Размерность (векторное пространство)

Схема размеров 1, 2, 3 и 4.

В математике размерность — векторного пространства V это мощность . число векторов) базиса V над (т. е его базовым полем . Иногда ее называют размерностью Гамеля (в честь Георга Гамеля ) или алгебраической размерностью, чтобы отличить ее от других типов размерности .

Для каждого векторного пространства существует базис, и все базы векторного пространства имеют одинаковую мощность; в результате размерность векторного пространства определена однозначно. Мы говорим $V$ является конечномерный, если размерность $V$ конечно и , бесконечномерен, если его размерность бесконечна .

Размерность векторного пространства $V$ над полем $F$ можно записать как $\dim _{F}(V)$ или как $[V:F],$ читать «размерность $V$ над $F$". Когда $F$ можно вывести из контекста, $\dim(V)$ обычно пишется.

Примеры

Векторное пространство $\mathbb {R} ^{3}$ имеет

$$\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}$$

в качестве стандартной основы и, следовательно, $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3.$ В более общем смысле, $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{n})=n,$ и даже в более общем плане, $\dim _{F}(F^{n})=n$ для любой сферы $F.$

Комплексные числа $\mathbb {C}$ являются одновременно реальным и комплексным векторным пространством; у нас есть $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {C} )=2$ и $\dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )=1.$ Таким образом, размерность зависит от базового поля.

Единственное векторное пространство с размерностью $0$ является $\{0\},$ векторное пространство, состоящее только из своего нулевого элемента.

Свойства

Если $W$ является линейным подпространством $V$ затем $\dim(W)\leq \dim(V).$

Чтобы показать, что два конечномерных векторных пространства равны, можно использовать следующий критерий: если $V$ является конечномерным векторным пространством и $W$ является линейным подпространством $V$ с $\dim(W)=\dim(V),$ затем $W=V.$

Пространство $\mathbb {R} ^{n}$ имеет стандартную основу $\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\},$ где $e_{i}$ это $i$-й столбец соответствующей единичной матрицы . Поэтому, $\mathbb {R} ^{n}$ имеет размерность $n.$

Любые два конечномерных векторных пространства над $F$ одинаковой размерности изоморфны . Любое биективное отображение между их базами можно однозначно расширить до биективного линейного отображения между векторными пространствами. Если $B$ некоторое множество, векторное пространство с размерностью $|B|$ над $F$ можно построить следующим образом: возьмем множество $F(B)$ всех функций $f:B\to F$ такой, что $f(b)=0$ для всех, кроме конечного числа $b$ в $B.$ Эти функции можно добавлять и умножать с элементами $F$ чтобы получить желаемое $F$-векторное пространство.

Важный результат о размерностях даёт теорема о ранге-нулевой для линейных отображений .

Если $F/K$ является расширением поля , тогда $F$ в частности, является векторным пространством над $K.$ Кроме того, каждый $F$-векторное пространство $V$ также является $K$-векторное пространство. Размеры связаны формулой

$$\dim _{K}(V)=\dim _{K}(F)\dim _{F}(V).$$

В частности, каждое комплексное векторное пространство размерности $n$ это реальное векторное пространство размерности $2n.$

Некоторые формулы связывают размерность векторного пространства с мощностью базового поля и мощностью самого пространства.Если $V$ это векторное пространство над полем $F$ и если размерность $V$ обозначается $\dim V,$ затем:

Если тусклый $V$ конечно тогда $|V|=|F|^{\dim V}.$

Если тусклый $V$ тогда бесконечно $|V|=\max(|F|,\dim V).$

Обобщения

Векторное пространство можно рассматривать как частный случай матроида , и в последнем имеется четко определенное понятие размерности. Длина модуля и ранг абелевой группы обладают несколькими свойствами, аналогичными размерности векторных пространств.

Размерность Крулля коммутативного кольца , названная в честь Вольфганга Крулля (1899–1971), определяется как максимальное число строгих включений в возрастающую цепочку простых идеалов в кольце.

След

См. Также: След (линейная алгебра)

В качестве альтернативы размерность векторного пространства можно охарактеризовать как след тождественного оператора . Например, $\operatorname {tr} \ \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{2}}=\operatorname {tr} \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=1+1=2.$ Это определение кажется круговым, но оно допускает полезные обобщения.

Во-первых, он позволяет определить понятие размерности, когда у него есть след, но нет естественного чувства основы. Например, можно иметь алгебру $A$ с картами $\eta :K\to A$ (включение скаляров, называемых единицей ) и отображение $\epsilon :A\to K$ (соответствует следу, называемому счетчиком ). Состав $\epsilon \circ \eta :K\to K$ является скаляром (будучи линейным оператором в одномерном пространстве), соответствует «следу идентичности» и дает понятие размерности абстрактной алгебры. На практике в биалгебрах это отображение должно быть тождественным, которое можно получить нормализацией счетчика путем деления на размерность ( $\epsilon :=\textstyle {\frac {1}{n}}\operatorname {tr}$), поэтому в этих случаях нормировочная константа соответствует размерности.

В качестве альтернативы можно найти след операторов в бесконечномерном пространстве; в этом случае определяется (конечный) след, даже если (конечного) измерения не существует, и это дает понятие «размерности оператора». Они подпадают под категорию « операторов следового класса » в гильбертовом пространстве или, в более общем смысле, ядерных операторов в банаховом пространстве .

Более тонкое обобщение состоит в том, чтобы рассматривать след семейства операторов как своего рода «искривленное» измерение. Это особенно важно в теории представлений , где характер представления является следом представления, следовательно, скалярной функцией на группе. $\chi :G\to K,$ чье значение для личности $1\in G$ - размерность представления, поскольку представление отправляет идентификатор в группе в идентификационную матрицу: $\chi (1_{G})=\operatorname {tr} \ I_{V}=\dim V.$ Другие ценности $\chi (g)$ персонажа можно рассматривать как «искаженные» измерения и находить аналоги или обобщения утверждений о измерениях на утверждения о персонажах или представлениях. Сложный пример этого можно найти в теории чудовищного самогона : $j$-инвариант — это градуированная размерность бесконечномерного градуированного представления группы монстров , а замена измерения символом дает ряд Маккея-Томпсона для каждого элемента группы монстров.

См. также

• Фрактальное измерение - соотношение, обеспечивающее статистический индекс изменения сложности в зависимости от масштаба.
• Размерность Крулля - в математике размерность кольца.
• Ранг матроида – максимальный размер независимого набора матроидов.
• Ранг (линейная алгебра) - Размерность столбца матрицы.
• Топологическое измерение — топологически инвариантное определение измерения пространства. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления , также называемые размерностью покрытия Лебега.

Источники

• Экслер, Шелдон (2015). Линейная алгебра сделана правильно . Тексты для студентов по математике (3-е изд.). Спрингер . ISBN  978-3-319-11079-0 .

Внешние ссылки

• Лекция Гилберта Стрэнга по линейной алгебре Массачусетского технологического института о независимости, базисе и размерности в MIT OpenCourseWare