Эффективное действие

В квантовой теории поля квантовое эффективное действие представляет собой модифицированное выражение классического действия, учитывающее квантовые поправки, гарантируя при этом применение принципа наименьшего действия , что означает, что экстремизация эффективного действия дает уравнения движения для вакуумных средних значений квантовые поля. Эффективное действие также выступает в качестве производящего функционала для одночастичных неприводимых корреляционных функций . Потенциальный компонент эффективного действия называется эффективным потенциалом , причем математическое ожидание истинного вакуума является минимумом этого потенциала, а не классического потенциала, что делает его важным для изучения спонтанного нарушения симметрии .

Впервые это понятие было сформулировано Джеффри Голдстоуном и Стивеном Вайнбергом в 1962 году. в то время как непертурбативное определение было введено Брайсом ДеВиттом в 1963 году. и независимо Джованни Йона-Лазинио в 1964 году.

В статье описано эффективное действие для одного скалярного поля , однако аналогичные результаты существуют и для нескольких скалярных или фермионных полей.

Генерация функционалов

Эти производящие функционалы также имеют приложения в статистической механике и теории информации , с немного другими коэффициентами $i$ и подписывать конвенции.

Квантовая теория поля с действием $S[\phi ]$ может быть полностью описан в формализме интеграла по путям с использованием функционала статистического распределения

$Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{iS[\phi ]+i\int d^{4}x\phi (x)J(x)}.$

Поскольку это соответствует переходам вакуум-вакуум при наличии классического внешнего тока $J(x)$, его можно оценить пертурбативно как сумму всех связных и несвязных диаграмм Фейнмана . Это также производящий функционал для корреляционных функций.

$\langle {\hat {\phi }}(x_{1})\dots {\hat {\phi }}(x_{n})\rangle =(-i)^{n}{\frac {1}{Z[J]}}{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J(x_{1})\dots \delta J(x_{n})}}{\bigg |}_{J=0},$

где операторы скалярного поля обозначаются через ${\hat {\phi }}(x)$. Можно определить еще один полезный производящий функционал $W[J]=-i\ln Z[J]$ отвечает за создание связанных корреляционных функций

$\langle {\hat {\phi }}(x_{1})\cdots {\hat {\phi }}(x_{n})\rangle _{\text{con}}=(-i)^{n-1}{\frac {\delta ^{n}W[J]}{\delta J(x_{1})\dots \delta J(x_{n})}}{\bigg |}_{J=0},$

которая вычисляется пертурбативным способом как сумма всех связанных диаграмм. Здесь связность интерпретируется в смысле кластерного разложения , означая, что корреляционные функции стремятся к нулю при больших пространственноподобных расстояниях. Общие корреляционные функции всегда можно записать как сумму произведений связанных корреляционных функций.

Квантовое эффективное действие определяется с помощью преобразования Лежандра $W[J]$

$\Gamma [\phi ]=W[J_{\phi }]-\int d^{4}xJ_{\phi }(x)\phi (x),$

где $J_{\phi }$ - ток источника , для которого скалярное поле имеет математическое ожидание $\phi (x)$, часто называемое классическим полем, неявно определяемое как решение

Пример диаграммы, которая не является одночастичной неприводимой.

Пример одночастичной неприводимой диаграммы.

$\phi (x)=\langle {\hat {\phi }}(x)\rangle _{J}={\frac {\delta W[J]}{\delta J(x)}}.$

В качестве математического ожидания классическое поле можно рассматривать как средневзвешенное значение квантовых флуктуаций в присутствии тока. $J(x)$ который является источником скалярного поля. Взяв функциональную производную преобразования Лежандра по $\phi (x)$ урожайность

$J_{\phi }(x)=-{\frac {\delta \Gamma [\phi ]}{\delta \phi (x)}}.$

В отсутствие источника $J_{\phi }(x)=0$, вышеизложенное показывает, что вакуумное математическое ожидание полей экстремизирует квантовое эффективное действие, а не классическое действие. Это не что иное, как принцип наименьшего действия в полной квантовой теории поля. Причина, по которой квантовая теория требует этой модификации, кроется в перспективе интеграла по путям, поскольку все возможные конфигурации поля вносят вклад в интеграл по путям, тогда как в классической теории поля вклад вносят только классические конфигурации.

Эффективное действие также является производящим функционалом для одночастичных неприводимых (1PI) корреляционных функций. Диаграммы 1PI представляют собой связные графы, которые невозможно разъединить на две части, разрезав одну внутреннюю линию. Поэтому у нас есть

$\langle {\hat {\phi }}(x_{1})\dots {\hat {\phi }}(x_{n})\rangle _{\mathrm {1PI} }=i{\frac {\delta ^{n}\Gamma [\phi ]}{\delta \phi (x_{1})\dots \delta \phi (x_{n})}}{\bigg |}_{J=0},$

с $\Gamma [\phi ]$ являющаяся суммой всех диаграмм Фейнмана 1PI. Тесная связь между $W[J]$ и $\Gamma [\phi ]$ означает, что между их корреляционными функциями существует ряд очень полезных соотношений. Например, двухточечная корреляционная функция, которая представляет собой не что иное, как пропагатор $\Delta (x,y)$, является обратной двухточечной корреляционной функцией 1PI.

$\Delta (x,y)={\frac {\delta ^{2}W[J]}{\delta J(x)\delta J(y)}}={\frac {\delta \phi (x)}{\delta J(y)}}={\bigg (}{\frac {\delta J(y)}{\delta \phi (x)}}{\bigg )}^{-1}=-{\bigg (}{\frac {\delta ^{2}\Gamma [\phi ]}{\delta \phi (x)\delta \phi (y)}}{\bigg )}^{-1}=-\Pi ^{-1}(x,y).$

Методы расчета эффективного действия

Прямой способ расчета эффективного действия $\Gamma [\phi _{0}]$ Пертурбативно, поскольку сумма диаграмм 1PI заключается в суммировании всех вакуумных диаграмм 1PI, полученных с использованием правил Фейнмана, полученных из смещенного действия. $S[\phi +\phi _{0}]$. Это работает, потому что любое место, где $\phi _{0}$ появляется в любом из пропагаторов или вершин — это место, где внешний $\phi$ линию можно прикрепить. Это очень похоже на метод фонового поля , который также можно использовать для расчета эффективного действия.

В качестве альтернативы, однопетлевое приближение к действию можно найти, рассмотрев разложение статистической суммы вокруг классической конфигурации поля вакуумного среднего значения. $\phi (x)=\phi _{\text{cl}}(x)+\delta \phi (x)$, уступая

$\Gamma [\phi _{\text{cl}}]=S[\phi _{\text{cl}}]+{\frac {i}{2}}{\text{Tr}}{\bigg [}\ln {\frac {\delta ^{2}S[\phi ]}{\delta \phi (x)\delta \phi (y)}}{\bigg |}_{\phi =\phi _{\text{cl}}}{\bigg ]}+\cdots .$

Симметрии

Симметрии классического действия $S[\phi ]$ не являются автоматически симметриями квантового эффективного действия $\Gamma [\phi ]$. Если классическое действие обладает непрерывной симметрией, зависящей от некоторого функционала $F[x,\phi ]$

$\phi (x)\rightarrow \phi (x)+\epsilon F[x,\phi ],$

то это напрямую накладывает ограничение

$0=\int d^{4}x\langle F[x,\phi ]\rangle _{J_{\phi }}{\frac {\delta \Gamma [\phi ]}{\delta \phi (x)}}.$

Это тождество является примером тождества Славнова-Тейлора . Оно идентично требованию инвариантности эффективного действия относительно преобразования симметрии

$\phi (x)\rightarrow \phi (x)+\epsilon \langle F[x,\phi ]\rangle _{J_{\phi }}.$

Эта симметрия идентична исходной симметрии для важного класса линейных симметрий.

$F[x,\phi ]=a(x)+\int d^{4}y\ b(x,y)\phi (y).$

Для нелинейных функционалов две симметрии обычно различаются, поскольку среднее нелинейного функционала не эквивалентно функционалу среднего.

Выпуклость

Очевидный эффективный потенциал $V_{0}(\phi )$ полученный с помощью теории возмущений, необходимо скорректировать до истинного эффективного потенциала $V(\phi )$, показано пунктирными линиями в области, где эти два значения не совпадают.

Для пространства-времени с объемом ${\mathcal {V}}_{4}$, эффективный потенциал определяется как $V(\phi )=-\Gamma [\phi ]/{\mathcal {V}}_{4}$. С гамильтонианом $H$, эффективный потенциал $V(\phi )$ в $\phi (x)$ всегда дает минимум ожидаемого значения плотности энергии $\langle \Omega |H|\Omega \rangle$ для множества состояний $|\Omega \rangle$ удовлетворяющий $\langle \Omega |{\hat {\phi }}|\Omega \rangle =\phi (x)$. Это определение нескольких состояний необходимо, поскольку несколько разных состояний, каждое из которых соответствует определенному току источника, могут привести к одному и тому же математическому ожиданию. Далее можно показать, что эффективный потенциал обязательно является выпуклой функцией. $V''(\phi )\geq 0$.

Вычисление эффективного потенциала пертурбативным способом иногда может дать невыпуклый результат, например, потенциал, имеющий два локальных минимума . Однако истинный эффективный потенциал по-прежнему выпуклый, становясь примерно линейным в области, где кажущийся эффективный потенциал не может быть выпуклым. Противоречие возникает в расчетах вокруг нестабильного вакуума, поскольку теория возмущений обязательно предполагает, что вакуум стабилен. Например, рассмотрим очевидный эффективный потенциал $V_{0}(\phi )$ с двумя локальными минимумами, чьи средние значения $\phi _{1}$ и $\phi _{2}$ являются ожидаемыми значениями для состояний $|\Omega _{1}\rangle$ и $|\Omega _{2}\rangle$, соответственно. Тогда любой $\phi$ в невыпуклой области $V_{0}(\phi )$ также можно приобрести за некоторые $\lambda \in [0,1]$ с использованием

$|\Omega \rangle \propto {\sqrt {\lambda }}|\Omega _{1}\rangle +{\sqrt {1-\lambda }}|\Omega _{2}\rangle .$

Однако плотность энергии этого состояния $\lambda V_{0}(\phi _{1})+(1-\lambda )V_{0}(\phi _{2})<V_{0}(\phi )$ значение $V_{0}(\phi )$ не может быть правильным эффективным потенциалом при $\phi$ поскольку это не минимизировало плотность энергии. Скорее истинный эффективный потенциал $V(\phi )$ равна или меньше этой линейной конструкции, восстанавливающей выпуклость.

См. также

• Метод фонового поля
• Корреляционная функция
• Формулировка интеграла по траектории
• Ренормгруппа
• Спонтанное нарушение симметрии

Дальнейшее чтение

• Дас, А.: Теория поля: интегральный подход , World Scientific Publishing, 2006 г.
• Шварц, доктор медицинских наук: квантовая теория поля и стандартная модель , Cambridge University Press, 2014 г.
• Томс, ди-джей: принцип действия Швингера и эффективные действия , Cambridge University Press, 2007 г.
• Вайнберг, С.: Квантовая теория полей: современные приложения , Том II, Cambridge University Press, 1996 г.