поскольку гомоморфизмы колец индуцируют противоположные отображения спектров, карты ограничения пучка алгебр индуцируют карты включения спектров, составляющих Spec пучка .

Глобальная спецификация имеет универсальное свойство, аналогичное универсальному свойству обычной спецификации. Точнее, так же, как Spec и функтор глобального сечения являются контравариантными правыми сопряженными между категорией коммутативных колец и схем, глобальный Spec и функтор прямого образа для структурной карты являются контравариантными правыми сопряженными между категорией коммутативных колец и схем. ${\mathcal {O}}_{S}$-алгебры и схемы закончились $S$. В формулах

$\operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{S}{\text{-alg}}}({\mathcal {A}},\pi _{*}{\mathcal {O}}_{X})\cong \operatorname {Hom} _{{\text{Sch}}/S}(X,\mathbf {Spec} ({\mathcal {A}})),$

где $\pi \colon X\to S$ является морфизмом схем.

Пример относительной спецификации

Относительная спецификация — правильный инструмент для параметризации семейства линий через начало координат. $\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{2}$ над $X=\mathbb {P} _{a,b}^{1}.$ Рассмотрим пучок алгебр ${\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x,y],$ и разреши ${\mathcal {I}}=(ay-bx)$ быть связкой идеалов ${\mathcal {A}}.$ Тогда относительная спецификация ${\underline {\operatorname {Spec} }}_{X}({\mathcal {A}}/{\mathcal {I}})\to \mathbb {P} _{a,b}^{1}$параметризует желаемое семейство. Фактически, волокно поверх $[\alpha :\beta ]$ это линия, проходящая через начало координат $\mathbb {A} ^{2}$ содержащий точку $(\alpha ,\beta ).$ Предполагая $\alpha \neq 0,$ волокно можно вычислить, посмотрев на состав диаграмм откатов

${\begin{matrix}\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{\left(y-{\frac {\beta }{\alpha }}x\right)}}\right)&\to &\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} \left[{\frac {b}{a}}\right][x,y]}{\left(y-{\frac {b}{a}}x\right)}}\right)&\to &{\underline {\operatorname {Spec} }}_{X}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{X}[x,y]}{\left(ay-bx\right)}}\right)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {C} )&\to &\operatorname {Spec} \left(\mathbb {C} \left[{\frac {b}{a}}\right]\right)=U_{a}&\to &\mathbb {P} _{a,b}^{1}\end{matrix}}$

где состав нижних стрелок

$\operatorname {Spec} (\mathbb {C} ){\xrightarrow {[\alpha :\beta ]}}\mathbb {P} _{a,b}^{1}$

дает строку, содержащую точку $(\alpha ,\beta )$и происхождение. Этот пример можно обобщить для параметризации семейства линий через начало координат. $\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n+1}$ над $X=\mathbb {P} _{a_{0},...,a_{n}}^{n}$ позволяя ${\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x_{0},...,x_{n}]$ и ${\mathcal {I}}=\left(2\times 2{\text{ minors of }}{\begin{pmatrix}a_{0}&\cdots &a_{n}\\x_{0}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}\right).$

представлений

С точки зрения теории представлений , простой идеал I соответствует модулю R / I , а спектр кольца соответствует неприводимым циклическим представлениям R , тогда как более общие подмногообразия соответствуют возможно приводимым представлениям, которые не обязательно должны быть циклическими. Напомним, что абстрактно теория представлений группы — это изучение модулей над ее групповой алгеброй .

Связь с теорией представлений становится более ясной, если рассмотреть кольцо многочленов $R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ или, без основания, $R=K[V].$ Как ясно видно из последней формулировки, кольцо многочленов — это групповая алгебра над векторным пространством , и запись в терминах $x_{i}$соответствует выбору базиса векторного пространства. Тогда идеал I или, что то же самое, модуль $R/I,$ является циклическим представлением R (циклическое значение, порожденное одним элементом как R -модулем; это обобщает одномерные представления).

В случае, если поле алгебраически замкнуто (скажем, комплексные числа), каждый максимальный идеал соответствует точке в n -пространстве с помощью Nullstellensatz (максимального идеала, порожденного $(x_{1}-a_{1}),(x_{2}-a_{2}),\ldots ,(x_{n}-a_{n})$ соответствует точке $(a_{1},\ldots ,a_{n})$). Эти представления $K[V]$ затем параметризуются дуальным пространством $V^{*},$ ковектор задается отправкой каждого $x_{i}$ соответствующему $a_{i}$. Таким образом, представление $K^{n}$ ( K -линейные отображения $K^{n}\to K$) задается набором из n чисел или, что то же самое, ковектором $K^{n}\to K.$

Таким образом, точки в n -пространстве, рассматриваемые как максимальная характеристика $R=K[x_{1},\dots ,x_{n}],$соответствуют в точности одномерным представлениям R , тогда как конечные множества точек соответствуют конечномерным представлениям (которые приводимы и геометрически соответствуют объединению, а алгебраически не являются простым идеалом). Тогда немаксимальные идеалы соответствуют бесконечномерным представлениям.

функционального

Основная статья: Спектр (функциональный анализ)

Дополнительная информация: Алгебраическое представление § Веса.

Термин «спектр» происходит от использования в теории операторов . Учитывая линейный оператор T в конечномерном векторном пространстве V , можно рассматривать векторное пространство с оператором как модуль над кольцом полиномов от одной переменной R = K [ T ], как в структурной теореме для конечно порожденных модулей над область главного идеала . Тогда спектр K [ T ] (как кольца) равен спектру T (как оператора).

Кроме того, геометрическая структура спектра кольца (т. е. алгебраическая структура модуля) отражает поведение спектра оператора, такое как алгебраическая кратность и геометрическая кратность. Например, для единичной матрицы 2×2 имеется соответствующий модуль:

$K[T]/(T-1)\oplus K[T]/(T-1)$

нулевая матрица 2×2 имеет модуль

$K[T]/(T-0)\oplus K[T]/(T-0),$

показывая геометрическую кратность 2 для нулевого собственного значения , а нетривиальная нильпотентная матрица 2 × 2 имеет модуль

$K[T]/T^{2},$

показывающий алгебраическую кратность 2, но геометрическую кратность 1.

Более детально:

• собственные значения (с геометрической кратностью) оператора соответствуют (приведенным) точкам многообразия с кратностью;
• первичное разложение модуля соответствует нередуцированным точкам многообразия;
• приведенному многообразию соответствует диагонализуемый (полупростой) оператор;
• циклический модуль (один генератор) соответствует оператору, имеющему циклический вектор (вектор, орбита которого под T охватывает пространство);
• последний инвариантный множитель модуля равен минимальному многочлену оператора, а произведение инвариантных множителей равно характеристическому многочлену .

Обобщения

Спектр можно обобщить с колец на C*-алгебры в теории операторов , что дает понятие спектра C*-алгебры . Примечательно, что для хаусдорфова пространства алгебра скаляров (ограниченных непрерывных функций в пространстве, аналогичных регулярным функциям) является коммутативной C*-алгеброй, причем пространство восстанавливается как топологическое пространство из $\operatorname {MaxSpec}$алгебры скаляров, причем функториально; это содержание теоремы Банаха–Стоуна . Действительно, любая коммутативная С*-алгебра может быть реализована таким образом как алгебра скаляров хаусдорфова пространства, давая то же соответствие, что и между кольцом и его спектром. Обобщение на некоммутативные C*-алгебры дает некоммутативную топологию .

См. также

• Схема (математика)
• Проективная схема
• Спектр матрицы
• Теорема Серра об аффинности
• Расширенный спектр
• Спектр Циглера
• Примитивный спектр

Ссылки

• Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969). Введение в коммутативную алгебру . Вествью Пресс. ISBN  978-0-201-40751-8 .
• Архангельский, А.В. ; Понтрягин Л.С. , ред. (1990). Общая топология I. Энциклопедия математических наук. Том. 17. дои : 10.1007/978-3-642-61265-7 . ISBN  978-3-642-64767-3 .
• Брандал, Вилли (1979). Коммутативные кольца, конечно порожденные модули которых распадаются . Конспект лекций по математике. Том. 723. дои : 10.1007/BFb0069021 . ISBN  978-3-540-09507-1 .
• Кокс, Дэвид ; О'Ши, Донал; Литтл, Джон (1997), Идеалы, разновидности и алгоритмы , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-94680-1
• Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (2000), Геометрия схем , Тексты для выпускников по математике, том. 197, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-0-387-98637-1 , МР   1730819
• Фонтана, Марко; Лопер, К. Алан (2008). «Патч-топология и топология ультрафильтра на простом спектре коммутативного кольца» . Связь в алгебре . 36 (8): 2917–2922. arXiv : 0707.1525 . дои : 10.1080/00927870802110326 . S2CID   17045655 .
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90244-9 , МР   0463157
• Хохстер, М. (1969). «Первичная идеальная структура в коммутативных кольцах» . Труды Американского математического общества . 142 : 43–60. doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0251026-X . JSTOR   1995344 .
• Кок, Иоахим (2007). «Замечания о спектрах, носителях и двойственности Хохстера» (PDF) . S2CID   54501563 .
• Шарп, Родни Ю. (2001). Шаги в коммутативной алгебре (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-511-62368-4 .
• Таризаде, Абольфазл (2019). «Плоская топология и ее двойственные аспекты». Связь в алгебре . 47 : 195–205. arXiv : 1503.04299 . дои : 10.1080/00927872.2018.1469637 . S2CID   119574163 .
• Вакил, Рави (н. д.). «Основы алгебраической геометрии» . math.stanford.edu .

Внешние ссылки

• Кевин Р. Кумбс: Спектр кольца
• Авторы проекта Stacks. «27.3 Относительный спектр посредством склейки» .