Метод фонового поля

В теоретической физике метод фонового поля — это полезная процедура для расчета эффективного действия квантовой теории поля путем расширения квантового поля вокруг классического «фонового» значения B :

$\phi (x)=B(x)+\eta (x)$.

После этого функции Грина оцениваются как функция фона. Преимущество этого подхода состоит в том, что калибровочная инвариантность явно сохраняется при его применении к калибровочной теории .

Метод

Обычно мы хотим вычислить такие выражения, как

$Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{d}x({\mathcal {L}}[\phi (x)]+J(x)\phi (x))\right)$

где J ( x ) — источник, ${\mathcal {L}}(x)$ - плотность Лагранжа системы, d - число измерений и $\phi (x)$ это поле.

В методе фонового поля начинается с разделения этого поля на классическое фоновое поле B ( x ) и поле η ( x ), содержащее дополнительные квантовые флуктуации:

$\phi (x)=B(x)+\eta (x)\,.$

Обычно B ( x ) будет решением классических уравнений движения.

$\left.{\frac {\delta S}{\delta \phi }}\right|_{\phi =B}=0$

где S — действие, т.е. пространственный интеграл от лагранжевой плотности. Включение источника J ( x ) изменит уравнения на

$\left.{\frac {\delta S}{\delta \phi }}\right|_{\phi =B}+J=0$.

Затем действие расширяется вокруг фона B ( x ):

${\begin{aligned}\int d^{d}x({\mathcal {L}}[\phi (x)]+J(x)\phi (x))&=\int d^{d}x({\mathcal {L}}[B(x)]+J(x)B(x))\\&+\int d^{d}x\left({\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta \phi (x)}}[B]+J(x)\right)\eta (x)\\&+{\frac {1}{2}}\int d^{d}xd^{d}y{\frac {\delta ^{2}{\mathcal {L}}}{\delta \phi (x)\delta \phi (y)}}[B]\eta (x)\eta (y)+\cdots \end{aligned}}$

Согласно уравнениям движения второй член в этом разложении равен нулю. Первое слагаемое не зависит ни от каких флуктуирующих полей, поэтому его можно вывести из интеграла по траекториям. Результат

$Z[J]=e^{i\int d^{d}x({\mathcal {L}}[B(x)]+J(x)B(x))}\int {\mathcal {D}}\eta e^{{\frac {i}{2}}\int d^{d}xd^{d}y{\frac {\delta ^{2}{\mathcal {L}}}{\delta \phi (x)\delta \phi (y)}}[B]\eta (x)\eta (y)+\cdots }.$

Оставшийся теперь интеграл по траектории (без учета поправок в точках) имеет гауссову форму и может быть точно проинтегрирован:

$Z[J]=Ce^{i\int d^{d}x({\mathcal {L}}[B(x)]+J(x)B(x))}\left(\det {\frac {\delta ^{2}{\mathcal {L}}}{\delta \phi (x)\delta \phi (y)}}[B]\right)^{-1/2}+\cdots$

где «det» означает функциональный определитель , а C — константа. Степень минус половина, естественно, будет равна плюс единице для полей Грассмана .

Приведенный выше вывод дает гауссово приближение функционального интеграла. Поправки к этому можно вычислить, создав схематическое расширение.

См. также

• теория БФ
• Эффективное действие
• Исходное поле

Ссылки

• Пескин, Майкл; Шредер, Дэниел (1994). Введение в квантовую теорию поля . Издательство Персей. ISBN  0-201-50397-2 .
• Бём, Манфред; Деннер, Ансгар; Йоос, Ганс (2001). Калибровочные теории сильного и электрослабого взаимодействия (3-е изд.). Тойбнер. ISBN  3-519-23045-3 .
• Кляйнерт, Хаген (2009). Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках (5-е изд.). Всемирная научная.
• Эбботт, LF (1982). «Введение в метод фонового поля» (PDF) . Акта Физ. Пол. Б. ​ 13 : 33. Архивировано из оригинала (PDF) 10 мая 2017 г. Проверено 10 марта 2016 г.