Формула сокращения LSZ

В квантовой теории поля Лемана -Симанзика-Циммермана ( LSZ ) формула приведения представляет собой метод расчета S -матрицы элементов ( амплитуды рассеяния ) из упорядоченных по времени корреляционных функций квантовой теории поля. Это шаг пути, который начинается с лагранжиана некоторой квантовой теории поля и ведет к предсказанию измеримых величин. Он назван в честь трех немецких физиков Гарри Лемана , Курта Симанзика и Вольфхарта Циммермана .

Хотя формула редукции LSZ не может обрабатывать связанные состояния , безмассовые частицы и топологические солитоны , ее можно обобщить для охвата связанных состояний с помощью составных полей , которые часто являются нелокальными. Более того, этот метод или его варианты оказались плодотворными и в других областях теоретической физики. Например, в статистической физике с их помощью можно получить особо общую формулировку флуктуационно-диссипационной теоремы .

Поля входа и выхода

S Элементы -матрицы представляют собой амплитуды переходов между входящими и выходными состояниями. В ​ состоянии $|\{p\}\ \mathrm {in} \rangle$ описывает состояние системы частиц, которые в далеком прошлом до взаимодействия свободно двигались с определенными импульсами { p }, и, наоборот, out состояние $|\{p\}\ \mathrm {out} \rangle$ описывает состояние системы частиц, которая спустя долгое время после взаимодействия будет свободно двигаться с определенными импульсами { p }.

Состояния входа и выхода являются состояниями в картине Гейзенберга, поэтому их следует считать не описывающими частицы в определенный момент времени, а, скорее, описывающими систему частиц во всей ее эволюции, так что элемент S-матрицы:

$S_{\rm {fi}}=\langle \{q\}\ \mathrm {out} |\{p\}\ \mathrm {in} \rangle$

— это амплитуда вероятности для набора частиц, которые были подготовлены с определенными импульсами { p } для взаимодействия и позже измерены как новый набор частиц с импульсами { q }.

Простой способ создавать входные и выходные состояния — значит искать подходящие операторы полей, которые обеспечивают правильные операторы создания и уничтожения . Эти поля называются соответственно входными и выходными полями:

Просто чтобы закрепить идеи, предположим, что мы имеем дело с полем Клейна-Гордона , которое взаимодействует каким-то образом, который нас не касается:

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi \partial ^{\mu }\varphi -{\frac {1}{2}}m_{0}^{2}\varphi ^{2}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }$

${\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }$ может содержать самодействие gφ ³ или взаимодействие с другими полями, например взаимодействие Юкавы $g\ \varphi {\bar {\psi }}\psi$. Из этого лагранжиана с использованием уравнений Эйлера–Лагранжа следует уравнение движения:

$\left(\partial ^{2}+m_{0}^{2}\right)\varphi (x)=j_{0}(x)$

где, если ${\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }$ не содержит производных связей:

$j_{0}={\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}{\partial \varphi }}$

Мы можем ожидать, что внутреннее поле будет напоминать асимптотическое поведение свободного поля при x ⁰ → −∞ , предполагая, что в далеком прошлом взаимодействие, описываемое током j _0, было незначительным, так как частицы находились далеко друг от друга. Эта гипотеза называется адиабатической гипотезой . Однако самодействие никогда не угасает и, помимо многих других эффектов, оно вызывает различие между лагранжевой массой m ₀ и физической массой m бозона φ - . Этот факт необходимо учесть, переписав уравнение движения следующим образом:

$\left(\partial ^{2}+m^{2}\right)\varphi (x)=j_{0}(x)+\left(m^{2}-m_{0}^{2}\right)\varphi (x)=j(x)$

Это уравнение можно решить формально, используя запаздывающую функцию Грина оператора Клейна – Гордона. $\partial ^{2}+m^{2}$:

$\Delta _{\mathrm {ret} }(x)=i\theta \left(x^{0}\right)\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}k}{(2\pi )^{3}2\omega _{k}}}\left(e^{-ik\cdot x}-e^{ik\cdot x}\right)_{k^{0}=\omega _{k}}\qquad \omega _{k}={\sqrt {\mathbf {k} ^{2}+m^{2}}}$

позволяя нам отделить взаимодействие от асимптотического поведения. Решение:

$\varphi (x)={\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)+\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)j(y)$

Коэффициент √ Z является нормировочным коэффициентом, который пригодится позже, поле φ _в является решением однородного уравнения, связанного с уравнением движения:

$\left(\partial ^{2}+m^{2}\right)\varphi _{\mathrm {in} }(x)=0,$

и, следовательно, представляет собой свободное поле , которое описывает набегающую невозмущенную волну, тогда как последний член решения дает возмущение волны из-за взаимодействия.

Поле φ _in действительно является тем полем in , которое мы искали, поскольку оно описывает асимптотическое поведение взаимодействующего поля как x ⁰ → −∞ , хотя это утверждение будет уточнено позже. Это свободное скалярное поле, поэтому его можно разложить по плоским волнам:

$\varphi _{\mathrm {in} }(x)=\int \mathrm {d} ^{3}k\left\{f_{k}(x)a_{\mathrm {in} }(\mathbf {k} )+f_{k}^{*}(x)a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {k} )\right\}$

где:

$f_{k}(x)=\left.{\frac {e^{-ik\cdot x}}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}(2\omega _{k})^{\frac {1}{2}}}}\right|_{k^{0}=\omega _{k}}$

Обратная функция для коэффициентов через поле легко может быть получена и представлена ​​в изящной форме:

$a_{\mathrm {in} }(\mathbf {k} )=i\int \mathrm {d} ^{3}xf_{k}^{*}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)$

где:

${\mathrm {g} }{\overleftrightarrow {\partial _{0}}}f=\mathrm {g} \partial _{0}f-f\partial _{0}\mathrm {g} .$

Коэффициенты Фурье удовлетворяют алгебре операторов рождения и уничтожения :

$[a_{\mathrm {in} }(\mathbf {p} ),a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )]=0;\quad [a_{\mathrm {in} }(\mathbf {p} ),a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {q} )]=\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} );$

и их можно использовать для построения состояний обычным способом:

$\left|k_{1},\ldots ,k_{n}\ \mathrm {in} \right\rangle ={\sqrt {2\omega _{k_{1}}}}a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {k} _{1})\ldots {\sqrt {2\omega _{k_{n}}}}a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {k} _{n})|0\rangle$

Связь между взаимодействующим полем и полем in не очень проста в использовании, и наличие запаздывающей функции Грина побуждает нас написать что-то вроде:

$\varphi (x)\sim {\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)\qquad \mathrm {as} \quad x^{0}\to -\infty$

неявно делая предположение, что все взаимодействия становятся незначительными, когда частицы находятся далеко друг от друга. Однако ток j ( x ) содержит также самодействия, подобные тем, которые вызывают сдвиг массы от m ₀ до m . Эти взаимодействия не исчезают по мере разлета частиц, поэтому необходимо проявлять большую осторожность при установлении асимптотических отношений между взаимодействующим полем и внутренним полем.

Правильный рецепт, разработанный Леманном, Симанзиком и Циммерманом, требует двух нормализуемых состояний. $|\alpha \rangle$ и $|\beta \rangle$и нормируемое решение   f ( x ) уравнения Клейна–Гордона $(\partial ^{2}+m^{2})f(x)=0$. С помощью этих частей можно сформулировать правильное и полезное, но очень слабое асимптотическое соотношение:

$\lim _{x^{0}\to -\infty }\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi (x)|\beta \rangle ={\sqrt {Z}}\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)|\beta \rangle$

Второй член действительно не зависит от времени, как можно показать, продифференцировав и вспомнив, что и φ _in, и   f   удовлетворяют уравнению Клейна – Гордона.

При соответствующих изменениях те же шаги можно выполнить для создания выходного поля, которое формирует состояния . В частности, определение внешнего поля следующее:

$\varphi (x)={\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {out} }(x)+\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {adv} }(x-y)j(y)$

где Δ _adv ( x − y ) — расширенная функция Грина оператора Клейна – Гордона. Слабая асимптотическая связь между внешним полем и взаимодействующим полем:

$\lim _{x^{0}\to \infty }\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi (x)|\beta \rangle ={\sqrt {Z}}\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi _{\mathrm {out} }(x)|\beta \rangle$

Формула приведения скаляров

Асимптотические соотношения — это все, что необходимо для получения формулы приведения LSZ. Для удобства в будущем начнем с матричного элемента:

${\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})|\alpha \ \mathrm {in} \rangle$

который является немного более общим, чем элемент S -матрицы. Действительно, ${\mathcal {M}}$ - это математическое ожидание упорядоченного по времени продукта ряда полей $\varphi (y_{1})\cdots \varphi (y_{n})$ между состоянием «выход» и состоянием «вход» . Внешнее состояние может содержать что угодно — от вакуума до неопределенного числа частиц, импульсы которых суммируются индексом β . Состояние in содержит по крайней мере частицу с импульсом p и, возможно, множество других, импульсы которых суммируются индексом α . Если в почасовом товаре нет полей, то ${\mathcal {M}}$ очевидно, является элементом S -матрицы. Частицу с импульсом p можно «извлечь» из внутреннего состояния с помощью оператора создания:

${\mathcal {M}}={\sqrt {2\omega _{p}}}\ \left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {p} ){\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle$

где премьера $\alpha$ означает, что одна частица была удалена. Предполагая, что состоянии нет частиц с импульсом p в исходном , то есть пренебрегая рассеянием вперед, мы можем написать:

${\mathcal {M}}={\sqrt {2\omega _{p}}}\ \left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\left\{\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {p} )-a_{\mathrm {out} }^{\dagger }(\mathbf {p} )\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\right\}{\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle$

потому что $a_{\mathrm {out} }^{\dagger }$ действие слева дает ноль. Выражая строительных операторов через внутренние и внешние поля, мы имеем:

${\mathcal {M}}=-i{\sqrt {2\omega _{p}}}\ \int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\left\{\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\varphi _{\mathrm {in} }(x)-\varphi _{\mathrm {out} }(x)\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\right\}{\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle$

Теперь мы можем использовать асимптотическое условие, чтобы записать:

${\mathcal {M}}=-i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\left\{\lim _{x^{0}\to -\infty }\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\varphi (x)|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle -\lim _{x^{0}\to \infty }\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\varphi (x)\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle \right\}$

Затем мы замечаем, что поле φ ( x ) можно внести внутрь упорядоченного по времени произведения, поскольку оно появляется справа, когда x ⁰ → −∞ и слева, когда x ⁰ → ∞ :

${\mathcal {M}}=-i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\left(\lim _{x^{0}\to -\infty }-\lim _{x^{0}\to \infty }\right)\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle$

В дальнейшем значение имеет зависимость от x в упорядоченном по времени произведении, поэтому мы устанавливаем:

$\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle =\eta (x)$

Путем явного проведения интегрирования по времени можно показать, что:

${\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} (x^{0})\partial _{0}\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\eta (x)$

так что в результате явного вывода времени мы имеем:

${\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} ^{4}x\left\{f_{p}(x)\partial _{0}^{2}\eta (x)-\eta (x)\partial _{0}^{2}f_{p}(x)\right\}$

По его определению мы видим, что   f _p ( x ) является решением уравнения Клейна – Гордона, которое можно записать как:

$\partial _{0}^{2}f_{p}(x)=\left(\Delta -m^{2}\right)f_{p}(x)$

Подставляя в выражение для ${\mathcal {M}}$ и интегрируя по частям, придем к:

${\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} ^{4}xf_{p}(x)\left(\partial _{0}^{2}-\Delta +m^{2}\right)\eta (x)$

То есть:

${\mathcal {M}}={\frac {i}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\int \mathrm {d} ^{4}xe^{-ip\cdot x}\left(\Box +m^{2}\right)\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle$

можно извлечь еще одну частицу Исходя из этого результата и следуя по тому же пути, из состояния in , что приведет к включению другого поля в упорядоченное по времени произведение. Очень похожая процедура может извлекать частицы из исходного состояния, и их можно повторять, чтобы получить вакуум как справа, так и слева от упорядоченного по времени продукта, что приводит к общей формуле:

$\langle p_{1},\ldots ,p_{n}\ \mathrm {out} |q_{1},\ldots ,q_{m}\ \mathrm {in} \rangle =\int \prod _{i=1}^{m}\left\{\mathrm {d} ^{4}x_{i}{\frac {ie^{-iq_{i}\cdot x_{i}}\left(\Box _{x_{i}}+m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\prod _{j=1}^{n}\left\{\mathrm {d} ^{4}y_{j}{\frac {ie^{ip_{j}\cdot y_{j}}\left(\Box _{y_{j}}+m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\langle \Omega |\mathrm {T} \varphi (x_{1})\ldots \varphi (x_{m})\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})|\Omega \rangle$

Это формула приведения LSZ для скаляров Клейна – Гордона. Он приобретет гораздо лучший вид, если будет записан с использованием преобразования Фурье корреляционной функции:

$\Gamma \left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)=\int \prod _{i=1}^{n}\left\{\mathrm {d} ^{4}x_{i}e^{ip_{i}\cdot x_{i}}\right\}\langle \Omega |\mathrm {T} \ \varphi (x_{1})\ldots \varphi (x_{n})|\Omega \rangle$

Используя обратное преобразование для подстановки в формулу приведения LSZ, приложив некоторые усилия, можно получить следующий результат:

$\langle p_{1},\ldots ,p_{n}\ \mathrm {out} |q_{1},\ldots ,q_{m}\ \mathrm {in} \rangle =\prod _{i=1}^{m}\left\{-{\frac {i\left(p_{i}^{2}-m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\prod _{j=1}^{n}\left\{-{\frac {i\left(q_{j}^{2}-m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\Gamma \left(p_{1},\ldots ,p_{n};-q_{1},\ldots ,-q_{m}\right)$

Оставляя в стороне нормировочные коэффициенты, эта формула утверждает, что элементы S -матрицы являются остатками полюсов, возникающих в преобразовании Фурье корреляционных функций при помещении четырехимпульсов на оболочку.

Формула восстановления фермионов

Напомним, что решения квантованного уравнения Дирака в свободном поле можно записать в виде

$\Psi (x)=\sum _{s=\pm }\int \!\mathrm {d} {\tilde {p}}{\big (}b_{\textbf {p}}^{s}u_{\textbf {p}}^{s}\mathrm {e} ^{ip\cdot x}+d_{\textbf {p}}^{\dagger s}v_{\textbf {p}}^{s}\mathrm {e} ^{-ip\cdot x}{\big )},$

где подпись метрики в основном плюс, $b_{\textbf {p}}^{s}$ — оператор уничтожения частиц b-типа с импульсом ${\textbf {p}}$ и вращаться $s=\pm$, $d_{\textbf {p}}^{\dagger s}$ — оператор рождения частиц d-типа со спином $s$, и спиноры $u_{\textbf {p}}^{s}$ и $v_{\textbf {p}}^{s}$ удовлетворить $(p\!\!\!/+m)u_{\textbf {p}}^{s}=0$ и $(p\!\!\!/-m)v_{\textbf {p}}^{s}=0$. Лоренц-инвариантная мера записывается как $\mathrm {d} {\tilde {p}}:=\mathrm {d} ^{3}p/(2\pi )^{3}2\omega _{\textbf {p}}$, с $\omega _{\textbf {p}}={\sqrt {{\textbf {p}}^{2}+m^{2}}}$. Рассмотрим теперь событие рассеяния, состоящее состояния из $|\alpha \ \mathrm {in} \rangle$ невзаимодействующих частиц, приближающихся к области взаимодействия в начале координат, где происходит рассеяние, за которым следует выходное состояние $|\beta \ \mathrm {out} \rangle$ исходящих невзаимодействующих частиц. Амплитуда вероятности этого процесса определяется выражением

${\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {out} |\alpha \ \mathrm {in} \rangle ,$

куда для простоты не было добавлено дополнительное упорядоченное по времени произведение операторов полей. Рассматриваемой ситуацией будет рассеяние $n$ частицы b-типа $n'$ частицы b-типа. Предположим, что состояние in состоит из $n$ частицы с импульсами $\{{\textbf {p}}_{1},...,{\textbf {p}}_{n}\}$ и вращается $\{s_{1},...,s_{n}\}$, а выходное состояние содержит частицы с импульсами $\{{\textbf {k}}_{1},...,{\textbf {k}}_{n'}\}$ и вращается $\{\sigma _{1},...,\sigma _{n'}\}$. Состояния входа и выхода тогда определяются выражением

$|\alpha \ \mathrm {in} \rangle =|{\textbf {p}}_{1}^{s_{1}},...,{\textbf {p}}_{n}^{s_{n}}\rangle \quad {\text{and}}\quad |\beta \ \mathrm {out} \rangle =|{\textbf {k}}_{1}^{\sigma _{1}},...,{\textbf {k}}_{n'}^{\sigma _{n'}}\rangle .$

Извлечение in- частицы из $|\alpha \ \mathrm {in} \rangle$ дает оператор создания свободного поля $b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {in} }^{\dagger s_{1}}$ действуя на состояние, в котором на одну частицу меньше. Предполагая, что ни одна вылетающая частица не имеет такого же импульса, мы можем написать

${\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {out} |b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {in} }^{\dagger s_{1}}-b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {out} }^{\dagger s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ,$

где премьера $\alpha$ означает, что одна частица была удалена. Теперь вспомним, что в свободной теории операторы частиц b-типа можно записать в терминах поля с помощью обратного соотношения

$b_{\textbf {p}}^{\dagger s}=\int \!\mathrm {d} ^{3}x\;\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s},$

где ${\bar {\Psi }}(x)=\Psi ^{\dagger }(x)\gamma ^{0}$. Обозначая асимптотические свободные поля через $\Psi _{\text{in}}$ и $\Psi _{\text{out}}$, мы находим

${\mathcal {M}}=\int \!\mathrm {d} ^{3}x_{1}\;\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\text{in}}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}-{\bar {\Psi }}_{\text{out}}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .$

Слабое асимптотическое условие, необходимое для поля Дирака, аналогичное условию для скалярных полей, имеет вид

$\lim _{x^{0}\rightarrow -\infty }\int \!\mathrm {d} ^{3}x\langle \beta |\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s}|\alpha \rangle ={\sqrt {Z}}\int \!\mathrm {d} ^{3}x\langle \beta |\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}_{\text{in}}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s}|\alpha \rangle ,$

и то же самое для дальнего поля. Тогда амплитуда рассеяния равна

${\mathcal {M}}={\frac {1}{\sqrt {Z}}}{\Big (}\lim _{x_{1}^{0}\rightarrow -\infty }-\lim _{x_{1}^{0}\rightarrow +\infty }{\Big )}\int \!\mathrm {d} ^{3}x_{1}\;\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ,$

где теперь взаимодействующее поле появляется во внутреннем продукте. Переписывая пределы через интеграл от производной по времени, мы имеем

${\mathcal {M}}=-{\frac {1}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}\partial _{0}{\big (}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle {\big )}$

$=-{\frac {1}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}(\partial _{0}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\eta (x_{1})+\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\partial _{0}\eta (x_{1}){\big )}\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}},$

где вектор-строка матричных элементов поля Дирака с перемычкой записывается как $\eta (x_{1}):=\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle$. Теперь вспомните, что $\mathrm {e} ^{ip\cdot x}u_{\textbf {p}}^{s}$ является решением уравнения Дирака:

$(-i\partial \!\!\!/+m)\mathrm {e} ^{ip\cdot x}u_{\textbf {p}}^{s}=0.$

Решение для $\gamma ^{0}\partial _{0}\mathrm {e} ^{ip\cdot x}u_{\textbf {p}}^{s}$, подставляя его в первое слагаемое интеграла и производя интегрирование по частям, получаем

${\mathcal {M}}={\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}{\big (}i\partial _{\mu }\eta (x_{1})\gamma ^{\mu }+\eta (x_{1})m{\big )}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}.$

Переход к обозначению индекса Дирака (с суммами по повторяющимся индексам) позволяет получить более аккуратное выражение, в котором величину в квадратных скобках следует рассматривать как дифференциальный оператор:

${\mathcal {M}}={\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}[(i{\partial \!\!\!/}_{x_{1}}+m)u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}]_{\alpha _{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .$

Рассмотрим далее матричный элемент, входящий в интеграл. Извлекая оператор создания внешнего состояния и вычитая соответствующий оператор входного состояния, при условии, что ни одна входящая частица не имеет такого же импульса, мы имеем

$\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle =\langle \beta '\ \mathrm {out} |b_{{\textbf {k}}_{1},\mathrm {out} }^{\sigma _{1}}{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})-{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})b_{{\textbf {k}}_{1},\mathrm {in} }^{\sigma _{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .$

Вспоминая это $({\bar {\Psi }}\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s})^{\dagger }={\bar {u}}_{\textbf {p}}^{s}\gamma ^{0}\Psi$, где ${\bar {u}}_{\textbf {p}}^{s}:=u_{\textbf {p}}^{\dagger s}\beta$, мы можем заменить операторы уничтожения на in поля, используя сопряженное обратное отношение. Применяя асимптотическое соотношение, находим

$\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ={\frac {1}{\sqrt {Z}}}{\Big (}\lim _{y_{1}^{0}\rightarrow \infty }-\lim _{y_{1}^{0}\rightarrow -\infty }{\Big )}\int \!\mathrm {d} ^{3}y_{1}\mathrm {e} ^{-ik_{1}\cdot y_{1}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{1}}^{\sigma _{1}}\gamma ^{0}]_{\beta _{1}}\langle \beta '\ \mathrm {out} |\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1}){\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .$

Обратите внимание, что появился символ временного порядка, поскольку первый член требует $\Psi _{\beta _{1}}(y_{1})$ слева, а второй член требует этого справа. Следуя тем же шагам, что и раньше, это выражение сводится к

$\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ={\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}y_{1}\mathrm {e} ^{-ik_{1}\cdot y_{1}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{1}}^{\sigma _{1}}(-i\partial \!\!\!/_{y_{1}}+m)]_{\beta _{1}}\langle \beta '\ \mathrm {out} |\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1}){\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .$

Остальные состояния входа и выхода затем можно извлечь и уменьшить таким же образом, что в конечном итоге приведет к

$\langle \beta \ \mathrm {out} |\alpha \ \mathrm {in} \rangle =\int \!\prod _{j=1}^{n}\mathrm {d} ^{4}x_{j}{\frac {i\mathrm {e} ^{-ip_{j}x_{j}}}{\sqrt {Z}}}[(i{\partial \!\!\!/}_{x_{j}}+m)u_{{\textbf {p}}_{j}}^{s_{j}}]_{\alpha _{j}}\prod _{l=1}^{n'}\mathrm {d} ^{4}y_{l}{\frac {i\mathrm {e} ^{ik_{l}y_{l}}}{\sqrt {Z}}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{l}}^{\sigma _{l}}(-i{\partial \!\!\!/}_{y_{l}}+m)]_{\beta _{l}}\langle 0|\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1})...\Psi _{\beta _{n'}}(y_{n'}){\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})...{\bar {\Psi }}_{\alpha _{n}}(x_{n})]|0\rangle .$

Ту же процедуру можно проделать и для рассеяния частиц d-типа, для которых $u_{\textbf {p}}^{s}$заменяются на $v_{\textbf {p}}^{s}$'песок $\Psi$'песок ${\bar {\Psi }}$поменяны местами.

поля

Причину коэффициента нормализации Z в определении входных и внешних полей можно понять, взяв эту связь между вакуумом и одночастичным состоянием. $|p\rangle$ с четырехмоментным на снаряде:

$\langle 0|\varphi (x)|p\rangle ={\sqrt {Z}}\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle +\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)\langle 0|j(y)|p\rangle$

Помня, что и φ, и φ _in являются скалярными полями с преобразованием Лоренца согласно:

$\varphi (x)=e^{iP\cdot x}\varphi (0)e^{-iP\cdot x}$

где Р ^м — оператор четырех импульсов, мы можем написать:

$e^{-ip\cdot x}\langle 0|\varphi (0)|p\rangle ={\sqrt {Z}}e^{-ip\cdot x}\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(0)|p\rangle +\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)\langle 0|j(y)|p\rangle$

Применяя оператор Клейна–Гордона ∂ ² + м ² с обеих сторон, помня, что четырехмомент p находится на оболочке и что Δ _ret является функцией Грина оператора, получаем:

$0=0+\int \mathrm {d} ^{4}y\delta ^{4}(x-y)\langle 0|j(y)|p\rangle ;\quad \Leftrightarrow \quad \langle 0|j(x)|p\rangle =0$

Итак, мы приходим к соотношению:

$\langle 0|\varphi (x)|p\rangle ={\sqrt {Z}}\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle$

объясняет необходимость фактора Z. что Поле in является свободным полем, поэтому оно может связывать только одночастичные состояния с вакуумом. То есть его математическое ожидание между вакуумом и многочастичным состоянием равно нулю. С другой стороны, благодаря взаимодействию взаимодействующее поле также может соединять многочастичные состояния с вакуумом, поэтому средние значения в двух частях последнего уравнения различны и требуют промежуточного коэффициента нормализации. Правую часть можно вычислить явно, расширив поле in операторами создания и уничтожения:

$\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle =\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}q}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}(2\omega _{q})^{\frac {1}{2}}}}e^{-iq\cdot x}\langle 0|a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )|p\rangle =\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}q}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}e^{-iq\cdot x}\langle 0|a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {p} )|0\rangle$

Используя коммутационное соотношение in _и между $a_{\mathrm {in} }^{\dagger }$ мы получаем:

$\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle ={\frac {e^{-ip\cdot x}}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}$

приводящее к отношению:

$\langle 0|\varphi (0)|p\rangle ={\sqrt {\frac {Z}{(2\pi )^{3}}}}$

с помощью которого можно вычислить значение Z , при условии, что кто-то знает, как вычислить $\langle 0|\varphi (0)|p\rangle$.