Плоская волна

В физике плоская волна — это частный случай волны или поля : физическая величина, значение которой в любой момент является постоянным в любой плоскости, перпендикулярной фиксированному направлению в пространстве.

На любую должность ${\vec {x}}$ в пространстве и в любое время $t$, значение такого поля можно записать как

$$F({\vec {x}},t)=G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}},t),$$

где ${\vec {n}}$ — вектор единичной длины , а $G(d,t)$ — это функция, которая определяет значение поля как зависящее только от двух реальных параметров: времени $t$, а скалярное смещение $d={\vec {x}}\cdot {\vec {n}}$ в точку ${\vec {x}}$ по направлению ${\vec {n}}$. Смещение постоянно в каждой плоскости, перпендикулярной ${\vec {n}}$.

Значения поля $F$ могут быть скалярами, векторами или любой другой физической или математической величиной. Они могут быть комплексными числами , как в комплексной экспоненциальной плоской волне .

Когда значения $F$ являются векторами, волна называется продольной, если векторы всегда коллинеарны вектору ${\vec {n}}$, и поперечная волна , если они всегда ортогональны (перпендикулярны) ей.

Специальные типы

Бегущая плоская волна

Волновые фронты плоской волны, бегущей в трехмерном пространстве

Часто термин «плоская волна» относится конкретно к бегущей плоской волне , эволюцию которой во времени можно описать как простое перемещение поля с постоянной скоростью волны. $c$ в направлении, перпендикулярном волновым фронтам. Такое поле можно записать как

$$F({\vec {x}},t)=G\left({\vec {x}}\cdot {\vec {n}}-ct\right)\,$$

где $G(u)$ теперь является функцией одного вещественного параметра $u=d-ct$, описывающая «профиль» волны, а именно значение поля в момент времени $t=0$, для каждого перемещения $d={\vec {x}}\cdot {\vec {n}}$. В этом случае ${\vec {n}}$ называется направлением распространения . За каждое перемещение $d$, движущаяся плоскость, перпендикулярная ${\vec {n}}$ на расстоянии $d+ct$ от начала координат называется « волновым фронтом ». Эта плоскость движется вдоль направления распространения ${\vec {n}}$ со скоростью $c$; и тогда значение поля будет одинаковым и постоянным во времени в каждой его точке.

Синусоидальная плоская волна

Основная статья: Синусоидальная плоская волна

Этот термин также используется, даже более конкретно, для обозначения «монохроматической» или синусоидальной плоской волны : бегущей плоской волны, профиль которой $G(u)$является синусоидальной функцией. То есть,

$$F({\vec {x}},t)=A\sin \left(2\pi f({\vec {x}}\cdot {\vec {n}}-ct)+\varphi \right)$$

Параметр $A$, которая может быть скаляром или вектором, называется амплитудой волны; скалярный коэффициент $f$ это его «пространственная частота»; и скаляр $\varphi$ это его « фазовый сдвиг ».

Настоящая плоская волна физически не может существовать, потому что ей пришлось бы заполнить все пространство. Тем не менее модель плоских волн важна и широко используется в физике. Волны, излучаемые любым источником конечной протяженности в большую однородную область пространства, могут быть хорошо аппроксимированы плоскими волнами, если рассматривать любую часть этой области, достаточно малую по сравнению с ее расстоянием от источника. Так обстоит дело, например, со световыми волнами от далекой звезды, достигающими телескопа.

Плоская стоячая волна

— Стоячая волна это поле, значение которого можно выразить как произведение двух функций: одна зависит только от положения, другая — только от времени. Плоскую стоячую волну , в частности, можно выразить как

$$F({\vec {x}},t)=G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}})\,S(t)$$

где $G$ является функцией одного скалярного параметра (перемещения $d={\vec {x}}\cdot {\vec {n}}$) со скалярными или векторными значениями и $S$ является скалярной функцией времени.

Это представление не является уникальным, поскольку одни и те же значения полей получаются, если $S$ и $G$ масштабируются с помощью обратных факторов. Если $\left|S(t)\right|$ ограничен в интересующем интервале времени (что обычно имеет место в физическом контексте), $S$ и $G$ можно масштабировать так, чтобы максимальное значение $\left|S(t)\right|$ равно 1. Тогда $\left|G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}})\right|$ будет максимальная величина поля, видимая в точке ${\vec {x}}$.

Свойства

Плоскую волну можно изучать, игнорируя направления, перпендикулярные вектору направления. ${\vec {n}}$; то есть, рассматривая функцию $G(z,t)=F(z{\vec {n}},t)$ как волна в одномерной среде.

Любой локальный оператор , линейный или нет, примененный к плоской волне, дает плоскую волну. Любая линейная комбинация плоских волн с одним и тем же вектором нормали. ${\vec {n}}$ тоже плоская волна.

Для скалярной плоской волны в двух или трех измерениях градиент поля всегда коллинеарен направлению ${\vec {n}}$; конкретно, $\nabla F({\vec {x}},t)={\vec {n}}\partial _{1}G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}},t)$, где $\partial _{1}G$ является частной производной $G$ относительно первого аргумента.

Расходимость векторной плоской волны зависит только от проекции вектора $G(d,t)$ в направлении ${\vec {n}}$. Конкретно,

$$\nabla \cdot {\vec {F}}({\vec {x}},t)\;=\;{\vec {n}}\cdot \partial _{1}G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}},t)$$

В частности, поперечная плоская волна удовлетворяет условию $\nabla \cdot {\vec {F}}=0$ для всех ${\vec {x}}$ и $t$.

См. также

• Плосковолновое расширение
• Прямолинейное распространение
• Волновое уравнение
• Расширение Вейля