Энергетический оператор

Основная статья: Оператор (физика)

В квантовой механике энергия определяется через оператор энергии , действующий на волновую функцию системы как следствие симметрии переноса времени .

Определение

Его дают:

$${\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$$

Он действует на волновую функцию ( амплитуду вероятности для разных конфигураций системы)

$$\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)$$

Приложение

Оператор энергии соответствует полной энергии системы. Уравнение Шредингера описывает пространственную и временную зависимость медленно меняющейся (нерелятивистской ) волновой функции квантовой системы. Решение уравнения Шрёдингера для связанной системы является дискретным (набор разрешенных состояний, каждое из которых характеризуется уровнем энергии ), что приводит к понятию квантов .

Уравнение Шрёдингера

Использование оператора энергии в уравнении Шрёдингера :

$$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$$

получается:

$${\hat {E}}\Psi (\mathbf {r} ,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$$

где i — мнимая единица измерения , ħ — приведенная постоянная Планка , а ${\hat {H}}$ – гамильтонов оператор , выражаемый как:

$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(x).$$

Из уравнения можно составить равенство: ${\textstyle \langle E\rangle =\langle {\hat {H}}\rangle }$, где ${\textstyle \langle E\rangle }$ – это математическое ожидание энергии.

Свойства

Можно показать, что математическое ожидание энергии всегда будет больше или равно минимальному потенциалу системы.

Рассмотрим вычисление ожидаемого значения кинетической энергии:

${\begin{aligned}KE&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\psi ^{*}\left({\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\right)\,dx\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\left[\psi '(x)\psi ^{*}(x)\right]_{-\infty }^{+\infty }}-\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {d\psi }{dx}}\right)\left({\frac {d\psi }{dx}}\right)^{*}\,dx\right)\\&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{+\infty }\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}\,dx\geq 0\end{aligned}}$

Следовательно, математическое ожидание кинетической энергии всегда неотрицательно. Этот результат можно использовать с условием линейности для расчета математического ожидания полной энергии, которая задается для нормированной волновой функции как:

$E=KE+\langle V(x)\rangle =KE+\int _{-\infty }^{+\infty }V(x)|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}(x)\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx\geq V_{\text{min}}(x)$

которые завершают доказательство. Точно так же то же самое условие можно обобщить на любые более высокие измерения.

Постоянная энергия

Исходя из определения, можно построить частное решение для волновой функции частицы с постоянной энергией. Если предполагается, что волновая функция сепарабельна, то зависимость от времени можно записать как $e^{-iEt/\hbar }$, где E — постоянная энергия. Полностью,

$$\Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }$$

где $\psi (\mathbf {r} )$ является частным решением волновой функции, зависящей от положения. Применяя оператор энергии, имеем

$${\hat {E}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }=i\hbar \left({\frac {-iE}{\hbar }}\right)\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }=E\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }=E\Psi (\mathbf {r} ,t).$$

Это также известно как стационарное состояние и может использоваться для анализа независимого от времени уравнения Шредингера :

$$E\Psi (\mathbf {r} ,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$$

где E — собственное значение энергии.

-

Релятивистское соотношение массы и энергии :

$$E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}$$

где снова E = полная энергия, p = полный 3- импульс частицы, m = инвариантная масса и c = скорость света , может аналогичным образом привести к уравнению Клейна-Гордона :

$${\begin{aligned}&{\hat {E}}^{2}=c^{2}{\hat {p}}^{2}+(mc^{2})^{2}\\&{\hat {E}}^{2}\Psi =c^{2}{\hat {p}}^{2}\Psi +(mc^{2})^{2}\Psi \\\end{aligned}}$$

где ${\hat {p}}$ является оператором импульса . То есть:

$${\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\Psi -\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\Psi$$

Вывод

Оператор энергии легко получить, используя волновую функцию свободных частиц ( виде плоских волн ). решение уравнения Шрёдингера в Начиная с одного измерения, волновая функция равна

$$\Psi =e^{i(kx-\omega t)}$$

Производная по времени Ψ равна

$${\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-i\omega e^{i(kx-\omega t)}=-i\omega \Psi .$$

По соотношению Де Бройля :

$$E=\hbar \omega ,$$

у нас есть

$${\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-i{\frac {E}{\hbar }}\Psi .$$

Перестановка уравнения приводит к

$$E\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}},$$

где энергетический коэффициент E представляет собой скалярную величину, энергию, которую имеет частица, и измеряемое значение. Частная производная является линейным оператором , поэтому это выражение является оператором энергии:

$${\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}.$$

Можно сделать вывод, что скаляр E является собственным значением оператора, а ${\hat {E}}$ является оператором. Подводя итог этим результатам:

$${\hat {E}}\Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =E\Psi$$

Для трехмерной плоской волны

$$\Psi =e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$$

вывод точно идентичен, поскольку в термин, включающий время и, следовательно, в производную по времени, не вносится никаких изменений. Поскольку оператор линеен , они действительны для любой линейной комбинации плоских волн и поэтому могут действовать на любую волновую функцию, не затрагивая свойства волновой функции или операторов. Следовательно, это должно быть верно для любой волновой функции. Оказывается, оно работает даже в релятивистской квантовой механике , такой как уравнение Клейна-Гордона, приведенное выше.

См. также

• Симметрия перевода времени
• Постоянная Планка
• Уравнение Шрёдингера
• Оператор импульса
• Гамильтониан (квантовая механика)
• Сохранение энергии
• Комплексное число
• Стационарное состояние