Чудовищный самогон

В математике чудовищный самогон , или теория самогона , — это неожиданная связь между группой монстров М и модулярными функциями , в частности, j- функцией . Первоначальное численное наблюдение было сделано Джоном Маккеем в 1978 году, а эта фраза была придумана Джоном Конвеем и Саймоном П. Нортоном в 1979 году.

Теперь известно, что в основе чудовищного самогона лежит алгебра вершинных операторов, называемая модулем самогонного аппарата (или вершинной алгеброй монстра), построенная Игорем Френкелем , Джеймсом Леповски и Арне Мерманом в 1988 году, в которой группа монстров является группой симметрий . Эта алгебра вершинных операторов обычно интерпретируется как структура, лежащая в основе двумерной конформной теории поля , позволяющая физике образовывать мост между двумя математическими областями. Гипотезы, выдвинутые Конвеем и Нортоном, были доказаны Ричардом Борчердсом для самогонного модуля в 1992 году с использованием теоремы об отсутствии призраков из теории струн , теории алгебр вершинных операторов и обобщенных алгебр Каца – Муди .

История

В 1978 году Джон Маккей обнаружил, что первые несколько членов в разложении Фурье нормализованного J-инварианта (последовательность A014708 в OEIS ) могут быть выражены через линейные комбинации размерностей . неприводимых представлений $r_{n}$ группы монстров M (последовательность A001379 в OEIS ) с небольшими неотрицательными коэффициентами. J-инвариант $$J(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196884{q}+21493760{q}^{2}+864299970{q}^{3}+20245856256{q}^{4}+\cdots$$ с ${q}=e^{2\pi i\tau }$ и τ как отношение полупериода и выражения M , позволяющие $r_{n}$ = 1, 196883, 21296876, 842609326, 18538750076, 19360062527, 293553734298, ..., являются

$${\begin{aligned}1&=r_{1}\\196884&=r_{1}+r_{2}\\21493760&=r_{1}+r_{2}+r_{3}\\864299970&=2r_{1}+2r_{2}+r_{3}+r_{4}\\20245856256&=3r_{1}+3r_{2}+r_{3}+2r_{4}+r_{5}=2r_{1}+3r_{2}+2r_{3}+r_{4}+r_{6}\\333202640600&=5r_{1}+5r_{2}+2r_{3}+3r_{4}+2r_{5}+r_{7}=4r_{1}+5r_{2}+3r_{3}+2r_{4}+r_{5}+r_{6}+r_{7}\\\end{aligned}}$$

LHS – это коэффициенты $j(\tau )$, а в правой части целые числа $r_{n}$ размерности неприводимых представлений группы монстров M. — (Поскольку между $r_{n}$ такой как $r_{1}-r_{3}+r_{4}+r_{5}-r_{6}=0$представление может быть более чем одним способом.)

Маккей рассматривал это как свидетельство того, что существует естественно встречающееся бесконечномерное градуированное представление M , и , градуированная размерность которого задается коэффициентами J чьи части с меньшим весом разлагаются на неприводимые представления, как указано выше. После того, как он сообщил Джону Г. Томпсону об этом наблюдении, Томпсон предположил, что, поскольку градуированное измерение представляет собой всего лишь градуированный след единичного элемента , градуированные следы нетривиальных элементов g из M в таком представлении также могут быть интересны.

Конвей и Нортон вычислили члены низшего порядка таких градуированных следов, теперь известных как ряды Маккея-Томпсона T _g , и обнаружили, что все они оказались расширениями Hauptmoduln . словами, если Gg _с — подгруппа SL ₂ ( R ) фиксирующая Tg _, , то фактор верхней половины комплексной плоскости по Gg _{Другими} — это сфера конечным числом удаленных точек, причем T _g порождает поле мероморфных функций на этой сфере.

На основе своих вычислений Конвей и Нортон составили список Hauptmoduln и выдвинули гипотезу о существовании бесконечномерного градуированного представления M , градуированные следы которого T _g являются разложением именно функций из их списка.

В 1980 году АОЛ Аткин доказательства существования такого градуированного представления, разложив большое количество коэффициентов J на ​​представления M. , Пол Фонг и Стивен Д. Смит предоставили убедительные вычислительные Градуированное представление, градуированная размерность которого равна J , называемое самогонным модулем, было явно построено Игорем Френкелем , Джеймсом Леповски и Арне Мёрманом , давая эффективное решение гипотезы Маккея-Томпсона, а также они определили градуированные следы для всех элементов в централизатор инволюции M , частично разрешающий гипотезу Конвея – Нортона. Кроме того, они показали, что построенное ими векторное пространство , названное «Модуль самогона», $V^{\natural }$, имеет дополнительную структуру алгебры вершинных операторов которой , группа автоморфизмов есть в точности M .

В 1985 году , опубликовала «Атлас конечных групп» группа математиков, в том числе Джон Конвей . Атлас, в котором перечислены все спорадические группы , включил «Самогон» как раздел в список примечательных свойств группы монстров .

Борчердс доказал гипотезу Конвея-Нортона для модуля самогона в 1992 году. Он выиграл медаль Филдса в 1998 году отчасти за решение гипотезы.

Модуль самогонного аппарата

Конструкция Френкеля-Леповского-Меурмана начинается с двух основных инструментов:

1. Построение решетчатой ​​вершинной операторной алгебры V _L для четной решетки L ранга n . Говоря физическими терминами, это киральная алгебра бозонной струны , компактифицированной на торе R. ^н / Л . Грубо его можно описать как тензорное произведение группового кольца L измерениях ( с представлением осциллятора в n которое само по себе изоморфно кольцу полиномов со счетным бесконечным числом образующих ). В рассматриваемом случае L принимается за решетку Лича , имеющую ранг 24.
2. Орбифолдная конструкция . В физических терминах это описывает бозонную струну, распространяющуюся по фактор-орбифолду . Конструкция Френкеля-Леповского-Мермана была первым случаем появления орбифолдов в конформной теории поля . К инволюции –1 присоединена решетки Лича инволюция h группы V _L и неприводимый h -скрученный V _L -модуль, который наследует инволюцию, поднимающую h . Чтобы получить модуль самогона, нужно взять подпространство с фиксированной точкой h в прямой сумме V _L и его скрученного модуля .

Затем Френкель, Леповски и Мерман показали, что группа автоморфизмов самогонного модуля как алгебры вершинных операторов равна M . Кроме того, они определили, что градуированные следы элементов подгруппы 2 ¹⁺²⁴ . Co ₁ соответствует функциям, предсказанным Конвеем и Нортоном ( Frenkel, Lepowsky & Meurman (1988) ).

Доказательство Борчердса

Доказательство Ричарда Борчердса гипотезы Конвея и Нортона можно разбить на следующие основные этапы:

1. Начнем с вершинной операторной алгебры V с инвариантной билинейной формой, действием M автоморфизмами и известным разложением однородных пространств семи низших степеней в неприводимые M -представления. Это было обеспечено конструкцией Френкеля-Леповски-Меурмана и анализом модуля самогона.
2. Алгебра Ли ${\mathfrak {m}}$, называемая чудовищной алгеброй Ли , строится из V с использованием функтора квантования. Это обобщенная алгебра Ли Каца–Муди с чудовищным действием автоморфизмов. Используя теорему Годдарда-Торна об «отсутствии призраков» из теории струн , корневые кратности оказываются коэффициентами J .
3. Тождество бесконечного произведения Койке–Нортона–Загира используется для построения обобщенной алгебры Ли Каца–Муди с помощью генераторов и отношений. Тождество доказывается с использованием того факта, что операторы Гекке , примененные к J, дают полиномы от J .
4. Сравнивая корневые кратности, можно обнаружить, что две алгебры Ли изоморфны, и, в частности, формула знаменателя Вейля для ${\mathfrak {m}}$ это в точности тождество Койке–Нортона–Загира.
5. Используя гомологии алгебры Ли и операции Адамса , для каждого элемента дается скрученный знаменатель. Эти тождества связаны с рядом Маккея–Томпсона T _g во многом так же, как тождество Койке–Нортона–Загира связано с J .
6. Тождества с искривленным знаменателем подразумевают рекурсивные отношения к коэффициентам T _g , а неопубликованная работа Койке показала, что функции-кандидаты Конвея и Нортона удовлетворяют этим рекурсивным соотношениям. Эти отношения настолько сильны, что нужно только проверить, что первые семь членов согласуются с функциями, данными Конвеем и Нортоном. Самые низкие члены получаются путем разложения семи однородных пространств низшей степени, заданных на первом этапе.

Таким образом, доказательство завершено ( Борчердс (1992) ). Позже Борчердс сказал: «Я был на седьмом небе от счастья, когда доказал гипотезу о самогоне» и «Иногда я задаюсь вопросом, возникает ли такое чувство, когда вы принимаете определенные наркотики. На самом деле я не знаю, поскольку я не проверял». эта моя теория». ( Робертс 2009 , стр. 361)

Более поздние работы упростили и прояснили последние этапы доказательства. Юрисич ( Jurisich (1998) , Jurisich, Lepowsky & Wilson (1995) ) обнаружил, что вычисление гомологии можно существенно сократить, заменив обычное треугольное разложение алгебры Ли Монстра на разложение в сумму gl ₂ и двух свободных алгебр Ли. . Камминс и Гэннон показали, что рекурсивные соотношения автоматически подразумевают, что ряд Маккея-Томпсона либо является гауптмодульным, либо завершается не более чем через три члена, что устраняет необходимость вычислений на последнем шаге.

Обобщенный самогон

Конвей и Нортон в своей статье 1979 года предположили, что, возможно, самогон не ограничивается монстром, но что аналогичные явления могут быть обнаружены и для других групп. Хотя утверждения Конвея и Нортона не были очень конкретными, вычисления Ларисы Куин в 1980 году убедительно показали, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций измерений неприводимых представлений спорадических групп . В частности, она разложила коэффициенты ряда Маккея-Томпсона на представления подчастных Монстра в следующих случаях:

• T _2B и T _4A в представления группы Конвея Co ₀
• T _3B и T _6B в представления группы Сузуки 3.2. Суз
• T _3C в представления группы Томпсона Th = F ₃
• T _5A в представления группы Харады–Нортона HN = F ₅
• T _5B и T _10D в представления группы Холла–Янко 2. HJ
• T _7A в представления группы Хелда He = F ₇
• Т _7В и Т _14С в представления 2. А ₇
• T _11A в представления группы Матье 2. M ₁₂

Куин обнаружил, что следы нетождественных элементов также дают q -разложения Гауптмодульна, некоторые из которых не были сериями Маккея – Томпсона из «Монстра». В 1987 году Нортон объединил результаты Куина со своими собственными вычислениями, чтобы сформулировать гипотезу обобщенного самогона. Эта гипотеза утверждает, что существует правило, которое ставит в соответствие каждому элементу g монстра градуированное векторное пространство V ( g ) и каждой коммутирующей паре элементов ( g , h ) голоморфную функцию f ( g , h , τ). в верхней полуплоскости такой, что:

1. Каждое V ( g градуированным проективным представлением централизатора g M. в является )
2. Каждый f ( g , h , τ) является либо постоянной функцией, либо Хауптмодулем.
3. Каждый f ( g , h ) инвариантен относительно одновременного сопряжения g , τ и h в M с точностью до скалярной неоднозначности.
4. Для каждого ( g , h ) существует подъем h до линейного преобразования на V ( g ), так что разложение f ( g , h , τ) задается градуированным следом.
5. Для любого $({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}})\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbf {Z} )$, $f(g,h,{\tfrac {a\tau +b}{c\tau +d}})$ пропорционально $f(g^{a}h^{c},g^{b}h^{d},\tau )$.
6. f ( g , h , τ ) пропорциональна J тогда и только тогда, когда g = h = 1.

Это обобщение гипотезы Конвея-Нортона, поскольку теорема Борчердса касается случая, когда g равен единице.

Как и гипотеза Конвея-Нортона, «Обобщенный самогон» также имеет физическую интерпретацию, предложенную Диксоном-Гинспаргом-Харви в 1988 году ( Dixon, Ginsparg & Harvey (1989) ). Они интерпретировали векторные пространства V ( g ) как скрученные сектора конформной теории поля с монстр-симметрией и интерпретировали функции f ( g , h , τ) как рода первого статистические суммы , где каждый образует тор путем склеивания по скрученным граничным условиям. . На математическом языке скрученные сектора представляют собой неприводимые скрученные модули, а статистические суммы присваиваются эллиптическим кривым с главными расслоениями-монстрами, тип изоморфизма которых описывается монодромией вдоль базиса 1 , -циклов т. е. пары коммутирующих элементов.

Модульный самогонный аппарат

В начале 1990-х годов теоретик групп А. Е. Рыба обнаружил поразительное сходство между частями таблицы персонажей монстра и персонажами Брауэра определенных подгрупп. В частности, для элемента g простого порядка p в монстре многие неприводимые характеры элемента порядка kp которого , k -я степень равна g, представляют собой простые комбинации характеров Брауэра для элемента порядка k в централизаторе g . Это было численное свидетельство явления, похожего на чудовищный самогон, но представлений в положительной характеристике. В частности, Рыба в 1994 году выдвинула гипотезу, что для каждого простого множителя p порядка монстра существует градуированная вершинная алгебра над конечным полем F _p с действием централизатора элемента p g порядка , такая что градуированный Брауэр характер любого p -регулярного автоморфизма h равен ряду Маккея-Томпсона для gh ( Рыба (1996) ).

В 1996 году Борчердс и Рыба переосмыслили эту гипотезу как утверждение о когомологиях Тейта самодвойственной интегральной формы $V^{\natural }$. О существовании этой интегральной формы не было известно, но они построили самодвойственную форму над Z [1/2], которая позволила им работать с нечетными простыми числами p . Когомологии Тейта для элемента простого порядка естественным образом имеют структуру супервертексной алгебры над F _p , и они разбили проблему на простой шаг, приравнивающий градуированный суперслед Брауэра с рядом Маккея-Томпсона, и сложный шаг, показывающий что когомологии Тейта исчезают в нечетной степени. Они доказали утверждение об исчезновении для маленьких нечетных простых чисел, перенеся результат об исчезновении из решетки Лича ( Борчердс и Рыба (1996) ). В 1998 году Борчердс показал, что обращение в нуль справедливо для оставшихся нечетных простых чисел, используя комбинацию теории Ходжа и интегрального уточнения теоремы об отсутствии призраков ( Борчердс (1998) , Борчердс (1999) ).

Случай второго порядка требует существования формы $V^{\natural }$ над 2-адическим кольцом, т. е. конструкцией, которая не делится на 2, о существовании которой в то время не было известно. Остается много дополнительных вопросов без ответа, например, как гипотеза Рыбы должна обобщать когомологии Тейта составных элементов порядка, а также природу любых связей с обобщенным самогоном и другими самогонными явлениями.

Предполагаемая связь с квантовой гравитацией

В 2007 году Э. Виттен предположил, что соответствие AdS/CFT приводит к двойственности между чистой квантовой гравитацией в (2 + 1)-мерном антидеситтеровском пространстве и экстремальными голоморфными CFT. Чистая гравитация в измерениях 2 + 1 не имеет локальных степеней свободы, но когда космологическая постоянная отрицательна, в теории появляется нетривиальное содержание из-за существования решений БТЗ для черных дыр . Экстремальные КТМ, предложенные Г. Хёном, отличаются отсутствием первичных полей Вирасоро при низкой энергии, и модуль самогонного аппарата является одним из примеров.

Согласно предложению Виттена ( Witten (2007) ), гравитация в пространстве AdS с максимально отрицательной космологической постоянной является AdS/CFT двойственной голоморфной CFT с центральным зарядом c=24 , а статистическая сумма CFT равна точно j -744, т.е. ступенчатость самогонного модуля. Приняв гипотезу Френкеля-Леповского-Меурмана о том, что самогонный модуль представляет собой уникальный голоморфный VOA с центральным зарядом 24 и характером j -744, Виттен пришел к выводу, что чистая гравитация с максимально отрицательной космологической постоянной двойственна монстру CFT. Часть предложения Виттена заключается в том, что первичные поля Вирасоро двойственны операторам, создающим черные дыры, и в качестве проверки непротиворечивости он обнаружил, что в пределе больших масс квазиклассическая оценка энтропии Бекенштейна-Хокинга для данной массы черной дыры согласуется с логарифм соответствующей первичной кратности Вирасоро в самогонном модуле. В режиме малой массы имеется небольшая квантовая поправка к энтропии, например, первичные поля с наименьшей энергией дают ln(196883) ~ 12,19, тогда как оценка Бекенштейна–Хокинга дает 4 р ~ 12,57.

Более поздние работы усовершенствовали предложение Виттена. Виттен предположил, что экстремальные CFT с большей космологической постоянной могут иметь чудовищную симметрию, очень похожую на минимальный случай, но это было быстро исключено независимой работой Гайотто и Хёна. Работа Виттена и Мэлони ( Maloney & Witten (2007) ) предположила, что чистая квантовая гравитация может не удовлетворять некоторым проверкам на непротиворечивость, связанным с ее статистической суммой, если только некоторые тонкие свойства сложных седел не окажутся благоприятными. Однако Ли-Сонг-Стромингер ( Li, Song & Strominger (2008) ) предположили, что киральная теория квантовой гравитации, предложенная Маншотом в 2007 году, может иметь лучшие свойства стабильности, будучи при этом двойственной к киральной части монстра CFT, т.е. вершинная алгебра монстров. Дункан-Френкель ( Duncan & Frenkel (2009) ) предоставил дополнительные доказательства этой двойственности, используя суммы Радемахера для получения ряда Маккея-Томпсона как (2 + 1)-мерной статистической суммы гравитации с помощью регуляризованной суммы по глобальной геометрии тора-изогении. Более того, они выдвинули гипотезу о существовании семейства извращенных киральных теорий гравитации, параметризованных элементами монстра, предполагая связь с обобщенной самогонной и гравитационными инстантонными суммами. В настоящее время все эти идеи все еще довольно умозрительны, отчасти потому, что трехмерная квантовая гравитация не имеет строгого математического обоснования.

самогонный аппарат Матье

В 2010 году Тору Эгучи , Хироси Оогури и Юджи Тачикава заметили, что эллиптический род поверхности K3 можно разложить на символы N = (4,4) суперконформной алгебры , так что кратности массивных состояний кажутся простыми комбинациями. неприводимых представлений группы Матье M24 . Это говорит о том, что существует сигма-модели конформная теория поля с мишенью K3, обладающая симметрией M24. Однако согласно классификации Мукая–Кондо не существует точного действия этой группы на любой поверхности K3 посредством симплектических автоморфизмов , а согласно работе Габердиэля–Хогенеггера–Вольпато, нет точного действия ни в одной конформной теории поля сигма-модели K3, поэтому появление действия в базовом гильбертовом пространстве до сих пор остается загадкой.

По аналогии с рядами Маккея–Томпсона Ченг предположил, что как функции кратности , так и градуированные следы нетривиальных элементов M24 образуют ложные модулярные формы . В 2012 году Ганнон доказал, что все кратности, кроме первой, являются неотрицательными целыми комбинациями представлений M24, а Габердиль-Перссон-Ронелленфитч-Вольпато вычислил все аналоги обобщенных самогонных функций: это наводит на мысль, что за самогонностью Матье стоит некий аналог голоморфной конформной теории поля. Также в 2012 году Ченг, Дункан и Харви собрали численные доказательства феномена теневого самогона , когда семейства псевдомодульных форм кажутся прикрепленными к решеткам Нимейера . Особый случай А ²⁴
_{Решетка №1} дает Матьё Муншайн, но в целом явление пока не имеет интерпретации с точки зрения геометрии.

Происхождение термина

Термин «чудовищный самогон» был придуман Конвеем, который, когда в конце 1970-х годов Джон Маккей сказал , что коэффициент ${q}$ (а именно 196884) было ровно на единицу больше, чем степень наименьшего верного комплексного представления группы монстров (а именно 196883), ответил, что это « самогон » (в смысле безумной или глупой идеи). Таким образом, этот термин относится не только к группе монстров M ; это также относится к воспринимаемому безумию сложных отношений между М и теорией модульных функций.

Связанные наблюдения

Группу монстров исследовали в 1970-х годах математики Жан-Пьер Серр , Эндрю Огг и Джон Г. Томпсон ; они изучали фактор гиперболической плоскости по подгруппам SL ₂ ( R ), в частности, по нормализатору Γ ₀ ( p ) ⁺ конгруэнтной подгруппы Гекке Γ ₀ ( p ) в SL(2, R ). Они обнаружили, что риманова поверхность , полученная в результате факторизации гиперболической плоскости по Γ ₀ ( p ), ⁺ имеет нулевой род ровно для p = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 или 71. Когда позже Огг услышал о группе монстров, он заметил, что это были именно основные факторы размера M , он опубликовал статью, предлагающую бутылку виски Jack Daniel’s любому, кто сможет объяснить этот факт ( Ogg (1974) ). Эти 15 простых чисел известны как суперсингулярные простые числа , не путать с использованием той же фразы с другим значением в теории алгебраических чисел.

Источники

• Борчердс, RE (1998), «Modular Moonshine III», Duke Mathematical Journal , 93 (1): 129–154, arXiv : math/9801101 , Bibcode : 1998math......1101B , doi : 10.1215/S0012-7094 -98-09305-Х , S2CID   119593942 .
• Борчердс, RE (1999), «Формальная группа фальшивых монстров», Duke Mathematical Journal , 100 (1): 139–165, arXiv : math/9805123 , doi : 10.1215/S0012-7094-99-10005-6 , S2CID   14404234 .
• Борчердс, RE; Рыба, AJE (1996), «Модульный самогон II», Duke Mathematical Journal , 83 (2): 435–459, doi : 10.1215/S0012-7094-96-08315-5 , S2CID   119593942 .
• Борчердс, Ричард (1992), «Чудовищный самогон и чудовищные супералгебры лжи» (PDF) , Invent. Математика. , 109 : 405–444, Bibcode : 1992InMat.109..405B , CiteSeerX   10.1.1.165.2714 , doi : 10.1007/bf01232032 , MR   1172696 , S2CID   16145482 .
• Конвей, Джон Хортон; Нортон, Саймон П. (1979), «Чудовищный самогон», Bull. Лондонская математика. Соц. , 11 (3): 308–339, doi : 10.1112/blms/11.3.308 , MR   0554399 .
• Конвей, Джон Хортон; Маккей, Джон; Троян, Аллан (2010), «Группы Галуа над функциональными полями положительной характеристики» , Proc. амер. Математика. Соц. , 138 (4): 1205–1212, arXiv : 0811.0076 , doi : 10.1090/S0002-9939-09-10130-2 , ISSN   0002-9939 .
• Камминс, CJ; Ганнон, Т. (1997), «Модульные уравнения и свойство нулевого рода самогонных функций», Invent. Математика. , 129 (3): 413–443, Bibcode : 1997InMat.129..413C , doi : 10.1007/s002220050167 , S2CID   123073432 .
• Диксон, Л.; Гинспарг, П.; Харви, Дж. (1989), «Красавица и чудовище: суперконформная симметрия в модуле монстра» , Comm. Математика. Физ. , 119 (2): 221–241, Bibcode : 1988CMaPh.119..221D , doi : 10.1007/bf01217740 , S2CID   55102822 .
• Дю Сотуа, Маркус (2008), В поисках самогона, Путешествие математика через симметрию , Четвертое сословие, ISBN  978-0-00-721461-7 .
• Дункан, Джон Ф.Р.; Френкель, Игорь Б. (2012), Суммы Радемахера, самогон и гравитация , arXiv : 0907.4529 , Бибкод : 2009arXiv0907.4529D .
• Френкель, Игорь Б.; Леповски, Джеймс; Мерман, Арне (1988), Вершинные операторные алгебры и монстр , Чистая и прикладная математика, том. 134, Академик Пресс, ISBN  0-12-267065-5 , МР   0996026 .
• Ганнон, Терри (2000), «Чудовищный самогон и классификация конформных теорий поля», в Саклиоглу, Джихан; Тургут, Теоман; Нутку, Явуз (ред.), Конформная теория поля, Новые непертурбативные методы в теории струн и поля , Cambridge Mass: Perseus Publishing, ISBN  0-7382-0204-5 (Предоставляет вводные обзоры приложений в физике) .
• Гэннон, Терри (2006a), «Чудовищный самогон: первые двадцать пять лет», Bull. Лондонская математика. Соц. , 38 (1): 1–33, arXiv : math.QA/0402345 , doi : 10.1112/S0024609305018217 , MR   2201600 , S2CID   119626718 .
• Гэннон, Терри (2006b), Самогон за пределами монстра: мост, соединяющий алгебру, модульные формы и физику , Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-83531-2 .
• Харада, Коитиро (1999), Монстр , паб Иванами, ISBN  4-00-006055-4 {{cite book}}:CS1 maint:postscript ( ссылка ) (Первая книга о Monster Group, написанная на японском языке) .
• Харада, Коитиро (2010), «Самогон» конечных групп , Европейское математическое общество , ISBN  978-3-03719-090-6 , МР   2722318 .
• Юрисич, Э.; Леповски Дж.; Уилсон, Р.Л. (1995), «Реализации чудовищной алгебры лжи», Selecta Math. , New Series, 1 : 129–161, arXiv : hep-th/9408037 , doi : 10.1007/bf01614075 , S2CID   119594012 .
• Юрисич, Элизабет (1998), «Обобщенные алгебры Ли Каца – Муди, свободные алгебры Ли и структура чудовищной алгебры Ли», Journal of Pure and Applied Algebra , 126 (1–3): 233–266, arXiv : 1311.3258 , дои : 10.1016/s0022-4049(96)00142-9 , S2CID   119320010 .
• Ли, Вэй; Сун, Вэй; Строминджер, Эндрю (21 июля 2008 г.), «Киральная гравитация в трех измерениях», Журнал физики высоких энергий , 2008 (4): 082, arXiv : 0801.4566 , Bibcode : 2008JHEP...04..082L , doi : 10.1088/1126-6708/2008/04/082 , S2CID   2138904 .
• Мэлони, Александр; Сун, Вэй; Строминджер, Эндрю (2010), «Киральная гравитация, логарифмическая гравитация и экстремальная ЦФТ», Phys. Rev. D , 81 (6): 064007, arXiv : 0903.4573 , Bibcode : 2010PhRvD..81f4007M , doi : 10.1103/physrevd.81.064007 , S2CID   17752143 .
• Мэлони, Александр; Виттен, Эдвард (2010), «Функции распределения квантовой гравитации в трех измерениях», J. High Energy Phys. , 2010 (2): 29, arXiv : 0712.0155 , Bibcode : 2010JHEP...02..029M , doi : 10.1007/JHEP02(2010)029 , MR   2672754 , S2CID   118363782 .
• Огг, Эндрю П. (1974), «Автоморфизмы модулярных кривых» (PDF) , Семинар Деланжа-Пизо-Пуату. Теория чисел, том 16, вып. 1 (1974–1975), эксп. нет. 7 (на французском языке), том. 16, с. 1–8, МР   0417184 .
• Робертс, Шивон (2009), Король бесконечного пространства: Дональд Коксетер, человек, который спас геометрию , Bloomsbury Publishing USA, стр. 361, ISBN  978-080271832-7 .
• Ронан, Марк (2006), Симметрия и монстр , Oxford University Press, ISBN  978-0-19-280723-6 {{cite book}}:CS1 maint:postscript ( ссылка ) (Краткое введение для непрофессионала) .
• Рыба, AJE (1996), «Модульный самогон?», Мейсон, Джеффри; Донг, Чунъин (ред.), Самогон, Монстр и родственные темы , Современная математика, том. 193, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 307–336 .
• Виттен, Эдвард (22 июня 2007 г.), «Возвращение к трехмерной гравитации» , arXiv : 0706.3359 , Bibcode : 2007arXiv0706.3359W .

Внешние ссылки

• Библиография самогона в Wayback Machine (архивировано 5 декабря 2006 г.)
• Математики преследуют тень самогона