Операторы создания и уничтожения

Операторы рождения и операторы уничтожения — это математические операторы , которые имеют широкое применение в квантовой механике , особенно при изучении квантовых гармонических осцилляторов и многочастичных систем. Оператор уничтожения (обычно обозначаемый ${\hat {a}}$) уменьшает количество частиц в данном состоянии на одну. Оператор создания (обычно обозначается ${\hat {a}}^{\dagger }$) увеличивает число частиц в данном состоянии на одну и является сопряженным оператором уничтожения. Во многих разделах физики и химии использование этих операторов вместо волновых функций известно как второе квантование . Их представил Поль Дирак .

Операторы рождения и уничтожения могут действовать на состояния различных типов частиц. Например, в квантовой химии и теории многих тел операторы рождения и уничтожения часто действуют на электронные состояния. Они также могут относиться конкретно к лестничным операторам квантового гармонического осциллятора . В последнем случае повышающий оператор интерпретируется как оператор создания, добавляющий в колебательную систему квант энергии (аналогично для понижающего оператора). Их можно использовать для представления фононов . Построение гамильтонианов с использованием этих операторов имеет то преимущество, что теория автоматически удовлетворяет теореме о кластерном разложении .

Математика операторов рождения и уничтожения бозонов такая же, как и для лестничных операторов квантового гармонического осциллятора . Например, коммутатор операторов рождения и уничтожения, связанных с одним и тем же состоянием бозона, равен единице, а все остальные коммутаторы исчезают. Однако для фермионов математика другая: используются антикоммутаторы . вместо коммутаторов

квантового

Основная статья: Квантовый гармонический осциллятор § Метод лестничного оператора

См. Также: Оператор лестницы.

В контексте квантового гармонического осциллятора лестничные операторы интерпретируются как операторы создания и уничтожения, добавляющие или вычитающие фиксированные кванты энергии в систему осцилляторов.

Операторы рождения/уничтожения различны для бозонов (целый спин) и фермионов (полуцелый спин). Это происходит потому, что их волновые функции имеют разные свойства симметрии .

Сначала рассмотрим более простой бозонный случай фотонов квантового гармонического осциллятора.Начнем с уравнения Шредингера для одномерного независимого от времени квантового гармонического осциллятора :

$$\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).$$

Сделайте замену координат, чтобы обезразмерить дифференциальное уравнение.

$$x\ =\ {\sqrt {\frac {\hbar }{m\omega }}}q.$$

Уравнение Шрёдингера для генератора принимает вид

$${\frac {\hbar \omega }{2}}\left(-{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}\right)\psi (q)=E\psi (q).$$

Обратите внимание, что количество $\hbar \omega =h\nu$ — та же энергия, что и для квантов света , и что скобка в гамильтониане может быть записана как

$$-{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}.$$

Последние два члена можно упростить, рассмотрев их влияние на произвольную дифференцируемую функцию. $f(q),$

$$\left({\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}\right)f(q)={\frac {d}{dq}}(qf(q))-q{\frac {df(q)}{dq}}=f(q)$$

что подразумевает,

$${\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}=1,$$

совпадающее с обычным каноническим коммутационным соотношением $-i[q,p]=1$, в представлении пространства позиций: $p:=-i{\frac {d}{dq}}$.

Поэтому,

$$-{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+1$$

и уравнение Шредингера для осциллятора при замене приведенного выше и перестановке коэффициента 1/2 принимает вид

$$\hbar \omega \left[{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right){\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {1}{2}}\right]\psi (q)=E\psi (q).$$

Если определить

$$a^{\dagger }\ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)$$

как «оператор создания» или «оператор повышения» и

$$a\ \ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\ \ \ \!{\frac {d}{dq}}+q\right)$$

в качестве «оператора уничтожения» или «оператора понижения» уравнение Шрёдингера для осциллятора сводится к

$$\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi (q)=E\psi (q).$$

Это значительно проще исходной формы. Дальнейшие упрощения этого уравнения позволяют получить все перечисленные выше свойства.

Сдача в аренду $p=-i{\frac {d}{dq}}$, где $p$ — безразмерный оператор импульса у одного есть

$$[q,p]=i\,$$

и

$${\begin{aligned}a&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q+ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q+{\frac {d}{dq}}\right)\\[1ex]a^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q-ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q-{\frac {d}{dq}}\right).\end{aligned}}$$

Обратите внимание, что они подразумевают

$$[a,a^{\dagger }]={\frac {1}{2}}[q+ip,q-ip]={\frac {1}{2}}([q,-ip]+[ip,q])=-{\frac {i}{2}}([q,p]+[q,p])=1.$$

Операторы $a\,$ и $a^{\dagger }\,$ можно противопоставить обычным операторам , которые коммутируют со своими сопряженными.

Используя приведенные выше коммутационные соотношения, оператор Гамильтона можно выразить как

$${\hat {H}}=\hbar \omega \left(a\,a^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \left(a^{\dagger }\,a+{\frac {1}{2}}\right).\qquad \qquad (*)$$

Можно вычислить коммутационные соотношения между $a\,$ и $a^{\dagger }\,$ операторы и гамильтониан:

$${\begin{aligned}\left[{\hat {H}},a\right]&=\left[\hbar \omega \left(aa^{\dagger }-{\tfrac {1}{2}}\right),a\right]=\hbar \omega \left[aa^{\dagger },a\right]=\hbar \omega \left(a[a^{\dagger },a]+[a,a]a^{\dagger }\right)=-\hbar \omega a.\\[1ex]\left[{\hat {H}},a^{\dagger }\right]&=\hbar \omega \,a^{\dagger }.\end{aligned}}$$

Эти соотношения можно использовать, чтобы легко найти все собственные состояния энергии квантового гармонического осциллятора следующим образом.

Предполагая, что $\psi _{n}$ является собственным состоянием гамильтониана ${\hat {H}}\psi _{n}=E_{n}\,\psi _{n}$. Используя эти коммутационные соотношения, следует, что

$${\begin{aligned}{\hat {H}}\,a\psi _{n}&=(E_{n}-\hbar \omega )\,a\psi _{n}.\\[1ex]{\hat {H}}\,a^{\dagger }\psi _{n}&=(E_{n}+\hbar \omega )\,a^{\dagger }\psi _{n}.\end{aligned}}$$

Это показывает, что $a\psi _{n}$ и $a^{\dagger }\psi _{n}$ также являются собственными состояниями гамильтониана с собственными значениями $E_{n}-\hbar \omega$ и $E_{n}+\hbar \omega$ соответственно. Это идентифицирует операторов $a$ и $a^{\dagger }$ как операторы «понижения» и «повышения» между соседними собственными состояниями. Разность энергий между соседними собственными состояниями равна $\Delta E=\hbar \omega$.

Основное состояние можно найти, предположив, что понижающий оператор имеет нетривиальное ядро: $a\,\psi _{0}=0$ с $\psi _{0}\neq 0$. Применяя гамильтониан к основному состоянию,

$${\hat {H}}\psi _{0}=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi _{0}=\hbar \omega a^{\dagger }a\psi _{0}+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=0+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=E_{0}\psi _{0}.$$

Так $\psi _{0}$ является собственной функцией гамильтониана.

Это дает энергию основного состояния $E_{0}=\hbar \omega /2$, что позволяет идентифицировать собственное значение энергии любого собственного состояния $\psi _{n}$ как

$$E_{n}=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\hbar \omega .$$

Более того, оказывается, что первый из упомянутых операторов в (*), числовой оператор $N=a^{\dagger }a\,,$ играет самую важную роль в приложениях, а вторая, $aa^{\dagger }\,$ можно просто заменить на $N+1$.

Следовательно,

$$\hbar \omega \,\left(N+{\tfrac {1}{2}}\right)\,\psi (q)=E\,\psi (q)~.$$

времени оператор эволюции во Тогда

$${\begin{aligned}U(t)&=\exp(-it{\hat {H}}/\hbar )=\exp(-it\omega (a^{\dagger }a+1/2))~,\\[1ex]&=e^{-it\omega /2}~\sum _{k=0}^{\infty }{(e^{-i\omega t}-1)^{k} \over k!}a^{{\dagger }{k}}a^{k}~.\end{aligned}}$$

Явные собственные функции

Основное состояние $\ \psi _{0}(q)$ квантового гармонического осциллятора можно найти, наложив условие, что

$$a\ \psi _{0}(q)=0.$$

Записанная в виде дифференциального уравнения, волновая функция удовлетворяет условию

$$q\psi _{0}+{\frac {d\psi _{0}}{dq}}=0$$

с решением

$$\psi _{0}(q)=C\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}q^{2}\right).$$

Константа нормализации C оказывается равной $1/{\sqrt[{4}]{\pi }}$ от ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{0}^{*}\psi _{0}\,dq=1}$, используя интеграл Гаусса . Явные формулы для всех собственных функций теперь можно найти повторным применением $a^{\dagger }$ к $\psi _{0}$.

Матричное представление

Матричное выражение операторов рождения и уничтожения квантового гармонического осциллятора относительно указанного выше ортонормированного базиса имеет вид

$${\begin{aligned}a^{\dagger }&={\begin{pmatrix}0&0&0&0&\dots &0&\dots \\{\sqrt {1}}&0&0&0&\dots &0&\dots \\0&{\sqrt {2}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {3}}&0&\dots &0&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\dots &\dots \\0&0&0&\dots &{\sqrt {n}}&0&\dots &\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}\\[1ex]a&={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {2}}&0&\dots &0&\dots \\0&0&0&{\sqrt {3}}&\dots &0&\dots \\0&0&0&0&\ddots &\vdots &\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &{\sqrt {n}}&\dots \\0&0&0&0&\dots &0&\ddots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}\end{aligned}}$$

Их можно получить через отношения $a_{ij}^{\dagger }=\left\langle \psi _{i}\right|a^{\dagger }\left|\psi _{j}\right\rangle$ и $a_{ij}=\left\langle \psi _{i}\right|a\left|\psi _{j}\right\rangle$. Собственные векторы $\psi _{i}$ относятся к квантовому гармоническому осциллятору и иногда называются «числовым базисом».

создания и

Основная статья: алгебры CCR и CAR

См. Также: Оператор лестницы.

Благодаря теории представлений и C*-алгебрам, выведенные выше операторы на самом деле являются конкретным примером более обобщенного понятия операторов рождения и уничтожения в контексте алгебр CCR и CAR . Математически и даже в более общем смысле лестничные операторы можно понимать в контексте корневой системы полупростой группы Ли и связанной с ней полупростой алгебры Ли без необходимости реализации представления в виде операторов в функциональном гильбертовом пространстве .

В случае представления в гильбертовом пространстве операторы строятся следующим образом: Пусть $H$ быть одночастичным гильбертовым пространством (то есть любым гильбертовым пространством, рассматриваемым как представляющее состояние одной частицы).( Бозонная ) алгебра CCR над $H$ — это оператор алгебры с сопряжением (называемый * ), абстрактно порожденный элементами $a(f)$, где $f\,$свободно перемещается по $H$, с учетом отношений

$${\begin{aligned}\left[a(f),a(g)\right]&=\left[a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\right]=0\\[1ex]\left[a(f),a^{\dagger }(g)\right]&=\langle f\mid g\rangle ,\end{aligned}}$$

в обозначениях бра-кет .

Карта $a:f\to a(f)$ от $H$ к бозонной алгебре CCR требуется, чтобы она была комплексно антилинейной (это добавляет больше отношений). Его сопряжение ​ $a^{\dagger }(f)$и карта $f\to a^{\dagger }(f)$ является комплексным линейным по H . Таким образом $H$ встраивается как комплексное векторное подпространство в собственную алгебру CCR. В представлении этой алгебры элемент $a(f)$ будет реализован как оператор уничтожения, а $a^{\dagger }(f)$ в качестве оператора создания.

В общем, алгебра CCR бесконечномерна. Если мы возьмем пополнение банахового пространства, оно станет C*-алгеброй . Алгебра CCR над $H$ тесно связана с алгеброй Вейля , но не идентична ей .

Для фермионов (фермионная) алгебра CAR над $H$ строится аналогично, но с использованием антикоммутаторных соотношений, а именно

$${\begin{aligned}\{a(f),a(g)\}&=\{a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\}=0\\[1ex]\{a(f),a^{\dagger }(g)\}&=\langle f\mid g\rangle .\end{aligned}}$$

Алгебра CAR конечномерна только тогда, когда $H$ является конечномерным. Если мы возьмем пополнение банахового пространства (необходимое только в бесконечномерном случае), оно станет $C^{*}$ алгебра. Алгебра CAR тесно связана с алгеброй Клиффорда , но не идентична ей .

Физически говоря, $a(f)$ удаляет (т.е. аннигилирует) частицу в состоянии $|f\rangle$ тогда как $a^{\dagger }(f)$ создает частицу в состоянии $|f\rangle$.

свободного поля Вакуумное состояние – это состояние ${\textstyle \left\vert 0\right\rangle }$ без частиц, характеризующийся

$$a(f)\left|0\right\rangle =0.$$

Если $|f\rangle$ нормируется так, что $\langle f|f\rangle =1$, затем $N=a^{\dagger }(f)a(f)$ дает количество частиц в состоянии $|f\rangle$.

Операторы рождения и уничтожения для уравнений

Описание операторов уничтожения и рождения также оказалось полезным для анализа классических уравнений реакции диффузии, например ситуации, когда газ молекул $A$ диффундируют и взаимодействуют при контакте, образуя инертный продукт: $A+A\to \emptyset$. Чтобы увидеть, как такого рода реакции можно описать с помощью формализма операторов уничтожения и создания, рассмотрим $n_{i}$ частицы в узле i одномерной решетки. Каждая частица движется вправо или влево с определенной вероятностью, и каждая пара частиц в одном и том же месте аннигилирует друг друга с некоторой другой вероятностью.

Вероятность того, что одна частица покинет узел за короткий промежуток времени dt, пропорциональна $n_{i}\,dt$, скажем, вероятность $\alpha n_{i}dt$ прыгнуть влево и $\alpha n_{i}\,dt$ прыгать правильно. Все $n_{i}$ частицы останутся на месте с вероятностью $1-2\alpha n_{i}\,dt$. (Поскольку время dt настолько короткое, вероятность того, что двое или более уйдут во время dt , очень мала и будет проигнорирована.)

Теперь мы можем описать заселенность решетки частицами как «кет» вида $|\dots ,n_{-1},n_{0},n_{1},\dots \rangle$. Он представляет собой сопоставление (или соединение, или тензорное произведение) числовых состояний. $\dots ,|n_{-1}\rangle$ $|n_{0}\rangle$, $|n_{1}\rangle ,\dots$ расположены в отдельных узлах решетки. Напомним, что

$$a\left|n\right\rangle ={\sqrt {n}}\left|n-1\right\rangle$$

и

$$a^{\dagger }\left|n\right\rangle ={\sqrt {n+1}}\left|n+1\right\rangle ,$$

для всех n ≥ 0 , а

$$[a,a^{\dagger }]=\mathbf {1}$$

Это определение операторов теперь будет изменено, чтобы учесть «неквантовую» природу этой проблемы, и мы будем использовать следующее определение:

$${\begin{aligned}a\left|n\right\rangle &=(n)\left|n{-}1\right\rangle \\[1ex]a^{\dagger }\left|n\right\rangle &=\left|n{+}1\right\rangle \end{aligned}}$$

отметим, что хотя поведение операторов на кетах было изменено, эти операторы по-прежнему подчиняются коммутационному соотношению

$$[a,a^{\dagger }]=\mathbf {1}$$

Теперь определите $a_{i}$ так что это применимо $a$ к $|n_{i}\rangle$. Соответственно определим $a_{i}^{\dagger }$ как подать заявку $a^{\dagger }$ к $|n_{i}\rangle$. Так, например, чистый эффект $a_{i-1}a_{i}^{\dagger }$ заключается в перемещении частицы из $(i-1)$-th на i -й узел при умножении на соответствующий коэффициент.

Это позволяет записать чисто диффузионное поведение частиц как

$$\partial _{t}\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(2a_{i}^{\dagger }a_{i}-a_{i-1}^{\dagger }a_{i}-a_{i+1}^{\dagger }a_{i}\right)\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger }\right)(a_{i}-a_{i-1})\left|\psi \right\rangle .$$

Член реакции можно определить, заметив, что $n$ частицы могут взаимодействовать в $n(n-1)$ разными способами, так что вероятность аннигилирования пары равна $\lambda n(n-1)dt$, давая член

$$\lambda \sum _{i}(a_{i}a_{i}-a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\dagger }a_{i}a_{i})$$

где числовое состояние n заменяется числовым состоянием n - 2 на узле $i$ по определенной ставке.

Таким образом, государство развивается путем

$$\partial _{t}\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger }\right)\left(a_{i}-a_{i-1}\right)\left|\psi \right\rangle +\lambda \sum _{i}\left(a_{i}^{2}-a_{i}^{\dagger 2}a_{i}^{2}\right)\left|\psi \right\rangle$$

Другие виды взаимодействий могут быть включены аналогичным образом.

Такой тип обозначений позволяет использовать методы квантовой теории поля при анализе реакционно-диффузионных систем.

поля

Основные статьи: Второе квантование и Квантовая теория поля § Второе квантование

В квантовых теориях поля и задачах многих тел работают с операторами рождения и уничтожения квантовых состояний. $a_{i}^{\dagger }$ и $a_{i}^{\,}$. Эти операторы изменяют собственные значения числового оператора ,

$$N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,},$$

на единицу, по аналогии с гармоническим осциллятором. Индексы (такие как $i$) представляют собой квантовые числа , обозначающие одночастичные состояния системы; следовательно, это не обязательно отдельные числа. Например, кортеж квантовых чисел $(n,\ell ,m,s)$ используется для обозначения состояний атома водорода .

Коммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения в системе нескольких бозонов таковы:

$${\begin{aligned}\left[a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\right]&\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\[1ex]\left[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\right]&=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,\end{aligned}}$$

где $[\cdot ,\cdot ]$ является коммутатором и $\delta _{ij}$ это дельта Кронекера .

У фермионов коммутатор заменяется антикоммутатором . $\{\cdot ,\cdot \}$,

$${\begin{aligned}\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\}&\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }+a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\[1ex]\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}&=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\}=0.\end{aligned}}$$

Поэтому замена непересекающихся (т.е. $i\neq j$) операторы в произведениях операторов рождения или уничтожения меняют знак в фермионных системах, но не в бозонных системах.

Если состояния, помеченные i, являются ортонормированным базисом гильбертова пространства H , то результат этой конструкции совпадает с конструкцией алгебры CCR и алгебры CAR из предыдущего раздела, кроме одного. Если они представляют собой «собственные векторы», соответствующие непрерывному спектру некоторого оператора, как для несвязанных частиц в КТП, тогда интерпретация более тонкая.

Нормализация

Пока Зи получает импульсного пространства нормировку $[{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )$ согласно симметричному соглашению для преобразований Фурье, Тонг и Пескин и Шредер используйте общее асимметричное соглашение для получения $[{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )$. Каждый выводит $[{\hat {\phi }}(\mathbf {x} ),{\hat {\pi }}(\mathbf {x} ')]=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')$.

Средницкий дополнительно объединяет лоренц-инвариантную меру со своей асимметричной мерой Фурье: ${\tilde {dk}}={\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}2\omega }}$, уступая $[{\hat {a}}_{\mathbf {k} },{\hat {a}}_{\mathbf {k} '}^{\dagger }]=(2\pi )^{3}2\omega \,\delta (\mathbf {k} -\mathbf {k} ')$.

См. также

• Фокское пространство
• Пространство Сигала – Баргмана
• Оптическое фазовое пространство
• Преобразование Боголюбова–Валатина.
• Преобразование Гольштейна – Примакова
• Преобразование Джордана – Вигнера
• Преобразование Джордана – Швингера
• Преобразование Клейна
• Канонические коммутационные соотношения

Ссылки

• Фейнман, Ричард П. (1998) [1972]. Статистическая механика: Сборник лекций (2-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN  978-0-201-36076-9 .
• Альберт Мессия , 1966. Квантовая механика (Том I), английский перевод с французского Г. М. Теммера. Северная Голландия, Джон Уайли и сыновья. Ч. XII. онлайн