Уравнения Баргмана – Вигнера.

В релятивистской квантовой механике и квантовой теории поля уравнения Баргмана -Вигнера описывают свободные частицы с ненулевой массой и произвольным спином j , целым числом для бозонов ( j = 1, 2, 3 ... ) или полуцелым числом для фермионов ( j = 1 ⁄ 2 , 3 ⁄ 2 , 5 ⁄ 2 ... ). Решениями уравнений являются волновые функции , математически имеющие форму многокомпонентных спинорных полей .

Они названы в честь Валентина Баргманна и Юджина Вигнера .

История

Поль Дирак впервые опубликовал уравнение Дирака в 1928 году, а позже (1936) распространил его на частицы с любым полуцелым спином, прежде чем Фирц и Паули впоследствии нашли те же уравнения в 1939 году и примерно за десять лет до Баргмана и Вигнера. Юджин Вигнер написал статью в 1937 году об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца или группы Пуанкаре . Вигнер отмечает, что Этторе Майорана и Дирак использовали бесконечно малые операторы, применяемые к функциям. Вигнер классифицирует представления на неприводимые, факториальные и унитарные.

В 1948 году Валентин Баргманн и Вигнер опубликовали уравнения, теперь названные в их честь, в статье, посвященной групповому обсуждению релятивистских волновых уравнений.

Формулировка уравнений

Для свободной частицы со спином j без электрического заряда уравнения BW представляют собой набор 2 j связанных линейных дифференциальных уравнений в частных производных , каждое из которых имеет математическую форму, аналогичную уравнению Дирака . Полный набор уравнений:

${\begin{aligned}&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{1}\alpha _{1}'}\psi _{\alpha '_{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{2}\alpha _{2}'}\psi _{\alpha _{1}\alpha '_{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\qquad \vdots \\&\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{2j}\alpha '_{2j}}\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha '_{2j}}=0\\\end{aligned}}$

которые следуют шаблону;

$\left(-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc\right)_{\alpha _{r}\alpha '_{r}}\psi _{\alpha _{1}\cdots \alpha '_{r}\cdots \alpha _{2j}}=0$

( 1 )

для r = 1, 2, ... 2 j . (Некоторые авторы, например, Лойде и Саар используйте n = 2 j, чтобы удалить коэффициенты 2. Также в квантовой механике спиновое квантовое число обычно обозначается как s , однако в этом контексте j более типично в литературе). Вся волновая функция ψ = ψ ( r , t ) имеет компоненты

$\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}(\mathbf {r} ,t)$

ранга 2 j и представляет собой 4-компонентное спинорное поле . Каждый индекс принимает значения 1, 2, 3 или 4, поэтому их 4. ^{2 Дж} компоненты всего спинорного поля ψ , хотя полностью симметричная волновая функция уменьшает число независимых компонент до 2(2 j + 1) . Далее, γ ^м = (с ⁰ , γ ) – гамма-матрицы , а

${\hat {P}}_{\mu }=i\hbar \partial _{\mu }$

— оператор 4-импульса .

Оператор, составляющий каждое уравнение, (−γ ^м п _μ + mc ) = (− iħ γ ^м ∂ _µ + mc ) является матрицей размера 4 × 4 , поскольку γ ^м матрицы, а mc термин скалярно умножает единичную 4 × 4 матрицу (обычно не записывается для простоты). Явно, в дираковском представлении гамма-матриц :

${\begin{aligned}-\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }+mc&=-\gamma ^{0}{\frac {\hat {E}}{c}}-{\boldsymbol {\gamma }}\cdot (-{\hat {\mathbf {p} }})+mc\\[6pt]&=-{\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\\\end{pmatrix}}{\frac {\hat {E}}{c}}+{\begin{pmatrix}0&{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\\-{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}&0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&I_{2}\\\end{pmatrix}}mc\\[8pt]&={\begin{pmatrix}-{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0&{\hat {p}}_{z}&{\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y}\\0&-{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&{\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y}&-{\hat {p}}_{z}\\-{\hat {p}}_{z}&-({\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y})&{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0\\-({\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y})&{\hat {p}}_{z}&0&{\frac {\hat {E}}{c}}+mc\\\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$

где σ = (σ1 _, σ2 _, σ3 ₎ = (σx _, σz ₎ — _вектор матриц , E — оператор энергии , p = ( p1 _σy , p2 _Паули , p3 _, ) = ( p _x , py _, 2 p _z ) — оператор 3-импульса , I ₂ обозначает × 2 единичную матрицу , нули (во второй строке) на самом деле представляют собой размером 2 × 2 блоки нулевых матриц .

Вышеупомянутый матричный оператор сжимается с одним индексом биспинора ψ за раз (см. умножение матриц ), поэтому некоторые свойства уравнения Дирака также применимы к уравнениям BW:

• уравнения лоренц-ковариантные,
• все компоненты решений ψ также удовлетворяют уравнению Клейна – Гордона и, следовательно, удовлетворяют релятивистскому соотношению энергии-импульса ,

$E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}$

• второе квантование все еще возможно.

В отличие от уравнения Дирака, которое может включать электромагнитное поле посредством минимальной связи , формализм Б – В содержит внутренние противоречия и трудности, когда учитывается взаимодействие электромагнитного поля. Другими словами, невозможно сделать замену P _µ → P _µ − eA _µ , где e — электрический заряд частицы, а A _µ = ( A ₀ , A ) — электромагнитный четырехпотенциал . Косвенный подход к исследованию электромагнитных влияний частицы состоит в том, чтобы вывести электромагнитные четыре тока и мультипольные моменты для частицы, а не включать взаимодействия в сами волновые уравнения.

Структура группы Лоренца

Представление группы Лоренца для уравнений БВ имеет вид

$D^{\mathrm {BW} }=\bigotimes _{r=1}^{2j}\left[D_{r}^{(1/2,0)}\oplus D_{r}^{(0,1/2)}\right]\,.$

где каждое D _r является неприводимым представлением. Это представление не имеет определенного спина, если только j не равно 1/2 или 0. Можно выполнить разложение Клебша – Гордана , чтобы найти неприводимые члены ( A , B ) и, следовательно, содержание спина. Эта избыточность требует, чтобы частица определенного спина j , трансформирующаяся под воздействием D ^ЧБ представление удовлетворяет уравнениям поля.

Представления D ^{( Дж , 0)} и Д ^{(0, Дж )} может каждая по отдельности представлять частицы спина j . Состояние или квантовое поле в таком представлении не будет удовлетворять никакому уравнению поля, кроме уравнения Клейна – Гордона.

Формулировка в искривленном пространстве-времени

Основные статьи: пространство-время и формализм Картана (физика)

Вслед за М. Кенмоку, в локальном пространстве Минковского гамма-матрицы удовлетворяют антикоммутационным соотношениям:

$[\gamma ^{i},\gamma ^{j}]_{+}=2\eta ^{ij}I_{4}$

где η ^ij =diag(−1, 1, 1, 1) — метрика Минковского . Для латинских индексов здесь i, j = 0, 1, 2, 3 . В искривленном пространстве-времени они аналогичны:

$[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]_{+}=2g^{\mu \nu }$

где пространственные гамма-матрицы сжимаются с помощью Вирбена b _i ^м чтобы получить γ ^м = б _я ^м с ^я , и г ^{примечание} = б ^{и мкм} с _​ ^н – метрический тензор . Для греческих индексов; µ, ν = 0, 1, 2, 3 .

Ковариантная производная для спиноров имеет вид

${\mathcal {D}}_{\mu }=\partial _{\mu }+\Omega _{\mu }$

со связью Ω, заданной через спиновую связь ω следующим образом:

$\Omega _{\mu }={\frac {1}{4}}\partial _{\mu }\omega ^{ij}(\gamma _{i}\gamma _{j}-\gamma _{j}\gamma _{i})$

Ковариантная производная преобразуется как ψ :

${\mathcal {D}}_{\mu }\psi \rightarrow D(\Lambda ){\mathcal {D}}_{\mu }\psi$

При такой настройке уравнение ( 1 ) принимает вид:

${\begin{aligned}&(-i\hbar \gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }+mc)_{\alpha _{1}\alpha _{1}'}\psi _{\alpha '_{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&(-i\hbar \gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }+mc)_{\alpha _{2}\alpha _{2}'}\psi _{\alpha _{1}\alpha '_{2}\alpha _{3}\cdots \alpha _{2j}}=0\\&\qquad \vdots \\&(-i\hbar \gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }+mc)_{\alpha _{2j}\alpha '_{2j}}\psi _{\alpha _{1}\alpha _{2}\alpha _{3}\cdots \alpha '_{2j}}=0\,.\\\end{aligned}}$

См. также

• Уравнение Дирака для двух тел
• Обобщения матриц Паули
• D-матрица Вигнера
• Матрицы Вейля – Брауэра
• Гамма-матрицы более высокой размерности
• Уравнение Йооса – Вайнберга , альтернативные уравнения, описывающие свободные частицы любого спина.
• Теория высшего спина

Дальнейшее чтение

Книги

• Вайнберг, С., Квантовая теория полей, том II
• Вайнберг, С., Квантовая теория полей, том III
• Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN  978-0-679-77631-4 .

Избранные статьи

• Э. Н. Лоренц (1941). «Обобщение уравнений Дирака» . ПНАС . 27 (6): 317–322. Бибкод : 1941ПНАС...27..317Л . дои : 10.1073/pnas.27.6.317 . ПМЦ   1078329 . ПМИД   16588466 .
• В.В. Двоеглазов (2011). «Модифицированный формализм Баргмана-Вигнера для полей с более высоким спином и релятивистской квантовой механики». Международный журнал современной физики: серия конференций . 03 : 121–132. Бибкод : 2011IJMPS...3..121D . дои : 10.1142/S2010194511001218 .
• Д.Н. Уильямс (1965). «Алгебра Дирака для любого вращения» (PDF) . Лекции по теоретической физике . Том. 7А. Университетское издательство Колорадо. стр. 139–172.
• Х. Ши-Чжун; З. Пэн-Фей; Р. Ту-Нан; З. Ю-Кан; З. Чжи-Пэн (2004). «Оператор проекции и пропагатор Фейнмана для свободной массивной частицы произвольного спина» . Связь в теоретической физике . 41 (3): 405–418. Бибкод : 2004CoTPh..41..405H . дои : 10.1088/0253-6102/41/3/405 . S2CID   123407062 . Архивировано из оригинала 19 августа 2014 г. Проверено 17 августа 2014 г.
• В.П. Незнамов (2006). «К теории взаимодействующих полей в представлении Фолди-Ваутхайзена». Физ. Часть. Нукл . 37 (2006): 86–103. arXiv : hep-th/0411050 . Бибкод : 2004hep.th...11050N . дои : 10.1134/S1063779606010023 . S2CID   16681061 .
• Х. Штумпф (2004). «Обобщенные уравнения де Бройля – Баргмана – Вигнера, современная формулировка теории термоядерного синтеза де Бройля» (PDF) . Анналы Фонда Луи де Бройля . Том. 29, нет. Добавка. п. 785.
• ДГК МакКеон; Т. Н. Шерри (2004). «Уравнения Баргмана-Вигнера в сферическом пространстве». arXiv : hep-th/0411090 .
• Р. Кларксон; DGC МакКеон (2003). «Квантовая теория поля» (PDF) . стр. 61–69. Архивировано из оригинала (PDF) 30 мая 2009 г. Проверено 27 октября 2016 г.
• Х. Штумпф (2002). «Собственные состояния обобщенных уравнений де Бройля – Баргмана – Вигнера для фотонов с партонной субструктурой» (PDF) . З. Натурфорш . Том. 57. стр. 726–736.
• Б. Шрёр (1997). «Теория представления Вигнера группы Пуанкаре, локализация, статистика и S-матрица». Ядерная физика Б . 499 (3): 519–546. arXiv : hep-th/9608092 . Бибкод : 1997НуФБ.499..519С . дои : 10.1016/S0550-3213(97)00358-1 . S2CID   18003852 .
• Э. Элизальде; Дж. А. Лобо (1980). «От галилеево-инвариантных к релятивистским волновым уравнениям» (PDF) . Физический обзор D . 22 (4): 884. Бибкод : 1980PhRvD..22..884E . дои : 10.1103/physrevd.22.884 . hdl : 2445/12327 .
• Д.В. Ахлувалиа (1997). «Рецензия на книгу: Квантовая теория полей, том I и II С. Вайнберга». Найденный. Физ . 10 (3): 301–304. arXiv : физика/9704002 . Бибкод : 1997FoPhL..10..301A . дои : 10.1007/bf02764211 . S2CID   189940978 .
• Дж. А. Морган (2005). «Четность и связь спин-статистики». Прамана . 65 (3): 513–516. arXiv : физика/0410037 . Бибкод : 2005Прама..65..513М . дои : 10.1007/BF02704208 . S2CID   119416196 .

Внешние ссылки

Релятивистские волновые уравнения :

• Матрицы Дирака в высших измерениях , Демонстрационный проект Вольфрама
• Изучение полей со спином 1 , П. Кэхилл, К. Кэхилл, Университет Нью-Мексико.
• Уравнения поля для безмассовых бозонов в формализме Дирака–Вайнберга , Р.В. Дэвис, К.ТР. Дэвис, П. Зори, Д.С. Нидик, Американский журнал физики
• Квантовая теория поля I , Мартин Мойжиш. Архивировано 3 марта 2016 г. в Wayback Machine.
• Уравнение Баргмана-Вигнера: уравнение поля для произвольного спина , Фарзад Кассеми, Школа и семинар ИПМ по космологии, ИПМ, Тегеран, Иран

Группы Лоренца в релятивистской квантовой физике:

• Представительства Lorentz Group , indiana.edu
• Приложение C: Группа Лоренца и алгебра Дирака , mcgill.ca
• Группа Лоренца, релятивистские частицы и квантовая механика , Д. Е. Сопер, Университет Орегона, 2011 г.
• Представления групп Лоренца и Пуанкаре , Дж. Мацейко, Стэнфордский университет
• Представления группы симметрии пространства-времени , К. Дрейк, М. Файнберг, Д. Гилд, Э. Турецкий, 2009