Второе квантование

Второе квантование , также называемое представлением числа заполнения , представляет собой формализм, используемый для описания и анализа квантовых систем многих тел . В квантовой теории поля это известно как каноническое квантование , при котором поля (обычно как волновые функции материи) рассматриваются как операторы поля , аналогично тому, как физические величины (положение, импульс и т. д.) рассматриваются как операторы первого квантования . Ключевые идеи этого метода были изложены в 1927 году Полем Дираком . и были позже разработаны, в первую очередь, Паскуалем Джорданом. и Владимир Фок . В этом подходе квантовые состояния многих тел представлены в базисе состояний Фока , который строится путем заполнения каждого одночастичного состояния определенным количеством идентичных частиц. Формализм второго квантования вводит операторы рождения и уничтожения для построения и обработки состояний Фока, предоставляя полезные инструменты для изучения квантовой теории многих тел.

Квантовые состояния многих тел

Отправной точкой формализма вторичного квантования является представление о неразличимости частиц в квантовой механике. В отличие от классической механики, где каждая частица помечена отдельным вектором положения. $\mathbf {r} _{i}$ и различные конфигурации комплекта $\mathbf {r} _{i}$s соответствуют различным состояниям многих тел, в квантовой механике частицы идентичны, так что происходит обмен двумя частицами, т.е. $\mathbf {r} _{i}\leftrightarrow \mathbf {r} _{j}$, не приводит к другому квантовому состоянию многих тел . Это означает, что квантовая волновая функция многих тел должна быть инвариантной (с точностью до фазового множителя) относительно обмена двумя частицами. Согласно статистике частиц, волновая функция многих тел может быть либо симметричной, либо антисимметричной при обмене частицами:

$\Psi _{\rm {B}}(\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots )=+\Psi _{\rm {B}}(\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots )$ если частицы являются бозонами ,

$\Psi _{\rm {F}}(\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots )=-\Psi _{\rm {F}}(\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots )$ если частицы являются фермионами .

Это свойство обменной симметрии накладывает ограничение на волновую функцию многих тел. Каждый раз, когда частица добавляется или удаляется из системы многих тел, волновая функция должна быть правильно симметризована или антисимметризирована, чтобы удовлетворить ограничению симметрии. В формализме первого квантования это ограничение гарантируется представлением волновой функции как линейной комбинации перманентов (для бозонов) или определителей (для фермионов) одночастичных состояний. Во втором формализме квантования проблема симметризации автоматически решается операторами создания и уничтожения, так что его обозначения могут быть намного проще.

Впервые квантованная волновая функция многих тел

Рассмотрим полный набор одночастичных волновых функций $\psi _{\alpha }(\mathbf {r} )$ помечены $\alpha$ (который может быть комбинированным индексом ряда квантовых чисел). Следующая волновая функция

$\Psi [\mathbf {r} _{i}]=\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{i}}(\mathbf {r} _{i})\equiv \psi _{\alpha _{1}}\otimes \psi _{\alpha _{2}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{N}}$

представляет состояние N -частицы, где i -я частица занимает одночастичное состояние $|{\alpha _{i}}\rangle$. В сокращенных обозначениях аргумент положения волновой функции можно опустить и предполагается, что i- я одночастичная волновая функция описывает состояние i -й частицы. Волновая функция $\Psi$ не была ни симметризована, ни антисимметризована, поэтому, как правило, не квалифицируется как волновая функция многих тел для идентичных частиц. Однако к симметризованному (антисимметричному) виду его можно привести операторами ${\mathcal {S}}$ для симметризатора и ${\mathcal {A}}$ для антисимметризатора .

Для бозонов волновая функция многих тел должна быть симметризована:

$\Psi _{\rm {B}}[\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}{\mathcal {S}}\Psi [\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{\pi (i)}}(\mathbf {r} _{i})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}\psi _{\alpha _{\pi (1)}}\otimes \psi _{\alpha _{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{\pi (N)}};$

в то время как для фермионов волновая функция многих тел должна быть антисимметризованной,

$\Psi _{\rm {F}}[\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}{\mathcal {A}}\Psi [\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{\pi (i)}}(\mathbf {r} _{i})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }\psi _{\alpha _{\pi (1)}}\otimes \psi _{\alpha _{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{\pi (N)}}.$

Здесь $\pi$ является элементом в группе перестановок N тел (или симметричной группе ) $S_{N}$, который выполняет перестановку между метками состояний $\alpha _{i}$, и $(-1)^{\pi }$ обозначает соответствующий знак перестановки . ${\mathcal {N}}$ — оператор нормализации, нормирующий волновую функцию. (Это оператор, который применяет подходящий числовой коэффициент нормализации к симметризованным тензорам степени n ; его значение см. в следующем разделе.)

Если расположить одночастичные волновые функции в матрице $U$ строка -i- столбец -j равен , такой, что матричный элемент $U_{ij}=\psi _{\alpha _{j}}(\mathbf {r} _{i})\equiv \langle \mathbf {r} _{i}|\alpha _{j}\rangle$, то волновую функцию многих тел бозона можно просто записать как постоянную $\Psi _{\rm {B}}={\mathcal {N}}\operatorname {perm} U$и фермионная волновая функция многих тел как определитель $\Psi _{\rm {F}}={\mathcal {N}}\det U$ (также известный как определитель Слейтера ).

Вторично-квантованные состояния Фока

Волновые функции первого квантования включают сложные процедуры симметризации для описания физически реализуемых состояний многих тел, поскольку язык первого квантования избыточен для неразличимых частиц. На первом языке квантования состояние многих тел описывается путем ответа на ряд вопросов типа «Какая частица находится в каком состоянии?» . Однако это не физические вопросы, потому что частицы идентичны, и невозможно сказать, какая именно частица какая. Казалось бы, разные состояния $\psi _{1}\otimes \psi _{2}$ и $\psi _{2}\otimes \psi _{1}$ на самом деле являются избыточными именами одного и того же квантового состояния многих тел. Поэтому необходимо ввести симметризацию (или антисимметризацию), чтобы устранить эту избыточность в первом описании квантования.

На языке второго квантования вместо того, чтобы спрашивать «какая частица находится в каком состоянии», спрашивают : «Сколько частиц находится в каждом состоянии?» . Поскольку это описание не относится к маркировке частиц, оно не содержит избыточной информации и, следовательно, приводит к точному и более простому описанию квантового состояния многих тел. В этом подходе состояние многих тел представлено в базисе чисел заполнения, а базисное состояние помечается набором чисел заполнения, обозначаемых

$|[n_{\alpha }]\rangle \equiv |n_{1},n_{2},\cdots ,n_{\alpha },\cdots \rangle ,$

это означает, что есть $n_{\alpha }$ частицы в одночастичном состоянии $|\alpha \rangle$ (или как $\psi _{\alpha }$). Числа заполнения суммируются с общим числом частиц, т.е. ${\textstyle \sum _{\alpha }n_{\alpha }=N}$. Для фермионов число заполнения $n_{\alpha }$ может быть только 0 или 1 в соответствии с принципом исключения Паули ; а для бозонов это может быть любое неотрицательное целое число

$n_{\alpha }={\begin{cases}0,1&{\text{fermions,}}\\0,1,2,3,...&{\text{bosons.}}\end{cases}}$

В номере оккупации указано $|[n_{\alpha }]\rangle$ также известны как состояния Фока. Все состояния Фока образуют полную основу гильбертова пространства многих тел или пространства Фока . Любое общее квантовое состояние многих тел можно выразить как линейную комбинацию состояний Фока.

Обратите внимание, что пространство Фока не только обеспечивает более эффективный язык, но и допускает переменное количество частиц. Как гильбертово пространство , оно изоморфно сумме n частичных бозонных или фермионных тензорных пространств, описанных в предыдущем разделе, включая одномерное бесчастичное пространство C. -

Состояние Фока, у которого все числа заполнения равны нулю, называется вакуумным состоянием , обозначаемым $|0\rangle \equiv |\cdots ,0_{\alpha },\cdots \rangle$. Состояние Фока только с одним ненулевым числом заполнения является одномодовым состоянием Фока, обозначаемым $|n_{\alpha }\rangle \equiv |\cdots ,0,n_{\alpha },0,\cdots \rangle$. В терминах первой квантованной волновой функции вакуумное состояние представляет собой единичное тензорное произведение и может быть обозначено $|0\rangle =1$. Одночастичное состояние сводится к его волновой функции $|1_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }$. Другие одномодовые состояния многих тел (бозонов) представляют собой просто тензорное произведение волновой функции этой моды, например: $|2_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes \psi _{\alpha }$ и $|n_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }^{\otimes n}$. Для многомодовых состояний Фока (что означает более одного одночастичного состояния) $|\alpha \rangle$ участвует), соответствующая волновая функция первого квантования потребует правильной симметризации в соответствии со статистикой частиц, например $|1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}$ для бозонного состояния и $|1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}$ для фермионного состояния (символ $\otimes$ между $\psi _{1}$ и $\psi _{2}$ опущено для простоты). В целом нормализация оказывается ${\textstyle {\sqrt {{1}/{N!\prod _{\alpha }n_{\alpha }!}}}}$, где N — общее количество частиц. Для фермиона это выражение сводится к ${\tfrac {1}{\sqrt {N!}}}$ как $n_{\alpha }$ может быть только нулем или единицей. Таким образом, волновая функция первого квантования, соответствующая состоянию Фока, имеет вид

$|[n_{\alpha }]\rangle _{\rm {B}}=\left({\frac {1}{N!\prod _{\alpha }n_{\alpha }!}}\right)^{1/2}{\mathcal {S}}\bigotimes \limits _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}$

для бозонов и

$|[n_{\alpha }]\rangle _{\rm {F}}={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\mathcal {A}}\bigotimes \limits _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}$

для фермионов. Обратите внимание, что для фермионов $n_{\alpha }=0,1$ только, поэтому приведенное выше тензорное произведение фактически является просто произведением по всем занятым одночастичным состояниям.

Операторы создания и уничтожения

Операторы создания и уничтожения вводятся для добавления или удаления частицы из системы многих тел. Эти операторы лежат в основе формализма второго квантования, заполняя разрыв между состояниями первого и второго квантования. Применение оператора создания (уничтожения) к волновой функции многих тел, подвергнутой первому квантованию, вставит (удалит) одночастичное состояние из волновой функции симметричным образом в зависимости от статистики частиц. С другой стороны, все вторично квантованные состояния Фока могут быть построены путем многократного применения операторов рождения к вакуумному состоянию.

Операторы рождения и уничтожения (для бозонов) изначально строятся в контексте квантового гармонического осциллятора как повышающие и понижающие операторы, которые затем обобщаются на операторы поля в квантовой теории поля. Они являются фундаментальными для квантовой теории многих тел в том смысле, что каждый оператор многих тел (включая гамильтониан системы многих тел и все физические наблюдаемые) может быть выражен через них.

Операция вставки и удаления

Создание и уничтожение частицы реализуется путем добавления и удаления одночастичного состояния из первой квантованной волновой функции либо симметричным, либо антисимметричным образом. Позволять $\psi _{\alpha }$ — одночастичное состояние, пусть 1 — тензорное тождество (оно является генератором бесчастичного пространства C и удовлетворяет условию $\psi _{\alpha }\equiv 1\otimes \psi _{\alpha }\equiv \psi _{\alpha }\otimes 1$ в тензорной алгебре над фундаментальным гильбертовым пространством), и пусть $\Psi =\psi _{\alpha _{1}}\otimes \psi _{\alpha _{2}}\otimes \cdots$ быть общим состоянием тензорного произведения. Вставка $\otimes _{\pm }$ и удаление $\oslash _{\pm }$ операторы — это линейные операторы, определяемые следующими рекурсивными уравнениями

$\psi _{\alpha }\otimes _{\pm }1=\psi _{\alpha },\quad \psi _{\alpha }\otimes _{\pm }(\psi _{\beta }\otimes \Psi )=\psi _{\alpha }\otimes \psi _{\beta }\otimes \Psi \pm \psi _{\beta }\otimes (\psi _{\alpha }\otimes _{\pm }\Psi );$

$\psi _{\alpha }\oslash _{\pm }1=0,\quad \psi _{\alpha }\oslash _{\pm }(\psi _{\beta }\otimes \Psi )=\delta _{\alpha \beta }\Psi \pm \psi _{\beta }\otimes (\psi _{\alpha }\oslash _{\pm }\Psi ).$

Здесь $\delta _{\alpha \beta }$ - символ дельты Кронекера , который дает 1, если $\alpha =\beta$, и 0 в противном случае. Индекс $\pm$ Операторов вставки или удаления указывает, реализуется ли симметризация (для бозонов) или антисимметризация (для фермионов).

Операторы рождения и уничтожения бозонов

Оператор рождения (соответственно уничтожения) бозона обычно обозначается как $b_{\alpha }^{\dagger }$ (соответственно $b_{\alpha }$). Оператор создания $b_{\alpha }^{\dagger }$ добавляет бозон в одночастичное состояние $|\alpha \rangle$и оператор уничтожения $b_{\alpha }$ выводит бозон из одночастичного состояния $|\alpha \rangle$. Операторы рождения и уничтожения эрмитово сопряжены друг другу, но ни один из них не является эрмитовым оператором ( $b_{\alpha }\neq b_{\alpha }^{\dagger }$).

Определение

Оператор рождения (уничтожения) бозона представляет собой линейный оператор, действие которого на N -частичную волновую функцию первого квантования $\Psi$ определяется как

$b_{\alpha }^{\dagger }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{+}\Psi ,$

$b_{\alpha }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\psi _{\alpha }\oslash _{+}\Psi ,$

где $\psi _{\alpha }\otimes _{+}$ вставляет одночастичное состояние $\psi _{\alpha }$ в $N+1$ возможные положения вставки симметричны, и $\psi _{\alpha }\oslash _{+}$ удаляет одночастичное состояние $\psi _{\alpha }$ от $N$ возможные положения удаления симметричны.

Примеры

Здесь и далее символ тензора $\otimes$ между одночастичными состояниями для простоты опущено. Возьмите государство $|1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}$, создайте еще один бозон в состоянии $\psi _{1}$,

${\begin{array}{rl}b_{1}^{\dagger }|1_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(b_{1}^{\dagger }\psi _{1}\psi _{2}+b_{1}^{\dagger }\psi _{2}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{+}\psi _{1}\psi _{2}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{+}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1})+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\right)\\=&{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\\=&{\sqrt {2}}|2_{1},1_{2}\rangle .\end{array}}$

Затем аннигилируем один бозон из состояния $\psi _{1}$,

${\begin{array}{rl}b_{1}|2_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {3}}}(b_{1}\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+b_{1}\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+b_{1}\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+}\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+}\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+}\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}+0)+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{2}\psi _{1}+0+\psi _{1}\psi _{2})+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(0+\psi _{2}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1})\right)\\=&\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1}\\=&{\sqrt {2}}|1_{1},1_{2}\rangle .\end{array}}$

Действия в отношении состояний Фока

Начиная с состояния одномодового вакуума $|0_{\alpha }\rangle =1$, применяя оператор создания $b_{\alpha }^{\dagger }$ неоднократно, можно обнаружить

$b_{\alpha }^{\dagger }|0_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes _{+}1=\psi _{\alpha }=|1_{\alpha }\rangle ,$

$b_{\alpha }^{\dagger }|n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{+}\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}={\sqrt {n_{\alpha }+1}}\psi _{\alpha }^{\otimes (n_{\alpha }+1)}={\sqrt {n_{\alpha }+1}}|n_{\alpha }+1\rangle .$

Оператор рождения увеличивает число заполнения бозона на 1. Следовательно, все состояния числа заполнения могут быть построены оператором рождения бозона из вакуумного состояния.

$|n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }!}}}(b_{\alpha }^{\dagger })^{n_{\alpha }}|0_{\alpha }\rangle .$

С другой стороны, оператор уничтожения $b_{\alpha }$ снижает число заполнения бозона на 1

$b_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }}}}\psi _{\alpha }\oslash _{+}\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}={\sqrt {n_{\alpha }}}\psi _{\alpha }^{\otimes (n_{\alpha }-1)}={\sqrt {n_{\alpha }}}|n_{\alpha }-1\rangle .$

Это также погасит состояние вакуума. $b_{\alpha }|0_{\alpha }\rangle =0$ поскольку в вакуумном состоянии не осталось бозонов, подлежащих аннигиляции. Используя приведенные выше формулы, можно показать, что

$b_{\alpha }^{\dagger }b_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle =n_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ,$

это означает, что ${\hat {n}}_{\alpha }=b_{\alpha }^{\dagger }b_{\alpha }$ определяет оператор числа бозонов.

Приведенный выше результат можно обобщить на любое фоковское состояние бозонов.

$b_{\alpha }^{\dagger }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle ={\sqrt {n_{\alpha }+1}}|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha }+1,n_{\gamma },\cdots \rangle .$

$b_{\alpha }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle ={\sqrt {n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha }-1,n_{\gamma },\cdots \rangle .$

Эти два уравнения можно рассматривать как определяющие свойства операторов рождения и уничтожения бозонов в формализме второго квантования. Сложная симметризация базовой волновой функции первого квантования автоматически учитывается операторами рождения и уничтожения (при воздействии на волновую функцию первого квантования), так что сложность не раскрывается на уровне второго квантования, а Формулы второго квантования просты и понятны.

Личности операторов

Следующие операторные тождества следуют из действия операторов рождения и уничтожения бозонов на состояние Фока:

$[b_{\alpha }^{\dagger },b_{\beta }^{\dagger }]=[b_{\alpha },b_{\beta }]=0,\quad [b_{\alpha },b_{\beta }^{\dagger }]=\delta _{\alpha \beta }.$

Эти коммутационные соотношения можно рассматривать как алгебраическое определение операторов рождения и уничтожения бозонов. Симметричность бозонной волновой функции многих тел относительно обмена частицами проявляется и в коммутации бозонных операторов.

Операторы повышения и понижения квантового гармонического осциллятора также удовлетворяют тому же набору коммутационных соотношений, а это означает, что бозоны можно интерпретировать как энергетические кванты (фононы) осциллятора. Операторы положения и импульса гармонического осциллятора (или набора гармонических колебательных режимов) задаются эрмитовыми комбинациями операторов рождения и уничтожения фононов:

$x_{\alpha }=(b_{\alpha }+b_{\alpha }^{\dagger })/{\sqrt {2}},\quad p_{\alpha }=(b_{\alpha }-b_{\alpha }^{\dagger })/({\sqrt {2}}\mathrm {i} ),$

которые воспроизводят каноническое коммутационное соотношение между операторами положения и импульса (с $\hbar =1$)

$[x_{\alpha },p_{\beta }]=\mathrm {i} \delta _{\alpha \beta },\quad [x_{\alpha },x_{\beta }]=[p_{\alpha },p_{\beta }]=0.$

Эта идея обобщена в квантовой теории поля , которая рассматривает каждую моду поля материи как осциллятор, подверженный квантовым флуктуациям, а бозоны рассматриваются как возбуждения (или энергетические кванты) поля.

Операторы рождения и уничтожения фермионов

Оператор рождения (уничтожения) фермиона обычно обозначается как $c_{\alpha }^{\dagger }$ ( $c_{\alpha }$). Оператор создания $c_{\alpha }^{\dagger }$ добавляет фермион в одночастичное состояние $|\alpha \rangle$и оператор уничтожения $c_{\alpha }$ выводит фермион из одночастичного состояния $|\alpha \rangle$.

Определение

Оператор рождения (уничтожения) фермионов представляет собой линейный оператор, действие которого на N -частичную волновую функцию первого квантования $\Psi$ определяется как

$c_{\alpha }^{\dagger }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{-}\Psi ,$

$c_{\alpha }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\psi _{\alpha }\oslash _{-}\Psi ,$

где $\psi _{\alpha }\otimes _{-}$ вставляет одночастичное состояние $\psi _{\alpha }$ в $N+1$ возможные положения вставки антисимметричны, и $\psi _{\alpha }\oslash _{-}$ удаляет одночастичное состояние $\psi _{\alpha }$ от $N$ возможное удаление располагается антисимметрично.

Особенно поучительно рассматривать результаты операторов рождения и уничтожения состояний двух (или более) фермионов, поскольку они демонстрируют эффекты обмена. Несколько иллюстративных операций приведены в примере ниже. Полную алгебру операторов рождения и уничтожения в двухфермионном состоянии можно найти в книге « Квантовая фотоника» .

Примеры

Здесь и далее символ тензора $\otimes$ между одночастичными состояниями для простоты опущено. Возьмите государство $|1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}$, попытаться создать еще один фермион на занятом $\psi _{1}$ состояние погасит всю волновую функцию многих тел,

${\begin{array}{rl}c_{1}^{\dagger }|1_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(c_{1}^{\dagger }\psi _{1}\psi _{2}-c_{1}^{\dagger }\psi _{2}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{-}\psi _{1}\psi _{2}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{-}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1})-{\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}-\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\right)\\=&0.\end{array}}$

Аннигилировать фермион на $\psi _{2}$ состояние,взять государство $|1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}$,

${\begin{array}{rl}c_{2}|1_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(c_{2}\psi _{1}\psi _{2}-c_{2}\psi _{2}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{2}\oslash _{-}\psi _{1}\psi _{2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{2}\oslash _{-}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}(0-\psi _{1})-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(\psi _{1}-0)\right)\\=&-\psi _{1}\\=&-|1_{1},0_{2}\rangle .\end{array}}$

Знак минус (известный как знак фермиона) появляется из-за антисимметричного свойства волновой функции фермиона.

Действия в отношении состояний Фока

Начиная с состояния одномодового вакуума $|0_{\alpha }\rangle =1$, применяя оператор рождения фермиона $c_{\alpha }^{\dagger }$,

$c_{\alpha }^{\dagger }|0_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes _{-}1=\psi _{\alpha }=|1_{\alpha }\rangle ,$

$c_{\alpha }^{\dagger }|1_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{\alpha }\otimes _{-}\psi _{\alpha }=0.$

Если одночастичное состояние $|\alpha \rangle$ пуст, оператор создания заполнит состояние фермионом. Однако, если состояние уже занято фермионом, дальнейшее применение оператора создания погасит состояние, демонстрируя принцип исключения Паули , согласно которому два идентичных фермиона не могут занимать одно и то же состояние одновременно. Тем не менее, фермион можно вывести из занятого состояния с помощью оператора аннигиляции фермиона $c_{\alpha }$,

$c_{\alpha }|1_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\oslash _{-}\psi _{\alpha }=1=|0_{\alpha }\rangle ,$

$c_{\alpha }|0_{\alpha }\rangle =0.$

Вакуумное состояние тушается действием оператора аннигиляции.

Как и в случае с бозоном, фермионное фоковское состояние можно построить из вакуумного состояния с помощью оператора рождения фермиона.

$|n_{\alpha }\rangle =(c_{\alpha }^{\dagger })^{n_{\alpha }}|0_{\alpha }\rangle .$

Легко проверить (перебором), что

$c_{\alpha }^{\dagger }c_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle =n_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ,$

это означает, что ${\hat {n}}_{\alpha }=c_{\alpha }^{\dagger }c_{\alpha }$ определяет оператор числа фермионов.

Приведенный выше результат можно обобщить на любое фоковское состояние фермионов.

$c_{\alpha }^{\dagger }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}{\sqrt {1-n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },1+n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle .$

$c_{\alpha }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}{\sqrt {n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },1-n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle .$

Напомним, что номер оккупации $n_{\alpha }$ может принимать только 0 или 1 для фермионов. Эти два уравнения можно рассматривать как определяющие свойства операторов рождения и уничтожения фермионов в формализме второго квантования. Обратите внимание, что фермионная знаковая структура $(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}$, также известная как струна Джордана-Вигнера , требует существования заранее определенного порядка одночастичных состояний ( спиновая структура ) и предполагает подсчет чисел заполнения фермионов всех предыдущих состояний; поэтому операторы рождения и уничтожения фермионов в некотором смысле считаются нелокальными. Это наблюдение приводит к идее, что фермионы являются возникающими частицами в дальнодействующей запутанной локальной системе кубитов .

Личности операторов

Следующие операторные тождества следуют из действия операторов рождения и уничтожения фермионов на состояние Фока:

$\{c_{\alpha }^{\dagger },c_{\beta }^{\dagger }\}=\{c_{\alpha },c_{\beta }\}=0,\quad \{c_{\alpha },c_{\beta }^{\dagger }\}=\delta _{\alpha \beta }.$

Эти антикоммутационные соотношения можно рассматривать как алгебраическое определение операторов рождения и уничтожения фермионов. Тот факт, что волновая функция многих тел фермионов антисимметрична относительно обмена частицами, проявляется также в антикоммутации фермионных операторов.

Операторы рождения и уничтожения эрмитово сопряжены друг другу, но ни один из них не является эрмитовым оператором ( $c_{\alpha }\neq c_{\alpha }^{\dagger }$). Эрмитова комбинация операторов рождения и уничтожения фермионов.

$\chi _{\alpha ,{\text{Re}}}=(c_{\alpha }+c_{\alpha }^{\dagger })/{\sqrt {2}},\quad \chi _{\alpha ,{\text{Im}}}=(c_{\alpha }-c_{\alpha }^{\dagger })/({\sqrt {2}}\mathrm {i} ),$

называются фермионными операторами Майорана . Их можно рассматривать как фермионный аналог операторов положения и импульса «фермионного» гармонического осциллятора. Они удовлетворяют антикоммутационному соотношению

$\{\chi _{i},\chi _{j}\}=\delta _{ij},$

где $i,j$ на равных правах помечает любые фермионные операторы Майораны (независимо от их происхождения от комбинации комплексных фермионных операторов Re или Im). $c_{\alpha }$). Антикоммутационное соотношение указывает на то, что фермионные операторы Майораны порождают алгебру Клиффорда , которую можно систематически представить как операторы Паули в гильбертовом пространстве многих тел.

Операторы квантового поля

Определение $a_{\nu }^{\dagger }$ как общий оператор уничтожения (рождения) одночастичного состояния $\nu$ это может быть либо фермионный $(c_{\nu }^{\dagger })$ или бозонный $(b_{\nu }^{\dagger })$ в реальном пространстве представление операторов квантового поля определяет операторы $\Psi (\mathbf {r} )$ и $\Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )$ к

$\Psi (\mathbf {r} )=\sum _{\nu }\psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)a_{\nu }$

$\Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )=\sum _{\nu }\psi _{\nu }^{*}\left(\mathbf {r} \right)a_{\nu }^{\dagger }$

Это операторы вторичного квантования с коэффициентами $\psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)$ и $\psi _{\nu }^{*}\left(\mathbf {r} \right)$ это обычные первого квантования волновые функции . Так, например, любые средние значения будут обычными волновыми функциями первого квантования. Грубо говоря, $\Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )$ представляет собой сумму всех возможных способов добавления частицы в систему в позиции r через любое из базисных состояний. $\psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)$, не обязательно плоские волны, как показано ниже.

С $\Psi (\mathbf {r} )$ и $\Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )$ являются операторами второго квантования, определенными в каждой точке пространства, они называются квантового поля операторами . Они подчиняются следующим фундаментальным коммутаторным и антикоммутаторным соотношениям:

$\left[\Psi (\mathbf {r} _{1}),\Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} _{2})\right]=\delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})$ бозонные поля,

$\{\Psi (\mathbf {r} _{1}),\Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} _{2})\}=\delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})$ фермионные поля.

Для однородных систем часто желательно осуществить преобразование между реальным пространством и представлениями импульса, следовательно, операторы квантовых полей в базисе Фурье дают:

$\Psi (\mathbf {r} )={1 \over {\sqrt {V}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k\cdot r} }a_{\mathbf {k} }$

$\Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )={1 \over {\sqrt {V}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{-i\mathbf {k\cdot r} }a_{\mathbf {k} }^{\dagger }$

Комментарий к номенклатуре

Термин «второе квантование», введенный Джорданом, это неправильное употребление, которое сохранилось по историческим причинам. При зарождении квантовой теории поля ошибочно считалось, что уравнение Дирака описывает релятивистскую волновую функцию (отсюда устаревшая интерпретация «моря Дирака»), а не классическое спинорное поле, которое при квантовании (как скалярное поле) дает фермионное квантовое поле (по сравнению с бозонным квантовым полем).

Никто не квантовает «снова», как можно было бы предположить, употребляя термин «секунда»; Квантуемое поле не является волновой функцией Шредингера , возникшей в результате квантования частицы, а представляет собой классическое поле (такое как электромагнитное поле или спинорное поле Дирака), по сути, совокупность связанных осцилляторов, которое не было предварительно квантованная. Мы просто квантоваем каждый осциллятор в этой сборке, переходя от полуклассического подхода к системе к полностью квантовомеханическому.

См. также

• Каноническое квантование
• Первое квантование
• Геометрическое квантование
• Квантование (физика)
• Функционал Шрёдингера
• Скалярная теория поля