Операторы рождения и уничтожения могут действовать на состояния различных типов частиц. Например, в квантовой химии и теории многих тел операторы рождения и уничтожения часто действуют на электронные состояния. Они также могут относиться конкретно к лестничным операторам квантового гармонического осциллятора . В последнем случае повышающий оператор интерпретируется как оператор создания, добавляющий в колебательную систему квант энергии (аналогично для понижающего оператора). Их можно использовать для представления фононов . Построение гамильтонианов с использованием этих операторов имеет то преимущество, что теория автоматически удовлетворяет теореме о кластерном разложении . [3]
В контексте квантового гармонического осциллятора лестничные операторы интерпретируются как операторы создания и уничтожения, добавляющие или вычитающие фиксированные кванты энергии в систему осцилляторов.
Используя приведенные выше коммутационные соотношения, оператор Гамильтона можно выразить как
Можно вычислить коммутационные соотношения между и операторы и гамильтониан: [6]
Эти соотношения можно использовать, чтобы легко найти все собственные состояния энергии квантового гармонического осциллятора следующим образом.
При условии, что является собственным состоянием гамильтониана . Используя эти коммутационные соотношения, следует, что [6]
Это показывает, что и также являются собственными состояниями гамильтониана с собственными значениями и соответственно. Это идентифицирует операторов и как операторы «понижения» и «повышения» между соседними собственными состояниями. Разность энергий между соседними собственными состояниями равна .
Основное состояние можно найти, предположив, что понижающий оператор имеет нетривиальное ядро: с . Применяя гамильтониан к основному состоянию,
Так является собственной функцией гамильтониана.
Это дает энергию основного состояния , что позволяет идентифицировать собственное значение энергии любого собственного состояния как [6]
Более того, оказывается, что первый из упомянутых операторов в (*), числовой оператор играет самую важную роль в приложениях, а вторая, можно просто заменить на .
Записанная в виде дифференциального уравнения, волновая функция удовлетворяет условию
с решением
Константа нормализации C оказывается равной от , используя интеграл Гаусса . Явные формулы для всех собственных функций теперь можно найти повторным применением к . [7]
Матричное выражение операторов рождения и уничтожения квантового гармонического осциллятора относительно указанного выше ортонормированного базиса имеет вид
Их можно получить через отношения и . Собственные векторы относятся к квантовому гармоническому осциллятору и иногда называются «числовым базисом».
В случае представления в гильбертовом пространстве операторы строятся следующим образом: Пусть быть одночастичным гильбертовым пространством (то есть любым гильбертовым пространством, рассматриваемым как представляющее состояние одной частицы).
( Бозонная ) алгебра CCR над — это оператор алгебры с сопряжением (называемый * ), абстрактно порожденный элементами , где свободно перемещается по , с учетом отношений
Карта от к бозонной алгебре CCR требуется, чтобы она была комплексно антилинейной (это добавляет больше отношений). Его сопряжение и карта является комплексным линейным по H . Таким образом встраивается как комплексное векторное подпространство в собственную алгебру CCR. В представлении этой алгебры элемент будет реализован как оператор уничтожения, а в качестве оператора создания.
В общем, алгебра CCR бесконечномерна. Если мы возьмем пополнение банахового пространства, оно станет C*-алгеброй . Алгебра CCR над тесно связана с алгеброй Вейля , но не идентична ей . [ нужны разъяснения ]
Алгебра CAR конечномерна только тогда, когда является конечномерным. Если мы возьмем пополнение банахового пространства (необходимое только в бесконечномерном случае), оно станет алгебра. Алгебра CAR тесно связана с алгеброй Клиффорда , но не идентична ей . [ нужны разъяснения ]
Физически говоря, удаляет (т.е. аннигилирует) частицу в состоянии тогда как создает частицу в состоянии .
Если нормируется так, что , затем дает количество частиц в состоянии .
Операторы рождения и уничтожения для уравнений диффузии реакции -
Описание операторов уничтожения и рождения также оказалось полезным для анализа классических уравнений реакции диффузии, например, ситуации, когда газ молекул диффундируют и взаимодействуют при контакте, образуя инертный продукт: . Чтобы увидеть, как такого рода реакции можно описать с помощью формализма операторов уничтожения и создания, рассмотрим частицы в узле i одномерной решетки. Каждая частица движется вправо или влево с определенной вероятностью, и каждая пара частиц в одном и том же месте аннигилирует друг друга с некоторой другой вероятностью.
Вероятность того, что одна частица покинет узел за короткий промежуток времени dt, пропорциональна , скажем, вероятность прыгнуть влево и прыгать правильно. Все частицы останутся на месте с вероятностью . (Поскольку время dt настолько короткое, вероятность того, что двое или более уйдут во время dt, очень мала и будет проигнорирована.)
Теперь мы можем описать заселенность решетки частицами как «кет» вида . Он представляет собой сопоставление (или соединение, или тензорное произведение) числовых состояний. , расположены в отдельных узлах решетки. Напомним, что
и
для всех n ≥ 0 , а
Это определение операторов теперь будет изменено, чтобы учесть «неквантовую» природу этой проблемы, и мы будем использовать следующее определение: [9]
отметим, что хотя поведение операторов на кетах было изменено, эти операторы по-прежнему подчиняются коммутационному соотношению
Теперь определите так что это применимо к . Соответственно определим как подать заявку к . Так, например, чистый эффект заключается в перемещении частицы из -th на i -й узел при умножении на соответствующий коэффициент.
Это позволяет записать чисто диффузионное поведение частиц как
Член реакции можно определить, заметив, что частицы могут взаимодействовать в разными способами, так что вероятность аннигилирования пары равна , давая член
где числовое состояние n заменяется числовым состоянием n - 2 на узле по определенной ставке.
Таким образом, государство развивается путем
Другие виды взаимодействий могут быть включены аналогичным образом.
Такой тип обозначений позволяет использовать методы квантовой теории поля при анализе реакционно-диффузионных систем. [10]
на единицу, по аналогии с гармоническим осциллятором. Индексы (такие как ) представляют собой квантовые числа , обозначающие одночастичные состояния системы; следовательно, это не обязательно отдельные числа. Например, кортеж квантовых чисел используется для обозначения состояний атома водорода .
Коммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения в системе нескольких бозонов таковы:
Поэтому замена непересекающихся (т.е. ) операторы в произведениях операторов рождения или уничтожения меняют знак в фермионных системах, но не в бозонных системах.
Если состояния, отмеченные i, являются ортонормированным базисом гильбертова пространства H , то результат этой конструкции совпадает с конструкцией алгебры CCR и алгебры CAR из предыдущего раздела, кроме одного. Если они представляют собой «собственные векторы», соответствующие непрерывному спектру некоторого оператора, как для несвязанных частиц в КТП, тогда интерпретация более тонкая.
^ Нормальный оператор имеет представление A = B + i C , где B , C самосопряжены и коммутируют , т.е. . Напротив, a имеет представление где самосопряжены, но . Тогда B и C имеют общий набор собственных функций (и одновременно диагонализуемы), тогда как p и q , как известно, не имеют и не являются таковыми.
^ Баэз, Джон Карлос (2011). Теория сетей (серия сообщений в блоге; первый пост ). Позже адаптирован в Баэз, Джон Карлос; Биамонте, Джейкоб Д. (апрель 2018 г.). Квантовые методы в стохастической механике . дои : 10.1142/10623 .
^ Зи, А. (2003). Квантовая теория поля в двух словах . Издательство Принстонского университета. п. 63. ИСБН 978-0691010199 .
Альберт Мессия , 1966. Квантовая механика (Том I), английский перевод с французского Г. М. Теммера. Северная Голландия, Джон Уайли и сыновья. Ч. XII. В сети
Arc.Ask3.Ru Номер скриншота №: 53D4B9D5FEECC53BB256A1837DDB79EF__1716603300 URL1:https://en.wikipedia.org/wiki/Creation_and_annihilation_operators Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1: Creation and annihilation operators - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть, любые претензии не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, денежную единицу можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)