Плосковолновое расширение

В физике плосковолновое разложение выражает плоскую волну как линейную комбинацию сферических волн : $$e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }j_{\ell }(kr)P_{\ell }({\hat {\mathbf {k} }}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}),$$где

• я — мнимая единица ,
• k — волновой вектор длины k ,
• r — вектор положения длины r ,
• j _ℓ — сферические функции Бесселя ,
• P _ℓ — полиномы Лежандра , и
• шляпа ^ обозначает единичный вектор .

В особом случае, когда k выровнено по оси z , $$e^{ikr\cos \theta }=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }j_{\ell }(kr)P_{\ell }(\cos \theta ),$$где θ — сферический полярный r . угол

Разложение по сферическим гармоникам

С помощью теоремы сложения сферических гармоник уравнение можно переписать в виде $$e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=4\pi \sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }j_{\ell }(kr)Y_{\ell }^{m}{}({\hat {\mathbf {k} }})Y_{\ell }^{m*}({\hat {\mathbf {r} }}),$$где

• Ю _ℓ ^м сферические гармоники и
• верхний индекс * обозначает комплексное сопряжение .

Обратите внимание, что комплексное сопряжение между двумя сферическими гармониками можно менять местами из-за симметрии.

Приложения

Разложение плоских волн применяется в

• Акустика
• Оптика
• S-матрица
• Квантовая механика

См. также

• Уравнение Гельмгольца
• Метод разложения плоских волн в вычислительном электромагнетизме
• Расширение Вейля

Ссылки

• Цифровая библиотека математических функций, уравнение 10.60.7 , Национальный институт стандартов и технологий.
• Рами Мехрем (2009), Расширение плоских волн, бесконечные интегралы и тождества, включающие сферические функции Бесселя , arXiv : 0909.0494 , Bibcode : 2009arXiv0909.0494M