Корреляционная функция (квантовая теория поля)

Чтобы узнать о других значениях, см. Функция корреляции (значения) .

В теории поля квантовой корреляционные функции , часто называемые корреляторами или функциями Грина , представляют собой вакуумные средние значения упорядоченных произведений по времени операторов поля. Они являются ключевым объектом исследования в квантовой теории поля, где их можно использовать для расчета различных наблюдаемых, таких как элементы S-матрицы . Они тесно связаны с корреляционными функциями между случайными величинами , хотя, тем не менее, являются разными объектами, определяемыми в пространстве-времени Минковского и в квантовых операторах.

Определение

Для скалярной теории поля с одним полем $\phi (x)$ и вакуумное состояние $|\Omega \rangle$ при каждом событии (x) в пространстве-времени n-точечная корреляционная функция представляет собой вакуумное математическое ожидание упорядоченных во времени продуктов $n$ операторы поля в картине Гейзенберга

$$G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle \Omega |T\{{\mathcal {\phi }}(x_{1})\dots {\mathcal {\phi }}(x_{n})\}|\Omega \rangle .$$

Здесь $T\{\cdots \}$ — это оператор упорядочивания по времени , который упорядочивает операторы полей так, чтобы операторы полей более раннего времени появлялись справа от операторов полей более позднего времени. Преобразуя поля и состояния в картину взаимодействия , это переписывается как

$$G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\langle 0|T\{\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}\}|0\rangle }{\langle 0|e^{iS[\phi ]}|0\rangle }},$$

где $|0\rangle$ является основным состоянием свободной теории и $S[\phi ]$ это действие . Расширение $e^{iS[\phi ]}$ Используя ряд Тейлора , n-точечная корреляционная функция становится суммой корреляционных функций картины взаимодействия, которые можно оценить с помощью теоремы Вика . Схематический способ представления полученной суммы — это диаграммы Фейнмана , где каждый член может быть вычислен с использованием правил Фейнмана в позиционном пространстве.

Связная диаграмма Фейнмана, вносящая вклад в связанную шеститочечную корреляционную функцию.

Несвязная диаграмма Фейнмана, которая не вносит вклад в связную шеститочечную корреляционную функцию.

Серия диаграмм, возникающих из $\langle 0|e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ представляет собой набор всех пузырьковых диаграмм вакуума , которые представляют собой диаграммы без внешних опор. Тем временем, $\langle 0|\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ задается множеством всех возможных диаграмм ровно с $n$ внешние ножки. Поскольку сюда входят также несвязные диаграммы с вакуумными пузырьками, сумма разлагается на

(сумма по всем пузырьковым диаграммам) $\times$(сумма всех диаграмм без пузырьков).

Затем первый член сокращается с коэффициентом нормализации в знаменателе, что означает, что n-точечная корреляционная функция представляет собой сумму всех диаграмм Фейнмана, исключая вакуумные пузырьки.

$$G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle 0|T\{\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}\}|0\rangle _{\text{no bubbles}}.$$

Сумма не включает в себя вакуумные пузыри, но включает в себя несвязные диаграммы, то есть диаграммы, в которых хотя бы одна внешняя ветвь не соединена со всеми другими внешними ветвями каким-либо связным путем. Вместо этого исключение этих несвязных диаграмм определяет связанные n -точечные корреляционные функции.

$$G_{n}^{c}(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle 0|T\{\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}\}|0\rangle _{\text{connected, no bubbles}}$$

Часто предпочтительнее работать непосредственно с ними, поскольку они содержат всю информацию, содержащуюся в полных корреляционных функциях, поскольку любая несвязная диаграмма является просто продуктом связанных диаграмм. Исключив другие наборы диаграмм, можно определить другие корреляционные функции, такие как одночастичные неприводимые корреляционные функции .

В формулировке интеграла по пути n-точечные корреляционные функции записываются как функциональное среднее

$$G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \ \phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}}{\int {\mathcal {D}}\phi \ e^{iS[\phi ]}}}.$$

Их можно оценить с помощью функционала разделения $Z[J]$ который действует как производящий функционал , при этом $J$ являясь исходным термином для корреляционных функций

$$G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=(-i)^{n}{\frac {1}{Z[J]}}\left.{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J(x_{1})\dots \delta J(x_{n})}}\right|_{J=0}.$$

Аналогично, связанные корреляционные функции могут быть созданы с использованием $W[J]=-i\ln Z[J]$ как

$$G_{n}^{c}(x_{1},\dots ,x_{n})=(-i)^{n-1}\left.{\frac {\delta ^{n}W[J]}{\delta J(x_{1})\dots \delta J(x_{n})}}\right|_{J=0}.$$

Связь с S -матрицей

Амплитуды рассеяния можно рассчитать с помощью корреляционных функций, связав их с S -матрицей с помощью формулы приведения LSZ

$$\langle f|S|i\rangle =\left[i\int d^{4}x_{1}e^{-ip_{1}x_{1}}\left(\partial _{x_{1}}^{2}+m^{2}\right)\right]\cdots \left[i\int d^{4}x_{n}e^{ip_{n}x_{n}}\left(\partial _{x_{n}}^{2}+m^{2}\right)\right]\langle \Omega |T\{\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})\}|\Omega \rangle .$$

Здесь частицы в исходном состоянии $|i\rangle$ иметь $-i$ знак в экспоненте, а частицы в конечном состоянии $|f\rangle$ иметь $+i$. Все члены в разложении корреляционной функции на диаграмме Фейнмана будут иметь один пропагатор для каждой внешней ветви, то есть пропагаторы с одним концом на $x_{i}$ а другой в некоторой внутренней вершине $x$. Значение этой формулы становится ясным после применения Клейна–Гордона к этим внешним ветвям операторов с помощью

$$\left(\partial _{x_{i}}^{2}+m^{2}\right)\Delta _{F}(x_{i},x)=-i\delta ^{4}(x_{i}-x).$$

Говорят, что это ампутирует диаграммы, удаляя внешние распространители ветвей и помещая внешние состояния на оболочку . Все остальные вклады корреляционной функции вне оболочки исчезают. После интегрирования полученных дельта-функций от формулы приведения LSZ останется просто операция преобразования Фурье , в которой интегрирование осуществляется по внутренним положениям точек. $x$ к которым были прикреплены внешние распространители ног. В этой форме формула приведения показывает, что S-матрица представляет собой преобразование Фурье ампутированных корреляционных функций с внешними состояниями на оболочке.

Обычно приходится напрямую иметь дело с корреляционной функцией пространства импульса. ${\tilde {G}}(q_{1},\dots ,q_{n})$, определяемый преобразованием Фурье корреляционной функции

$$(2\pi )^{4}\delta ^{(4)}(q_{1}+\cdots +q_{n}){\tilde {G}}_{n}(q_{1},\dots ,q_{n})=\int d^{4}x_{1}\dots d^{4}x_{n}\left(\prod _{i=1}^{n}e^{-iq_{i}x_{i}}\right)G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n}),$$

где по соглашению импульсы направлены внутрь диаграммы. Полезной величиной для расчета при расчете амплитуд рассеяния является матричный элемент ${\mathcal {M}}$ который определяется из S-матрицы через

$$\langle f|S-1|i\rangle =i(2\pi )^{4}\delta ^{4}{{\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\bigg )}}{\mathcal {M}}$$

где $p_{i}$ являются внешними импульсами. Из формулы редукции LSZ следует, что матричный элемент эквивалентен ампутированной корреляционной функции связанного пространства импульсов с правильно ориентированными внешними импульсами.

$$i{\mathcal {M}}={\tilde {G}}_{n}^{c}(p_{1},\dots ,-p_{n})_{\text{amputated}}.$$

Для нескалярных теорий формула редукции также вводит члены внешнего состояния, такие как векторы поляризации для фотонов или спинорные состояния для фермионов. Необходимость использования связанных корреляционных функций возникает из-за разложения кластеров , поскольку процессы рассеяния, происходящие на больших расстояниях, не мешают друг другу и могут рассматриваться отдельно.

См. также

• Эффективное действие
• Функция Грина (теория многих тел)
• Статистическая сумма (математика)
• Исходное поле

Дальнейшее чтение

• Альтланд, А.; Саймонс, Б. (2006). Теория поля конденсированного состояния . Издательство Кембриджского университета .
• Пескин, М.; Шредер, Д.В. (2018) Введение в квантовую теорию поля . Аддисон-Уэсли .