Вычислительная электромагнетика

Продолжительность: 6 секунд. 0:06

метода конечных Моделирование субволнового изображения с помощью разностей во временной области.

Вычислительная электромагнетика ( CEM ), вычислительная электродинамика или электромагнитное моделирование — это процесс моделирования взаимодействия электромагнитных полей с физическими объектами и окружающей средой с помощью компьютеров.

Обычно это предполагает использование компьютерных программ для вычисления приближенных решений уравнений Максвелла для расчета характеристик антенны , электромагнитной совместимости , поперечного сечения радара и распространения электромагнитных волн, когда они находятся за пределами свободного пространства. Большой областью являются компьютерные программы моделирования антенн , которые рассчитывают диаграмму направленности и электрические свойства радиоантенн и широко используются для проектирования антенн для конкретных приложений.

Предыстория

Некоторые реальные электромагнитные проблемы, такие как электромагнитное рассеяние , электромагнитное излучение , моделирование волноводов и т. д., не поддаются аналитическому расчету из-за множества нерегулярных геометрических форм, обнаруженных в реальных устройствах. Численные вычислительные методы могут преодолеть неспособность получить решения уравнений Максвелла в замкнутой форме при различных определяющих соотношениях сред и граничных условиях . Это делает вычислительную электромагнетику (CEM) важной для проектирования и моделирования антенн, радаров, спутниковых и других систем связи, нанофотонных устройств и высокоскоростной кремниевой электроники, медицинской визуализации , проектирования антенн сотовых телефонов и других приложений.

CEM обычно решает задачу расчета полей E (электрического) и H (магнитного) в проблемной области (например, для расчета диаграммы направленности антенны для антенной структуры произвольной формы). Также можно рассчитать направление потока мощности ( вектор Пойнтинга волновода ), нормальные моды , дисперсию волн, генерируемых средой, и рассеяние на основе полей E и H . Модели CEM могут предполагать или не предполагать симметрию , упрощая структуры реального мира до идеализированных цилиндров , сфер и других правильных геометрических объектов. Модели CEM широко используют симметрию и позволяют уменьшить размерность с трех пространственных измерений до 2D и даже 1D.

Формулировка задачи собственных значений CEM позволяет нам рассчитывать установившиеся нормальные режимы в конструкции. Эффекты переходного процесса и импульсного поля более точно моделируются CEM во временной области с помощью FDTD . Искривленные геометрические объекты более точно рассматриваются как конечные элементы FEM или неортогональные сетки. Метод распространения луча (BPM) позволяет определить поток мощности в волноводах. CEM зависит от приложения, даже если разные методы сходятся в одном и том же поле и распределениях мощности в моделируемой области.

Обзор методов

Наиболее распространенный численный подход заключается в дискретизации («сетке») проблемного пространства с помощью сеток или правильных форм («ячеек») и решении уравнений Максвелла одновременно во всех ячейках. Дискретизация потребляет память компьютера, а решение соответствующих уравнений занимает значительное время. Крупномасштабные проблемы CEM сталкиваются с ограничениями памяти и ЦП, и борьба с этими ограничениями является активной областью исследований. высокопроизводительная кластеризация, векторная обработка и/или параллелизм Для практического выполнения вычислений часто требуется . Некоторые типичные методы включают в себя: пошаговое рассмотрение уравнений во всей области для каждого момента времени; инверсия ленточной матрицы для расчета весов базисных функций (при моделировании методами конечных элементов); матричные продукты (при использовании методов матрицы переноса); вычисление числовых интегралов (при использовании метода моментов ); использование быстрых преобразований Фурье ; и итерации по времени (при расчете методом дробных шагов или по BPM).

Выбор методов

Выбор правильного метода решения проблемы важен, поскольку выбор неправильного может привести либо к неверным результатам, либо к результатам, вычисления которых займут слишком много времени. Однако название метода не всегда говорит о том, как он реализован, особенно для коммерческих инструментов, которые часто имеют более одного решателя.

Дэвидсон дает две таблицы, сравнивающие методы FEM, MoM и FDTD в том виде, в котором они обычно реализуются. Одна таблица предназначена как для открытой области (проблемы излучения и рассеяния), так и другая таблица для задач направленных волн.

Максвелла в гиперболической

Уравнения Максвелла можно сформулировать как гиперболическую систему уравнений в частных производных . Это дает доступ к мощным методам численного решения.

Предполагается, что волны распространяются в плоскости ( x , y ) и ограничивают направление магнитного поля, чтобы оно было параллельно оси z и, следовательно, электрическое поле было параллельно плоскости ( x , y ). Волна называется поперечной магнитной (TM) волной. В двумерном формате и при отсутствии поляризационных членов уравнения Максвелла можно сформулировать следующим образом:

$${\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {u}}+A{\frac {\partial }{\partial x}}{\bar {u}}+B{\frac {\partial }{\partial y}}{\bar {u}}+C{\bar {u}}={\bar {g}}$$

где u , A , B и C определяются как

$${\begin{aligned}{\bar {u}}&=\left({\begin{matrix}E_{x}\\E_{y}\\H_{z}\end{matrix}}\right),\\[1ex]A&=\left({\begin{matrix}0&0&0\\0&0&{\frac {1}{\epsilon }}\\0&{\frac {1}{\mu }}&0\end{matrix}}\right),\\[1ex]B&=\left({\begin{matrix}0&0&{\frac {-1}{\epsilon }}\\0&0&0\\{\frac {-1}{\mu }}&0&0\end{matrix}}\right),\\[1ex]C&=\left({\begin{matrix}{\frac {\sigma }{\epsilon }}&0&0\\0&{\frac {\sigma }{\epsilon }}&0\\0&0&0\end{matrix}}\right).\end{aligned}}$$

В этом представлении ${\bar {g}}$ является вынуждающей функцией и находится в том же пространстве, что и ${\bar {u}}$. Его можно использовать для выражения внешнего поля или описания ограничения оптимизации . Как сформулировано выше:

$${\bar {g}}=\left({\begin{matrix}E_{x,{\text{constraint}}}\\E_{y,{\text{constraint}}}\\H_{z,{\text{constraint}}}\end{matrix}}\right).$$

${\bar {g}}$ также может быть явно определено равным нулю для упрощения определенных задач или для нахождения характеристического решения , что часто является первым шагом в методе поиска конкретного неоднородного решения.

уравнений

Дискретное

Приближение дискретного диполя представляет собой гибкий метод расчета рассеяния и поглощения мишенями произвольной геометрии . Формулировка основана на интегральной форме уравнений Максвелла. DDA представляет собой аппроксимацию непрерывной цели конечным набором поляризуемых точек. Точки приобретают дипольные моменты в ответ на локальное электрическое поле. Диполи, конечно, взаимодействуют друг с другом через свои электрические поля, поэтому DDA также иногда называют приближением связанных диполей . Полученная линейная система уравнений обычно решается с использованием итераций сопряженного градиента . Матрица дискретизации имеет симметрию (интегральная форма уравнений Максвелла имеет форму свертки), что позволяет быстро преобразовать Фурье для умножения матрицы на вектор во время итераций сопряженного градиента.

Метод моментов и метод граничных элементов

Метод моментов (МОМ) или метод граничных элементов (МГЭ) представляет собой численный вычислительный метод решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных, которые были сформулированы как интегральные уравнения (т.е. в граничной интегральной форме). Его можно применять во многих областях техники и науки, включая механику жидкостей , акустику , электромагнетизм , механику разрушения и пластичность .

MoM стал более популярным с 1980-х годов. Поскольку он требует расчета только граничных значений, а не значений во всем пространстве, он значительно более эффективен с точки зрения вычислительных ресурсов для задач с небольшим соотношением поверхность/объем. Концептуально, он работает путем создания «сетки» поверх моделируемой поверхности. Однако для многих задач MoM значительно менее эффективны в вычислительном отношении, чем методы дискретизации объема ( метод конечных элементов , метод конечных разностей , метод конечных объемов ). Формулировки граничных элементов обычно приводят к полностью заполненным матрицам. Это означает, что требования к памяти и время вычислений будут расти пропорционально квадрату размера задачи. Напротив, матрицы конечных элементов обычно являются полосовыми (элементы связаны только локально), и требования к памяти для системных матриц обычно растут линейно с размером задачи. Методы сжатия ( например, мультипольное расширение или адаптивная перекрестная аппроксимация/иерархические матрицы) могут использоваться для решения этих проблем, хотя и за счет дополнительной сложности, а вероятность успеха сильно зависит от характера и геометрии проблемы.

MoM применим к задачам, для которых функции Грина можно вычислить . Обычно речь идет о полях в линейных однородных средах. Это накладывает существенные ограничения на круг и общность задач, подходящих для граничных элементов. Нелинейности могут быть включены в формулировку, хотя они обычно вводят объемные интегралы, которые требуют дискретизации объема перед решением, что устраняет часто упоминаемое преимущество MoM.

Быстрый многополюсный метод

Метод быстрых мультиполей (FMM) является альтернативой методу MoM или суммированию Эвальда. Это точный метод моделирования, требующий меньше памяти и мощности процессора, чем MoM. FMM впервые был предложен Грингардом и Рохлиным. и основан на методе мультипольного разложения . Первое применение FMM в вычислительной электромагнетике было сделано Энгетой и др. (1992). FMM также имеет применение в вычислительной биоэлектромагнетике в методе быстрых мультиполей граничных элементов на основе заряда . FMM также можно использовать для ускорения MoM.

Плоская волна во временной области

В то время как метод быстрых мультиполей полезен для ускорения решения МоМ интегральных уравнений со статическими или колебательными ядрами в частотной области, алгоритм плоских волн во временной области (PWTD) использует аналогичные идеи для ускорения решения МоМ интегральных уравнений во временной области, включающих запаздывающие потенциал . Алгоритм PWTD был представлен в 1998 году Эргином, Шанкером и Михильссеном.

Метод эквивалентной схемы частичных элементов

( Эквивалентная схема с частичным элементом PEEC) — это метод трехмерного полноволнового моделирования, подходящий для комбинированного электромагнитного анализа и анализа цепей . В отличие от MoM, PEEC представляет собой метод полного спектра, действительный от постоянного тока до максимальной частоты, определяемой сеткой. В методе PEEC интегральное уравнение интерпретируется как закон напряжения Кирхгофа, примененный к базовой ячейке PEEC, что приводит к полному решению схемы для трехмерной геометрии. Формулировка эквивалентной схемы позволяет SPICE легко включать дополнительные элементы схемы типа . Кроме того, модели и анализ применимы как к временной, так и к частотной области. Уравнения схемы, полученные на основе модели PEEC, легко построить с использованием формулировки модифицированного петлевого анализа (MLA) или модифицированного узлового анализа (MNA). Помимо обеспечения решения на постоянном токе, он имеет несколько других преимуществ перед анализом MoM для этого класса задач, поскольку любой тип элемента схемы может быть включен простым способом с соответствующими матричными штампами. Метод PEEC недавно был расширен и теперь включает в себя неортогональную геометрию. Это расширение модели, согласующееся с классической ортогональной формулировкой, включает манхэттенское представление геометрии в дополнение к более общим четырехугольным и шестигранным элементам. Это помогает свести к минимуму количество неизвестных и, таким образом, сократить время вычислений для неортогональных геометрий.

Метод моментов Каньяра-деХопа

Метод моментов Каньяра-деХупа (CdH-MoM) представляет собой трехмерный полноволновой метод интегральных уравнений во временной области, который формулируется с помощью теоремы взаимности Лоренца . Поскольку CdH-MoM в значительной степени опирается на метод Каньяра-деХупа , подход совместного преобразования, первоначально разработанный для аналитического анализа распространения сейсмических волн в модели земной коры, этот подход хорошо подходит для TD EM анализа планарно- слоистые структуры. Первоначально CdH-MoM применялся для исследования характеристик цилиндрических и плоских антенн во временной области. и, совсем недавно, к TD-ЭМ-анализу линий передачи при наличии тонких листов. и электромагнитные метаповерхности, например.

Решатели дифференциальных уравнений

Конечная разность

Конечная разность частотной области (FDFD) обеспечивает строгое решение уравнений Максвелла в частотной области с использованием метода конечных разностей. FDFD, возможно, является самым простым численным методом, который по-прежнему обеспечивает строгое решение. Он невероятно универсален и способен решить практически любую проблему в электромагнетике. Основным недостатком FDFD является низкая эффективность по сравнению с другими методами. Однако на современных компьютерах легко решается огромный спектр задач, таких как расчет управляемых мод в волноводах, расчет рассеяния от объекта, расчет прохождения и отражения от фотонных кристаллов, расчет фотонных зонных диаграмм, моделирование метаматериалов и многое другое.

FDFD может быть лучшим «первым» методом изучения вычислительной электромагнетики (CEM). Он включает в себя почти все концепции, встречающиеся в других методах, но в гораздо более простой форме. Концепции включают граничные условия, линейную алгебру, источники впрыска, численное представление устройств и постобработку полевых данных для расчета значимых результатов. Это поможет человеку изучить другие методы, а также предоставит возможность протестировать и сравнить эти методы.

FDFD очень похож на временную область с конечной разностью (FDTD). Оба метода представляют пространство как массив точек и применяют уравнения Максвелла в каждой точке. FDFD помещает этот большой набор уравнений в матрицу и решает все уравнения одновременно, используя методы линейной алгебры. Напротив, FDTD постоянно перебирает эти уравнения, чтобы со временем найти решение. Численно FDFD и FDTD очень похожи, но их реализации сильно различаются.

Конечная разность во временной области

Временная область с конечной разностью (FDTD) — популярный метод CEM. Это легко понять. Он имеет исключительно простую реализацию полноволнового решателя. Для реализации базового решателя FDTD требуется как минимум на порядок меньше работы, чем для решения FEM или MoM. FDTD — единственная методика, где один человек может реально реализовать себя в разумные сроки, но даже тогда это будет для вполне конкретной задачи. Поскольку это метод во временной области, решения могут охватывать широкий диапазон частот за один прогон моделирования при условии, что шаг по времени достаточно мал, чтобы удовлетворить теореме выборки Найквиста-Шеннона для желаемой самой высокой частоты.

FDTD принадлежит к общему классу методов дифференциального численного моделирования во временной области на основе сетки. Уравнения Максвелла (в форме частных производных ) преобразуются в уравнения центральной разности, дискретизируются и реализуются в программном обеспечении. Уравнения решаются циклическим образом: электрическое поле решается в данный момент времени, затем решается магнитное поле в следующий момент времени, и процесс повторяется снова и снова.

Базовый алгоритм FDTD восходит к основополагающей статье Кейна Йи, опубликованной в 1966 году в журнале IEEE Transactions on Antennas and Propagation . Аллен Тафлов придумал дескриптор «Временная область с конечной разностью» и соответствующую ему аббревиатуру «FDTD» в статье 1980 года в журнале IEEE Trans. Электромагн. Совместим. Примерно с 1990 года методы FDTD стали основным средством моделирования многих научных и инженерных проблем, связанных с взаимодействием электромагнитных волн с материальными структурами. Эффективный метод, основанный на процедуре дискретизации конечного объема во временной области, был представлен Мохаммадианом и др. в 1991 году. Текущие приложения моделирования FDTD варьируются от ближнего постоянного тока (сверхнизкочастотная геофизика, охватывающая весь волновод Земля -ионосфера ) через микроволны (технология радиолокационной сигнатуры, антенны, устройства беспроводной связи, цифровые межсоединения, биомедицинская визуализация/лечение) и до видимого света ( фотонные кристаллы , наноплазмоника, солитоны и биофотоника ). Доступно около 30 коммерческих и разработанных университетами пакетов программного обеспечения.

Прерывистый метод во временной области

Среди многих методов во временной области в последнее время стал популярен разрывной метод Галеркина во временной области (DGTD), поскольку он объединяет преимущества как метода конечного объема во временной области (FVTD), так и метода конечных элементов во временной области (FETD). Как и FVTD, числовой поток используется для обмена информацией между соседними элементами, поэтому все операции DGTD локальны и легко распараллеливаются. Подобно FETD, DGTD использует неструктурированную сетку и обеспечивает точность высокого порядка, если используется иерархическая базисная функция высокого порядка. Благодаря вышеуказанным достоинствам метод DGTD широко применяется для анализа переходных процессов многомасштабных задач, включающих большое количество неизвестных.

Мультиразрешение во временной области

MRTD является адаптивной альтернативой методу конечных разностей во временной области (FDTD), основанному на вейвлет -анализе.

Метод конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) используется для нахождения приближенного решения уравнений в частных производных (ЧДУ) и интегральных уравнений . Подход к решению основан либо на полном исключении производных по времени (стационарные задачи), либо на преобразовании УЧП в эквивалентное обыкновенное дифференциальное уравнение , которое затем решается с использованием стандартных методов, таких как конечные разности и т. д.

При решении уравнений в частных производных основная задача состоит в том, чтобы создать уравнение, которое аппроксимирует изучаемое уравнение, но которое является численно стабильным , что означает, что ошибки во входных данных и промежуточных вычислениях не накапливаются и не разрушают смысл результирующего вывода. Есть много способов сделать это, имеющих различные преимущества и недостатки. Метод конечных элементов является хорошим выбором для решения уравнений в частных производных в сложных областях или когда желаемая точность варьируется во всей области.

Метод конечного интегрирования

Метод конечного интегрирования (FIT) представляет собой схему пространственной дискретизации для численного решения задач электромагнитного поля во временной и частотной области. Он сохраняет основные топологические свойства непрерывных уравнений, такие как сохранение заряда и энергии. FIT был предложен в 1977 году Томасом Вейландом и с годами постоянно совершенствовался. Этот метод охватывает весь спектр электромагнетизма (от статических до высокочастотных) и оптических приложений и является основой для коммерческих инструментов моделирования: CST Studio Suite, разработанного Computer Simulation Technology (CST AG), и Решения для электромагнитного моделирования, разработанные Nimbic .

Основная идея этого подхода заключается в применении уравнений Максвелла в интегральной форме к набору шахматных сеток. Этот метод выделяется высокой гибкостью в геометрическом моделировании и обработке границ, а также включением произвольных распределений материалов и свойств материалов, таких как анизотропия , нелинейность и дисперсия. Кроме того, использование согласованной двойной ортогональной сетки (например, декартовой сетки ) в сочетании с явной схемой интегрирования по времени (например, схемой чехарды) приводит к алгоритмам с эффективным использованием вычислений и памяти, которые особенно адаптированы для анализа переходных полей в радиосвязи. частотные (РЧ) приложения.

Псевдоспектральная временная область

Этот класс методов расчета уравнений Максвелла, идущих во времени, использует либо дискретные преобразования Фурье, либо дискретные преобразования Чебышева для расчета пространственных производных компонентов вектора электрического и магнитного поля, которые расположены либо в двумерной сетке, либо в трехмерной решетке из элементарные ячейки. PSTD вызывает незначительные численные ошибки анизотропии фазовой скорости по сравнению с FDTD и, следовательно, позволяет моделировать проблемы гораздо большего электрического размера.

Псевдоспектральная пространственная область

PSSD решает уравнения Максвелла, распространяя их вперед в выбранном пространственном направлении. Таким образом, поля считаются функцией времени и (возможно) любых поперечных пространственных измерений. Метод является псевдоспектральным, поскольку временные производные вычисляются в частотной области с помощью БПФ. Поскольку поля рассматриваются как функции времени, это позволяет быстро и точно моделировать произвольную дисперсию в среде распространения с минимальными усилиями. Однако выбор распространения вперед в пространстве (а не во времени) несет с собой некоторые тонкости, особенно если важны отражения.

Матрица линий передачи

Матрица линии передачи (TLM) может быть сформулирована несколькими способами: как прямой набор сосредоточенных элементов, решаемых непосредственно решателем схем (например, SPICE, HSPICE и др.), Как пользовательская сеть элементов или с помощью подхода матрицы рассеяния . TLM — это очень гибкая стратегия анализа, схожая по возможностям с FDTD, хотя с механизмами FDTD, как правило, доступно больше кодов.

Локально одномерный

Это неявный метод. В этом методе в двумерном случае уравнения Максвелла вычисляются в два этапа, тогда как в трехмерном случае уравнения Максвелла разбиваются на три направления пространственных координат. Подробно обсуждены стабильность и дисперсионный анализ трехмерного метода LOD-FDTD.

Другие методы

Расширение по собственной моде

Расширение собственных мод (EME) — это строгий двунаправленный метод моделирования распространения электромагнитных волн, который основан на разложении электромагнитных полей на базисный набор локальных собственных мод. Собственные моды находятся путем решения уравнений Максвелла в каждом локальном сечении. Расширение собственных мод может решить уравнения Максвелла в 2D и 3D и может обеспечить полностью векторное решение при условии, что решатели мод являются векторными. Он предлагает очень большие преимущества по сравнению с методом FDTD для моделирования оптических волноводов и является популярным инструментом для моделирования волоконной оптики и устройств кремниевой фотоники .

Физическая оптика

Физическая оптика (ПО) — название высокочастотного приближения (коротковолнового приближения ) , обычно используемого в оптике, электротехнике и прикладной физике . Это промежуточный метод между геометрической оптикой, которая игнорирует волновые эффекты, и полноволновым электромагнетизмом , который является точной теорией . Слово «физический» означает, что это более физический аспект, чем геометрическая оптика , а не то, что это точная физическая теория.

Приближение состоит в использовании лучевой оптики для оценки поля на поверхности и затем интегрировании этого поля по поверхности для расчета прошедшего или рассеянного поля. Это напоминает приближение Борна , в котором детали проблемы рассматриваются как возмущение .

Единая теория дифракции

Единая теория дифракции (UTD) — это высокочастотный метод решения задач электромагнитного рассеяния на электрически малых разрывах или разрывах более чем в одном измерении в одной и той же точке.

Единая теория дифракции аппроксимирует электромагнитные поля ближнего поля как квазиоптические и использует дифракцию лучей для определения коэффициентов дифракции для каждой комбинации дифрагирующего объекта-источника. Эти коэффициенты затем используются для расчета напряженности поля и фазы для каждого направления от точки дифракции. Эти поля затем добавляются к полям инцидентов и отраженным полям для получения общего решения.

Проверка

Валидация является одной из ключевых проблем, с которыми сталкиваются пользователи электромагнитного моделирования. Пользователь должен понять и освоить область действия своего моделирования. Мерой является: «Насколько далеки от реальности результаты?»

Ответ на этот вопрос включает три шага: сравнение результатов моделирования и аналитической формулировки, перекрестное сравнение кодов и сравнение результатов моделирования с измерениями.

Сравнение результатов моделирования

Например, оценив величину радиолокационного сечения пластины по аналитической формуле:

$${\text{RCS}}_{\text{Plate}}={\frac {4\pi A^{2}}{\lambda ^{2}}},$$

где А — поверхность пластины, а $\lambda$ это длина волны. следующую кривую, показывающую ЭПР пластины, рассчитанную на частоте 35 ГГц В качестве справочного примера можно использовать .

Перекрестное сравнение кодов

Одним из примеров является перекрестное сравнение результатов метода моментов и асимптотических методов в областях их применимости.

Сравнение результатов моделирования с измерениями

Заключительный этап проверки выполняется путем сравнения измерений и моделирования. Например, расчет RCS и измерение сложного металлического объекта на частоте 35 ГГц. Вычисление реализует GO, PO и PTD для ребер.

Процессы проверки могут ясно показать, что некоторые различия можно объяснить различиями между экспериментальной установкой и ее воспроизведением в среде моделирования.

Коды светорассеяния

В настоящее время существует множество эффективных программ для решения задач электромагнитного рассеяния. Они перечислены как:

• дискретные дипольные аппроксимационные коды ,
• коды электромагнитного рассеяния цилиндрами ,
• коды электромагнитного рассеяния сферами .

Аналитические решения, такие как решение Ми для рассеяния сферами или цилиндрами, можно использовать для проверки более сложных методов.

См. также

• Программное обеспечение для ЭМ-моделирования
• Аналитическая регуляризация
• Вычислительная физика
• Решатель электромагнитного поля
• Уравнение электромагнитной волны
• Метод конечных разностей во временной области
• Конечная разность в частотной области
• Теория Ми
• Физическая оптика
• Строгий анализ связанных волн
• Картографирование пространства
• Единая теория дифракции
• Стреляющие и отскакивающие лучи
• Список учебников по электромагнетизму

Дальнейшее чтение

• РФ Харрингтон (1993). Расчет поля моментными методами . Wiley-IEEE Press. ISBN  978-0-7803-1014-8 .
• туалет Чу; Ж.-М. Джин; Э. Михельсен; Дж. Сонг (2001). Быстрые и эффективные алгоритмы в вычислительной электромагнетике . Издательство «Артех Хаус». ISBN  978-1-58053-152-8 .
• Дж. Джин (2002). Метод конечных элементов в электромагнетике, 2-й. изд . Wiley-IEEE Press. ISBN  978-0-471-43818-2 .
• Аллен Тафлав и Сьюзан К. Хэгнесс (2005). Вычислительная электродинамика: метод конечных разностей во временной области, 3-е изд . Издательство «Артех Хаус». ISBN  978-1-58053-832-9 .

Внешние ссылки

• Вычислительная электромагнетика в проекте Open Directory
• Вычислительная электромагнетика: обзор. Архивировано 15 марта 2016 г. на Wayback Machine.