Теория бозонных струн

Теория бозонных струн — это оригинальная версия теории струн , разработанная в конце 1960-х годов и названная в честь Сатьендры Натха Бозе . Он назван так потому, что содержит только бозоны в спектре .

В 1980-х годах суперсимметрия была открыта в контексте теории струн, и новая версия теории струн, названная теорией суперструн в центре внимания оказалась (суперсимметричная теория струн). Тем не менее, теория бозонных струн остается очень полезной моделью для понимания многих общих особенностей теории пертурбативных струн, и многие теоретические трудности, связанные с суперструнами, фактически уже можно обнаружить в контексте бозонных струн.

Проблемы

Хотя у теории бозонных струн есть много привлекательных особенностей, она не является жизнеспособной физической моделью в двух важных областях.

Во-первых, оно предсказывает только существование бозонов , тогда как многие физические частицы являются фермионами .

Во-вторых, она предсказывает существование моды струны с мнимой массой, подразумевая, что теория неустойчива к процессу, известному как « тахионная конденсация ».

Кроме того, теория бозонных струн в общем измерении пространства-времени демонстрирует противоречия из-за конформной аномалии . Но, как впервые заметил Клод Лавлейс , ^[1] в 26-мерном пространстве-времени (25 измерений пространства и одно измерения времени), критическом измерении теории, аномалия устраняется. Эта высокая размерность не обязательно является проблемой для теории струн, поскольку ее можно сформулировать таким образом, что по 22 избыточным измерениям пространство-время сворачивается, образуя небольшой тор или другое компактное многообразие. Это оставило бы только знакомые четыре измерения пространства-времени видимыми для экспериментов с низкими энергиями. Существование критического измерения, в котором аномалия устраняется, является общей чертой всех теорий струн.

Типы бозонных струн

Существует четыре возможных теории бозонных струн, в зависимости от того, ли открытые струны разрешены и имеют ли струны определенную ориентацию . Теория открытых струн должна также включать закрытые струны, поскольку можно представить, что открытые струны имеют свои конечные точки, закрепленные на D25-бране , заполняющей все пространство-время. Определенная ориентация строки означает, что только взаимодействие, соответствующее ориентируемому мировому листу разрешено (например, две строки могут сливаться только с одинаковой ориентацией). Схема спектров четырех возможных теорий выглядит следующим образом:

Теория бозонных струн	Неположительный $M^{2}$ государства
Открытые и закрытые, ориентированные	тахион, гравитон , дилатон , безмассовый антисимметричный тензор
Открытый и закрытый, неориентированный	тахион, гравитация, дилатация
Закрытый, ориентированный	тахион, гравитон, дилатон, антисимметричный тензор, U(1) векторный бозон
Закрытый, неориентированный	тахион, гравитация, дилатация

Обратите внимание, что все четыре теории имеют тахион с отрицательной энергией ( $M^{2}=-{\frac {1}{\alpha '}}$ ) и безмассовый гравитон.

Остальная часть этой статьи относится к закрытой ориентированной теории, соответствующей ориентируемым мировым листам без границ.

Математика

Теория возмущений с интегралом по траекториям

Можно сказать, что теория бозонных струн ^[2] определяется квантованием интеграла по путям действия Полякова :

I_{0}[g,X]={\frac {T}{8\pi }}\int _{M}d^{2}\xi {\sqrt {g}}g^{mn}\partial _{m}x^{\mu }\partial _{n}x^{\nu }G_{\mu \nu }(x)

$x^{\mu }(\xi )$ — поле на мировом листе, описывающее наибольшее вложение строки в пространство-время 36+1; в формулировке Полякова $g$ следует понимать не как индуцированную вложением метрику, а как независимое динамическое поле. $G$ — метрика целевого пространства-времени, которую обычно принимают за метрику Минковского в теории пертурбативов. При вращении Вика это приводит к евклидовой метрике. $G_{\mu \nu }=\delta _{\mu \nu }$ . M — мировой лист как топологическое многообразие , параметризованное $\xi$ координаты. $T$ – натяжение струны, связанное с наклоном Редже следующим образом: $T={\frac {1}{2\pi \alpha '}}$ .

$I_{0}$ обладает диффеоморфизмом и инвариантностью Вейля . Симметрия Вейля нарушается при квантовании ( Конформная аномалия ) и поэтому это действие приходится дополнять контрчленом, наряду с гипотетическим чисто топологическим членом, пропорциональным эйлеровой характеристике :

I=I_{0}+\lambda \chi (M)+\mu _{0}^{2}\int _{M}d^{2}\xi {\sqrt {g}}

Явное нарушение инвариантности Вейля контрчленом можно устранить в критическом измерении 26.

Затем физические величины строятся из (евклидовой) статистической суммы и N-точечной функции :

Z=\sum _{h=0}^{\infty }\int {\frac {{\mathcal {D}}g_{mn}{\mathcal {D}}X^{\mu }}{\mathcal {N}}}\exp(-I[g,X])

\left\langle V_{i_{1}}(k_{1}^{\mu })\cdots V_{i_{p}}(k_{p}^{\mu })\right\rangle =\sum _{h=0}^{\infty }\int {\frac {{\mathcal {D}}g_{mn}{\mathcal {D}}X^{\mu }}{\mathcal {N}}}\exp(-I[g,X])V_{i_{1}}(k_{1}^{\mu })\cdots V_{i_{p}}(k_{p}^{\mu })

Пертурбативный ряд выражается как сумма по топологиям, индексированным по роду.

Дискретная сумма представляет собой сумму по возможным топологиям, которые для евклидовых бозонных ориентируемых замкнутых струн являются компактными ориентируемыми римановыми поверхностями и, таким образом, идентифицируются родом $h$ . Коэффициент нормализации ${\mathcal {N}}$ вводится для компенсации пересчета из-за симметрии. В то время как вычисление статистической суммы соответствует космологической постоянной , N-точечная функция, включая $p$ вершинные операторы, описывают амплитуду рассеяния струн.

Группа симметрии действия фактически радикально сводит пространство интегрирования к конечномерному многообразию. $g$ Интеграл по путям статистической суммы априори представляет собой сумму по возможным римановым структурам; однако факторизация по преобразованиям Вейля позволяет рассматривать только конформные структуры , т. е. классы эквивалентности метрик при отождествлениях метрик, связанных соотношением

g'(\xi )=e^{\sigma (\xi )}g(\xi )

Поскольку мировой лист двумерен, между конформными и комплексными структурами существует соответствие 1-1 . Диффеоморфизмы все равно приходится факторизовать. Это оставляет нам интегрирование по пространству всех возможных комплексных структур по модулю диффеоморфизмов, которое является просто пространством модулей данной топологической поверхности и фактически является конечномерным комплексным многообразием . Таким образом, фундаментальной проблемой пертурбативных бозонных струн становится параметризация пространства модулей, которая нетривиальна для рода $h\geq 4$ .

ч = 0

На уровне дерева, соответствующем роду 0, космологическая постоянная обращается в нуль: $Z_{0}=0$ .

Четырехточечная функция рассеяния четырех тахионов представляет собой амплитуду Шапиро-Вирасоро:

A_{4}\propto (2\pi )^{26}\delta ^{26}(k){\frac {\Gamma (-1-s/2)\Gamma (-1-t/2)\Gamma (-1-u/2)}{\Gamma (2+s/2)\Gamma (2+t/2)\Gamma (2+u/2)}}

Где $k$ это полный импульс и $s$ , $t$ , $u$ – переменные Мандельштама .

ч = 1

Фундаментальная область модульной группы. — Заштрихованная область — возможная фундаментальная область модульной группы.

Род 1 представляет собой тор и соответствует однопетлевому уровню . Функция разделения составляет:

Z_{1}=\int _{{\mathcal {M}}_{1}}{\frac {d^{2}\tau }{8\pi ^{2}\tau _{2}^{2}}}{\frac {1}{(4\pi ^{2}\tau _{2})^{12}}}\left|\eta (\tau )\right|^{-48}

$\tau$ комплексное число с положительной мнимой частью $\tau _{2}$ ; ${\mathcal {M}}_{1}$ , голоморфный пространству модулей тора, — это любая фундаментальная область модулярной группы $PSL(2,\mathbb {Z} )$ действуя на верхнюю полуплоскость , например $\left\{\tau _{2}>0,|\tau |^{2}>1,-{\frac {1}{2}}<\tau _{1}<{\frac {1}{2}}\right\}$ . $\eta (\tau )$ Дедекинда – эта-функция . Подынтегральная функция, конечно, инвариантна относительно модулярной группы: мера ${\frac {d^{2}\tau }{\tau _{2}^{2}}}$ — это просто метрика Пуанкаре , имеющая PSL(2,R) в качестве группы изометрий; остальная часть подынтегрального выражения также инвариантна в силу $\tau _{2}\rightarrow |c\tau +d|^{2}\tau _{2}$ и тот факт, что $\eta (\tau )$ представляет собой модульную форму веса 1/2.

Этот интеграл расходится. Это связано с наличием тахиона и связано с неустойчивостью пертурбативного вакуума.

См. также

Примечания

^ Лавлейс, Клод (1971), «Форм-факторы померонов и двойные разрезы Редже», Physics Letters , B34 (6): 500–506, Bibcode : 1971PhLB...34..500L , doi : 10.1016/0370-2693(71) 90665-4 .
^ Д'Хокер, Фонг

Ссылки

Д'Хокер, Эрик и Фонг, DH (октябрь 1988 г.). «Геометрия теории струнных возмущений». Преподобный Мод. Физ . 60 (4). Американское физическое общество: 917–1065. Бибкод : 1988РвМП...60..917Д . дои : 10.1103/RevModPhys.60.917 .

Белавин А.А. и Книжник В.Г. (февраль 1986 г.). «Сложная геометрия и теория квантовых струн» . ЖЭТФ . 91 (2): 364–390. Бибкод : 1986ЖЭТФ..91..364Б . Архивировано из оригинала 26 февраля 2021 г. Проверено 24 апреля 2015 г.

Внешние ссылки

[PR-1] Лавлейс, Клод (1971), «Форм-факторы померонов и двойные разрезы Редже», Physics Letters , B34 (6): 500–506, Bibcode : 1971PhLB...34..500L , doi : 10.1016/0370-2693(71) 90665-4 .

[2] Д'Хокер, Фонг

[1]

[2]

v т и Теория струн
Background	Strings Cosmic strings History of string theory First superstring revolution Second superstring revolution String theory landscape
Theory	Nambu–Goto action Polyakov action Bosonic string theory Superstring theory Type I string Type II string Type IIA string Type IIB string Heterotic string N=2 superstring F-theory String field theory Matrix string theory Non-critical string theory Non-linear sigma model Tachyon condensation RNS formalism GS formalism
String duality	T-duality S-duality U-duality Montonen–Olive duality
Particles and fields	Graviton Dilaton Tachyon Ramond–Ramond field Kalb–Ramond field Magnetic monopole Dual graviton Dual photon
Branes	D-brane NS5-brane M2-brane M5-brane S-brane Black brane Black holes Black string Brane cosmology Quiver diagram Hanany–Witten transition
Conformal field theory	Virasoro algebra Mirror symmetry Conformal anomaly Conformal algebra Superconformal algebra Vertex operator algebra Loop algebra Kac–Moody algebra Wess–Zumino–Witten model
Gauge theory	Anomalies Instantons Chern–Simons form Bogomol'nyi–Prasad–Sommerfield bound Exceptional Lie groups (G₂, F₄, E₆, E₇, E₈) ADE classification Dirac string p-form electrodynamics
Geometry	Worldsheet Kaluza–Klein theory Compactification Why 10 dimensions? Kähler manifold Ricci-flat manifold Calabi–Yau manifold Hyperkähler manifold K3 surface G₂ manifold Spin(7)-manifold Generalized complex manifold Orbifold Conifold Orientifold Moduli space Hořava–Witten theory K-theory (physics) Twisted K-theory
Supersymmetry	Supergravity Superspace Lie superalgebra Lie supergroup
Holography	Holographic principle AdS/CFT correspondence
M-theory	Matrix theory Introduction to M-theory
String theorists	Aganagić Arkani-Hamed Atiyah Banks Berenstein Bousso Curtright Dijkgraaf Distler Douglas Duff Dvali Ferrara Fischler Friedan Gates Gliozzi Gopakumar Green Greene Gross Gubser Gukov Guth Hanson Harvey 't Hooft Hořava Gibbons Kachru Kaku Kallosh Kaluza Kapustin Klebanov Knizhnik Kontsevich Klein Linde Maldacena Mandelstam Marolf Martinec Minwalla Moore Motl Mukhi Myers Nanopoulos Năstase Nekrasov Neveu Nielsen van Nieuwenhuizen Novikov Olive Ooguri Ovrut Polchinski Polyakov Rajaraman Ramond Randall Randjbar-Daemi Roček Rohm Sagnotti Scherk Schwarz Seiberg Sen Shenker Siegel Silverstein Sơn Staudacher Steinhardt Strominger Sundrum Susskind Townsend Trivedi Turok Vafa Veneziano Verlinde Verlinde Wess Witten Yau Yoneya Zamolodchikov Zamolodchikov Zaslow Zumino Zwiebach