Метод разложения плоских волн

Метод расширения плоских волн (PWE) относится к вычислительному методу в электромагнетике для решения уравнений Максвелла путем формулирования проблемы собственных значений из уравнения. Этот метод популярен среди сообщества фотонных кристаллов как метод определения зонной структуры (закона дисперсии) конкретной геометрии фотонных кристаллов. PWE прослеживается до аналитических формулировок и полезен при вычислении модальных решений уравнений Максвелла в неоднородной или периодической геометрии. ^[1]. Он специально настроен для решения задач в гармонических по времени формах с недисперсионными средами (переформулировка метода, называемого обратной дисперсией, позволяет определять показатели преломления, зависящие от частоты. ^[2]).

Принципы

^{[ сомнительно – обсудить ]}

Плоские волны являются решениями однородного уравнения Гельмгольца и составляют основу для представления полей в периодических средах. PWE применительно к фотонным кристаллам, как описано, в основном взят из учебного пособия доктора Даннера. ^[3]

Электрические или магнитные поля разлагаются для каждой компоненты поля по компонентам ряда Фурье вдоль вектора обратной решетки. Аналогичным образом, диэлектрическая проницаемость (которая является периодической вдоль вектора обратной решетки для фотонных кристаллов) также разлагается на компоненты ряда Фурье.

${\frac {1}{\epsilon _{r}}}=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }K_{m}^{\epsilon _{r}}e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }$ $E(\omega ,\mathbf {r} )=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }K_{n}^{E_{y}}e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }$

с коэффициентами ряда Фурье, представляющими собой числа K с индексами m, n соответственно, и вектор обратной решетки, заданный выражением $\mathbf {G}$ . При реальном моделировании набор рассматриваемых компонентов будет сокращен до всего лишь $\pm N_{\max }$ вместо идеальной бесконечной волны.

Используя эти расширения в любом из отношений завитка-завитка, например, ${\frac {1}{\epsilon (\mathbf {r} )}}\nabla \times \nabla \times E(\mathbf {r} ,\omega )=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}E(\mathbf {r} ,\omega )$ и упрощая в предположениях о наличии свободной от источника, линейной и недисперсионной области, мы получаем соотношения собственных значений , которые можно решить.

Пример для 1D случая

Для y-поляризованной электрической волны, распространяющейся по z, падающей на 1D-DBR, периодической только в направлении z и однородной вдоль x, y, с периодом решетки a. Тогда мы имеем следующие упрощенные соотношения: ${\frac {1}{\epsilon _{r}}}=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }K_{m}^{\epsilon _{r}}e^{-i{\frac {2\pi m}{a}}z}$ $E(\omega ,\mathbf {r} )=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }K_{n}^{E_{y}}e^{-i{\frac {2\pi n}{a}}z}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }$

Уравнение материальных собственных значений, которое нам, наконец, предстоит решить, будет выглядеть так: $\sum _{n}{\left({\frac {2\pi n}{a}}+k_{z}\right)\left({\frac {2\pi m}{a}}+k_{z}\right)K_{m-n}^{\epsilon _{r}}K_{n}^{E_{y}}}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}K_{m}^{E_{y}}$

Эту проблему можно решить, построив матрицу для членов в левой части и найдя ее собственное значение и векторы. Собственные значения соответствуют модальным решениям, а сами соответствующие магнитные или электрические поля можно построить с помощью разложений Фурье. Коэффициенты . гармоник поля получаются из конкретных собственных векторов

Результирующая зонная структура, полученная с помощью собственных мод этой структуры, показана справа.

Пример кода

Мы можем использовать следующий код в MATLAB или GNU Octave для вычисления той же зонной структуры:

%
% solve the DBR photonic band structure for a simple
% 1D DBR. air-spacing d, periodicity a, i.e, a > d,
% we assume an infinite stack of 1D alternating eps_r|air layers
% y-polarized, z-directed plane wave incident on the stack
% periodic in the z-direction;
%

% parameters
d = 8; % air gap
a = 10; % total periodicity
d_over_a = d / a;
eps_r = 12.2500; % dielectric constant, like GaAs,

% max F.S coefs for representing E field, and Eps(r), are
Mmax = 50;

% Q matrix is non-symmetric in this case, Qij != Qji
% Qmn = (2*pi*n + Kz)^2*Km-n
% Kn = delta_n / eps_r + (1 - 1/eps_r) (d/a) sinc(pi.n.d/a)
% here n runs from -Mmax to + Mmax,

freqs = [];
for Kz = - pi / a:pi / (10 * a): + pi / a
    Q = zeros(2 * Mmax + 1);
    for x = 1:2 * Mmax + 1
        for y = 1:2 * Mmax + 1
            X = x - Mmax;
            Y = y - Mmax;
            kn = (1 - 1 / eps_r) * d_over_a .* sinc((X - Y) .* d_over_a) + ((X - Y) == 0) * 1 / eps_r;
            Q(x, y) = (2 * pi * (Y - 1) / a + Kz) .^ 2 * kn; % -Mmax<=(Y-1)<=Mmax
        end
    end
 
    fprintf('Kz = %g\n', Kz)
    omega_c = eig(Q);
    omega_c = sort(sqrt(omega_c)); % important step
    freqs = [freqs; omega_c.'];
end

close
figure
hold on
idx = 1;

for idx = 1:length(- pi / a:pi / (10 * a): + pi / a)
    plot(- pi / a:pi / (10 * a): + pi / a, freqs(:, idx), '.-')
end

hold off
xlabel('Kz')
ylabel('omega/c')
title(sprintf('PBG of 1D DBR with d/a=%g, Epsr=%g', d / a, eps_r))

Преимущества

Расширения PWE — это строгие решения. PWE очень хорошо подходит для решения модальной задачи. Проблемы большого размера можно решить с помощью итеративных методов, таких как метод сопряженных градиентов . Как для обобщенных, так и для нормальных задач на собственные значения требуется всего несколько графиков индекса зоны на диаграммах зонной структуры, обычно лежащих на краях зоны Бриллюэна . Это соответствует решениям собственных мод с использованием итерационных методов, а не диагонализации всей матрицы.

ШИМ высокоэффективен для расчета мод в периодических диэлектрических структурах. Будучи методом пространства Фурье, он страдает от явления Гиббса и медленной сходимости в некоторой конфигурации, когда не используется быстрая факторизация Фурье. Это метод выбора для расчета зонной структуры фотонных кристаллов. Поначалу это непросто понять, но легко реализовать.

Недостатки

^{[ сомнительно – обсудить ]}

Иногда появляются ложные режимы. Большие проблемы масштабируются как O ( n ³), с количеством плоских волн ( n ), используемых в задаче. Это требует много времени и требует больших требований к памяти.

Альтернативы включают спектральный метод порядка N и методы, использующие временную область с конечной разностью (FDTD), которые являются более простыми, и моделируют переходные процессы.

При правильной реализации можно избежать ложных решений. Он менее эффективен, когда контраст индексов высок или когда в состав входят металлы. Его нельзя использовать для анализа рассеяния.

Являясь методом пространства Фурье, явление Гиббса влияет на точность метода. Это особенно проблематично для устройств с высоким диэлектрическим контрастом.

См. также

Ссылки

^ Андрианов Игорь Владимирович; Данишевский Владислав Васильевич; Тополь, Хейко; Роджерсон, Грэм А. (25 ноября 2016 г.). «Распространение сдвиговых волн Флоке – Блоха в вязкоупругих композитах: анализ и сравнение моделей интерфейса / межфазной границы несовершенного соединения». Акта Механика . 228 : 1177-1196. дои : 10.1007/s00707-016-1765-4 .
^ Рыбин, Михаил; Лимонов, Михаил (2016). «Метод обратной дисперсии для расчета сложной фотонной зонной диаграммы и симметрии PT». Физический обзор B . 93 (16): 165132. arXiv : 1707.02870 . дои : 10.1103/PhysRevB.93.165132 .
^ Даннер, Аарон Дж. (31 января 2011 г.). «Введение в метод разложения плоских волн для расчета зонных диаграмм фотонных кристаллов» . Аарон Даннер - НУС . Архивировано из оригинала 15 июня 2022 г. Проверено 29 сентября 2022 г.

[1] Андрианов Игорь Владимирович; Данишевский Владислав Васильевич; Тополь, Хейко; Роджерсон, Грэм А. (25 ноября 2016 г.). «Распространение сдвиговых волн Флоке – Блоха в вязкоупругих композитах: анализ и сравнение моделей интерфейса / межфазной границы несовершенного соединения». Акта Механика . 228 : 1177-1196. дои : 10.1007/s00707-016-1765-4 .

[2] Рыбин, Михаил; Лимонов, Михаил (2016). «Метод обратной дисперсии для расчета сложной фотонной зонной диаграммы и симметрии PT». Физический обзор B . 93 (16): 165132. arXiv : 1707.02870 . дои : 10.1103/PhysRevB.93.165132 .

[3] Даннер, Аарон Дж. (31 января 2011 г.). «Введение в метод разложения плоских волн для расчета зонных диаграмм фотонных кристаллов» . Аарон Даннер - НУС . Архивировано из оригинала 15 июня 2022 г. Проверено 29 сентября 2022 г.

[1]

[2]

[3]