Метод конечного объема

Метод конечных объемов ( FVM ) — это метод представления и оценки уравнений в частных производных в форме алгебраических уравнений. ^[1]В методе конечных объемов объемные интегралы в уравнении в частных производных, содержащие член дивергенции , преобразуются в поверхностные интегралы с использованием теоремы о дивергенции . Эти члены затем оцениваются как потоки на поверхностях каждого конечного объема. Поскольку поток, входящий в данный объем, идентичен потоку, выходящему из соседнего объема, эти методы являются консервативными . Еще одним преимуществом метода конечных объемов является то, что его легко сформулировать для учета неструктурированных сеток. Этот метод используется во многих пакетах вычислительной гидродинамики .«Конечный объем» относится к небольшому объему, окружающему каждую узловую точку сетки. ^[2]

Методы конечных объемов можно сравнивать и противопоставлять методам конечных разностей , которые аппроксимируют производные с использованием узловых значений, или методам конечных элементов , которые создают локальные аппроксимации решения с использованием локальных данных и строят глобальную аппроксимацию, сшивая их вместе. Напротив, метод конечных объемов вычисляет точные выражения для среднего значения решения по некоторому объему и использует эти данные для построения аппроксимаций решения внутри ячеек. ^[3]^[4]

Пример [ править ]

Рассмотрим простую одномерную задачу адвекции :

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}=0,\quad t\geq 0.

( 1 )

Здесь, $\rho =\rho \left(x,t\right)$ представляет переменную состояния и $f=f\left(\rho \left(x,t\right)\right)$ представляет собой поток или поток $\rho$ . Традиционно положительный $f$ представляет поток вправо, а отрицательный $f$ представляет поток влево. Если мы предположим, что уравнение ( 1 ) представляет собой текущую среду постоянной площади, мы можем разделить пространственную область на подразделы: $x$ , в конечные объемы или ячейки с центрами ячеек, индексированными как $i$ . Для конкретной ячейки $i$ , мы можем определить среднее по объему значение ${\rho }_{i}\left(t\right)=\rho \left(x,t\right)$ во время ${t=t_{1}}$ и ${x\in \left[x_{i-1/2},x_{i+1/2}\right]}$ , как

{\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)={\frac {1}{x_{i+1/2}-x_{i-1/2}}}\int _{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}\rho \left(x,t_{1}\right)\,dx,

( 2 )

и во время $t=t_{2}$ как,

{\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{x_{i+1/2}-x_{i-1/2}}}\int _{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}\rho \left(x,t_{2}\right)\,dx,

( 3 )

где $x_{i-1/2}$ и $x_{i+1/2}$ представляют местоположения верхних и нижних граней или краев соответственно $i^{\text{th}}$ клетка.

Интегрируя уравнение ( 1 ) по времени, имеем:

\rho \left(x,t_{2}\right)=\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)\,dt,

( 4 )

где $f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}}$ .

Чтобы получить среднее значение объема $\rho \left(x,t\right)$ во время $t=t_{2}$ , мы интегрируем $\rho \left(x,t_{2}\right)$ по объему клетки, $\left[x_{i-1/2},x_{i+1/2}\right]$ и разделите результат на $\Delta x_{i}=x_{i+1/2}-x_{i-1/2}$ , то есть

{\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{\Delta x_{i}}}\int _{x_{i-1/2}}^{x_{i+1/2}}\left\{\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)dt\right\}dx.

( 5 )

Мы предполагаем, что $f\$ хорошо себя ведет и что мы можем изменить порядок интегрирования. Также помните, что поток нормален к единичной площади ячейки. Теперь, поскольку в одном измерении $f_{x}\triangleq \nabla \cdot f$ , мы можем применить теорему о дивергенции , т.е. $\oint _{v}\nabla \cdot fdv=\oint _{S}f\,dS$ и подставим объемный интеграл от дивергенции значениями $f(x)$ оценивается на поверхности клетки (края $x_{i-1/2}$ и $x_{i+1/2}$ ) конечного объема следующим образом:

{\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)-{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left(\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i+1/2}dt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i-1/2}dt\right).

( 6 )

где $f_{i\pm 1/2}=f\left(x_{i\pm 1/2},t\right)$ .

Таким образом, мы можем вывести полудискретную численную схему для вышеупомянутой задачи с центрами ячеек, пронумерованными как $i$ , и с потоками на краях ячеек, индексированными как $i\pm 1/2$ , дифференцируя ( 6 ) по времени, чтобы получить:

{\frac {d{\bar {\rho }}_{i}}{dt}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[f_{i+1/2}-f_{i-1/2}\right]=0,

( 7 )

где значения краевых потоков, $f_{i\pm 1/2}$ , может быть восстановлено путем интерполяции или экстраполяции средних значений по ячейкам. Уравнение ( 7 ) является точным для средних объемов; т. е. при его выводе не делалось никаких приближений.

Этот метод также можно применить к 2D- ситуации, рассматривая северную и южную грани, а также восточную и западную грани вокруг узла.

сохранения закон Общий

Мы также можем рассмотреть общую проблему закона сохранения , представленную следующим УЧП :

{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)={\mathbf {0} }.

( 8 )

Здесь, $\mathbf {u}$ представляет собой вектор состояний и $\mathbf {f}$ представляет соответствующий тензор потока . Мы снова можем разделить пространственную область на конечные объемы или ячейки. Для конкретной ячейки $i$ , берем объемный интеграл по общему объему ячейки, $v_{i}$ , что дает,

\int _{v_{i}}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\,dv+\int _{v_{i}}\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\,dv={\mathbf {0} }.

( 9 )

Интегрируя первый член, чтобы получить среднее значение объема , и применяя теорему о дивергенции ко второму, это дает

v_{i}{{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over dt}+\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} },

( 10 )

где $S_{i}$ представляет собой общую площадь поверхности клетки и ${\mathbf {n} }$ — единичный вектор, нормальный к поверхности и направленный наружу. Итак, наконец, мы можем представить общий результат, эквивалентный ( 8 ), т.е.

{{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over {dt}}+{{1} \over {v_{i}}}\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} }.

( 11 )

Опять же, значения краевых потоков можно восстановить путем интерполяции или экстраполяции средних значений по ячейкам. Фактическая численная схема будет зависеть от геометрии задачи и конструкции сетки. Реконструкция MUSCL часто используется в схемах с высоким разрешением , где в решении присутствуют скачки или разрывы.

Схемы конечного объема консервативны, поскольку средние значения ячеек изменяются в зависимости от краевых потоков. Другими словами, потеря одной ячейки всегда означает выигрыш другой клетки !

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Левек, Рэндалл (2002). Методы конечных объемов для решения гиперболических задач . ISBN 9780511791253 .
^ Ванта, Д.; Смолик, WT; Крышин Ю.; Врублевский, П.; Мидура, М. (октябрь 2021 г.). «Метод конечного объема с использованием неоднородной структурированной сетки квадродерева для моделирования электроемкостной томографии» . Труды Национальной академии наук Индии. Раздел A: Физические науки . 92 (3): 443–452. дои : 10.1007/s40010-021-00748-7 .
^ Фаллах, Северная Каролина; Бейли, К.; Кросс, М.; Тейлор, Джорджия (1 июня 2000 г.). «Сравнение применения методов конечных элементов и конечных объемов в геометрически нелинейном анализе напряжений» . Прикладное математическое моделирование . 24 (7): 439–455. дои : 10.1016/S0307-904X(99)00047-5 . ISSN 0307-904X .
^ Ранганаякулу, К. (Ченну) (2 февраля 2018 г.). «Глава 3, раздел 3.1». Компактные теплообменники: анализ, проектирование и оптимизация с использованием методов FEM и CFD . Ситхараму, КН Хобокен, Нью-Джерси. ISBN 978-1-119-42435-2 . OCLC 1006524487 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

Дальнейшее чтение [ править ]

Эймар, Р. Галлуэ, Т.Р., Хербин, Р. (2000) Метод конечных объемов. Справочник по численному анализу, Vol. VII, 2000, с. 713–1020. Редакторы: П.Г. Сиарлет и Дж.Л. Лайонс.
Хирш, К. (1990), Численный расчет внутренних и внешних потоков, Том 2: Методы расчета невязких и вязких потоков , Wiley.
Лэйни, Калберт Б. (1998), Вычислительная газовая динамика , Издательство Кембриджского университета.
ЛеВек, Рэндалл (1990), Численные методы исследования законов сохранения , Серия лекций ETH по математике, Birkhauser-Verlag.
ЛеВек, Рэндалл (2002), Методы конечных объемов для гиперболических задач , Издательство Кембриджского университета.
Патанкар, Сухас В. (1980), Численная теплопередача и поток жидкости , Полушарие.
Таннехилл, Джон К. и др. (1997), Вычислительная механика жидкостей и теплопередача , 2-е изд., Тейлор и Фрэнсис.
Торо, Э.Ф. (1999), Решатели Римана и численные методы гидродинамики , Springer-Verlag.
Весселинг, Питер (2001), Принципы вычислительной гидродинамики , Springer-Verlag.

Внешние ссылки [ править ]

Методы конечных объемов Р. Эймара, Т. Галлуэ и Р. Хербина , обновление статьи, опубликованной в Handbook of Numerical Analysis, 2000 г.
Рюбенкениг, Оливер. «Метод конечных объемов (FVM) – введение» . Архивировано из оригинала 2 октября 2009 г. , доступный в рамках GFDL .
FiPy: решатель PDE конечного объема с использованием Python от NIST.
CLAWPACK : пакет программного обеспечения, предназначенный для вычисления численных решений гиперболических уравнений в частных производных с использованием подхода распространения волн.

[1] Левек, Рэндалл (2002). Методы конечных объемов для решения гиперболических задач . ISBN 9780511791253 .

[2] Ванта, Д.; Смолик, WT; Крышин Ю.; Врублевский, П.; Мидура, М. (октябрь 2021 г.). «Метод конечного объема с использованием неоднородной структурированной сетки квадродерева для моделирования электроемкостной томографии» . Труды Национальной академии наук Индии. Раздел A: Физические науки . 92 (3): 443–452. дои : 10.1007/s40010-021-00748-7 .

[3] Фаллах, Северная Каролина; Бейли, К.; Кросс, М.; Тейлор, Джорджия (1 июня 2000 г.). «Сравнение применения методов конечных элементов и конечных объемов в геометрически нелинейном анализе напряжений» . Прикладное математическое моделирование . 24 (7): 439–455. дои : 10.1016/S0307-904X(99)00047-5 . ISSN 0307-904X .

[4] Ранганаякулу, К. (Ченну) (2 февраля 2018 г.). «Глава 3, раздел 3.1». Компактные теплообменники: анализ, проектирование и оптимизация с использованием методов FEM и CFD . Ситхараму, КН Хобокен, Нью-Джерси. ISBN 978-1-119-42435-2 . OCLC 1006524487 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[1]

[2]

[3]

[4]