Формула экспоненциального ответа

В математике формула экспоненциального отклика (ERF), также известная как экспоненциальный отклик и комплексная замена , представляет собой метод, используемый для нахождения частного решения неоднородного линейного обыкновенного дифференциального уравнения любого порядка. Формула экспоненциального отклика применима к неоднородным линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами, если функция является полиномиальной , синусоидальной , экспоненциальной или комбинацией этих трех. Общее решение неоднородного линейного обыкновенного дифференциального уравнения представляет собой суперпозицию общего решения соответствующего однородного ОДУ и частного решения неоднородного ОДУ. Альтернативными методами решения обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка являются метод неопределенных коэффициентов и метод вариации параметров .

Контекст и метод

Применимость

Метод ERF поиска частного решения неоднородного дифференциального уравнения применим, если неоднородное уравнение преобразуется или может быть преобразовано к виду $f(t)=B_{1}e^{\gamma _{1}t}+B_{2}e^{\gamma _{2}t}+\cdots +B_{n}e^{\gamma _{n}t}$; где $B,\gamma$ являются действительными или комплексными числами и $f(t)$ — однородное линейное дифференциальное уравнение любого порядка. Затем формула экспоненциального ответа может быть применена к каждому члену правой части такого уравнения. Благодаря линейности формулу экспоненциального отклика можно применять до тех пор, пока в правой части есть члены, которые складываются по принципу суперпозиции .

Сложная замена

Комплексная замена — это метод преобразования неоднородного члена уравнения в комплексную показательную функцию, который превращает данное дифференциальное уравнение в комплексную показательную функцию.

Рассмотрим дифференциальное уравнение $y''+y=\cos(t)$.

Для комплексной замены формулу Эйлера можно использовать ;

${\begin{aligned}\cos(t)&=\operatorname {Re} (e^{it})=\operatorname {Re} (\cos(t)+i\sin(t))\\\sin(t)&=\operatorname {Im} (e^{it})=\operatorname {Im} (\cos(t)+i\sin(t))\end{aligned}}$

Следовательно, данное дифференциальное уравнение меняется на $z''+z=e^{it}$. Решение комплексного дифференциального уравнения можно найти как $z(t)$, из которого действительная часть является решением исходного уравнения.

Комплексная замена применяется при решении дифференциальных уравнений, когда неоднородный член выражается через синусоидальную функцию или показательную функцию, которую можно преобразовать в комплексную показательную функцию дифференцирования и интегрирования. Такой сложной экспоненциальной функцией легче манипулировать, чем исходной функцией.

Когда неоднородный член выражается в виде показательной функции, метод ERF или метод неопределенных коэффициентов можно использовать для нахождения конкретного решения . Если неоднородные члены невозможно преобразовать к комплексной показательной функции, то метод Лагранжа изменения параметров для поиска решений можно использовать .

Линейный, не зависящий от времени оператор

Дифференциальные уравнения важны при моделировании природных явлений. В частности, существует множество явлений, описываемых как линейные дифференциальные уравнения высокого порядка , например, вибрация пружины, схема LRC , отклонение балки , обработка сигналов , теория управления и системы LTI с петлями обратной связи.

Математически система инвариантна ко времени, если всякий раз, когда на входе $f(t)$ есть ответ $x(t)$ тогда для любой константы «а» входные данные $f(t-a)$ есть ответ $x(t-a)$. Физически временная инвариантность означает, что реакция системы не зависит от того, в какое время начинается ввод. Например, если система пружина-масса находится в равновесии , она будет реагировать на данную силу одинаково, независимо от того, когда эта сила была приложена.

Когда стационарная система также является линейной, ее называют линейной стационарной системой (LTI-системой). Большинство этих систем LTI выведены из линейных дифференциальных уравнений, где неоднородный член называется входным сигналом, а решение неоднородных уравнений называется ответным сигналом. Если входной сигнал подается экспоненциально, соответствующий ответный сигнал также изменяется экспоненциально.

Учитывая следующее $n$линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка

$a_{n}{\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+\cdots +a_{1}{\frac {dy}{dt}}+a_{0}y=f(t)\qquad \qquad \quad (1)$

и обозначая

$L=a_{n}D^{n}+a_{n-1}D^{n-1}+\cdots +a_{1}D^{1}+a_{0}I,$

$D^{k}={\frac {d^{k}}{dt^{k}}}(k=1,2,\ldots ,n),$

где $a_{0},\ldots ,a_{n}$ являются постоянными коэффициентами, образует дифференциальный оператор $L$, который является линейным и инвариантным во времени и известен как оператор LTI . Оператор, $L$ получается из его характеристического полинома ;

$P(s)=a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{0}$

формально заменив здесь неопределенный s оператором дифференцирования $D$

$L=P(D)$

$P(D)=a_{n}D^{n}+a_{n-1}D^{n-1}+\cdots +a_{0}I$

Следовательно, уравнение (1) можно записать в виде

$P(D)y=f(t)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2)$

Постановка задачи и метод ERF

Учитывая приведенное выше дифференциальное уравнение LTI с экспоненциальным входом $f(t)=Be^{\gamma t}$, где $B$ и $\gamma$ даны числа. Тогда частное решение

$y_{p}={\frac {Be^{\gamma t}}{P(\gamma )}}\qquad$

обеспечить только это $P(\gamma )\neq 0$.

Доказательство : Ввиду линейности оператора $P(D)$, уравнение можно записать как

$P(D)(y_{p})=P(D)\left({\frac {Be^{\gamma t}}{P(\gamma )}}\right)={\frac {B}{P(\gamma )}}P(D)(e^{\gamma t})\qquad \qquad (3)$

С другой стороны, поскольку

$P(D)\left(e^{\gamma t}\right)=P(\gamma )e^{\gamma t},$

подставив это в уравнение (3), получим

$P(D)(y_{p})=P(D)\left({\frac {Be^{\gamma t}}{P(\gamma )}}\right)={\frac {B}{P(\gamma )}}P(D)\left(e^{\gamma t}\right)={\frac {B}{P(\gamma )}}P(\gamma )e^{\gamma t}=Be^{\gamma t}.$

Поэтому, $y_{p}$ является частным решением неоднородного дифференциального уравнения.

Таким образом, приведенное выше уравнение для конкретного ответа $y_{p}$ называется формулой экспоненциального отклика (ERF) для данного экспоненциального входа.

В частности, в случае $P(\gamma )=0$, решение уравнения (2) имеет вид

$y_{p}={\frac {Bte^{\gamma t}}{P'(\gamma )}},\qquad P'(\gamma )\neq 0$

и называется формулой резонансного отклика .

Пример

Найдем частное решение линейного неоднородного ОДУ 2-го порядка;

$2x''+x'+x=1+2e^{t}+e^{-t}\cos(t).$

Характеристический полином $P(s)=2s^{2}+s+1$. Кроме того, неоднородный термин, $f(t)=1+2e^{t}+e^{-t}\cos(t)$ можно записать следующим образом

$f(t)=f_{1}(t)+f_{2}(t)+f_{3}(t),f_{1}(t)=1,f_{2}(t)=2e^{t},f_{3}(t)=e^{-t}\cos(t).$

Тогда частные решения, соответствующие $f_{1}(t),f_{2}(t)$ и $f_{3}(t)$, находятся соответственно.

Во-первых, учитывая неоднородный член, $f_{1}(t)=1$. В этом случае, поскольку $f_{1}(t)=1=e^{0\cdot t},\gamma =0$ и $P(\gamma )=P(0)=1\neq 0$.

из ЭРФ частное решение, соответствующее $f_{1}(t)$ можно найти.

$x_{1p}={\frac {f_{1}(t)}{P(0)}}={\frac {1}{1}}=1$.

Аналогично можно найти частное решение, соответствующее $f_{2}(t)$.

$x_{2p}={\frac {f_{2}(t)}{P(1)}}={\frac {2e^{t}}{4}}={\frac {e^{t}}{2}}.$

Найдем частное решение ДУ, соответствующее 3-му члену;

$2x''+x'+x=e^{-t}\cos(t).$

Для этого уравнение необходимо заменить комплексным уравнением, действительной частью которого является:

$2z''+z'+z=e^{(-1+i)t}.$

Применение формулы экспоненциального отклика (ERF) дает

${\begin{aligned}z_{p}&={\frac {e^{(-1+i)t}}{P(-1+i)}}\\&={\frac {ie^{(-1+i)t}}{3}}&&P(-1+i)=2(-1+i)^{2}+(-1+i)+1=-3i\end{aligned}}$

и реальная часть

$x_{3p}=-{\frac {1}{3}}e^{-t}\sin(t).$

Следовательно, частное решение данного уравнения $x_{p}$ является

$x_{p}=x_{1p}+x_{2p}+x_{3p}=1+{\frac {e^{t}}{2}}-{\frac {1}{3}}e^{-t}\sin(t).$

с методом

Метод неопределенных коэффициентов — это метод надлежащего выбора типа решения в соответствии с формой неоднородного члена и определения неопределенной константы, чтобы оно удовлетворяло неоднородному уравнению. С другой стороны, метод ERF позволяет получить специальное решение, основанное на дифференциальном операторе. Сходство обоих методов состоит в том, что получаются специальные решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, при этом вид рассматриваемого уравнения одинаков в обоих методах.

Например, найти частное решение задачи $y''+y=e^{t}$ методом неопределенных коэффициентов требует решения характеристического уравнения $\lambda ^{2}+1=0,\lambda =\pm i$. Неоднородный термин $f(t)=Be^{\gamma t},B=1,\gamma =1$ затем рассматривается, и поскольку $\gamma =1$ не является характеристическим корнем , он представляет частное решение в виде $y_{p}(t)=Ae^{\gamma t}$, где $A$ является неопределенной константой. Подстановка в уравнение для определения ориентировочной постоянной доходности

$\lambda ^{2}Ae^{\lambda t}+Ae^{\lambda t}=e^{\lambda t}$

поэтому

$A={\frac {1}{\lambda ^{2}+1}}.$

Частное решение можно найти в виде:

$y_{p}(t)=Ae^{\lambda t}={\frac {e^{\lambda t}}{\lambda ^{2}+1}}.$

С другой стороны, метод формулы экспоненциального отклика требует характеристического полинома $P(s)=s^{2}+1$ необходимо найти, после чего неоднородные члены $f(t)=Be^{\gamma t},B=1,\gamma =1$ комплексно заменен. Затем частное решение находится по формуле

$y_{p}(t)={\frac {e^{\lambda t}}{P(\lambda )}}={\frac {e^{\lambda t}}{\lambda ^{2}+1}}.$

Обобщенная формула экспоненциального ответа

Обсуждался метод формулы экспоненциального отклика в случае $P(\gamma )\neq 0$. В случае $P(\gamma )=0,P'(\gamma )\neq 0$, формула резонансного отклика также рассматривается .

В случае $P(\gamma )=P'(\gamma )=\cdots =P^{(k-1)}(\gamma )=0,P^{k}(\gamma )\neq 0$, мы обсудим, как будет описан метод ERF в этом разделе.

Позволять $P(D)$ — полиномиальный оператор с постоянными коэффициентами, и $P^{(m)}$ его $m$-я производная. Тогда ОДА

$P(D)y=Be^{\gamma t}$, где $\gamma$ является реальным или сложным.

имеет следующее частное решение.

• $P(\gamma )\neq 0$. В этом случае частное решение будет иметь вид $y_{p}(t)={\tfrac {Be^{\gamma t}}{P(\gamma )}}$.( формула ответа экспоненты )

• $P(\gamma )=0$ но $P'(\gamma )\neq 0$. В этом случае частное решение будет иметь вид $y_{p}(t)={\tfrac {Bte^{\gamma t}}{P'(\gamma )}}$.( формула резонансного отклика )

• $P(\gamma )=P'(\gamma )=\cdots =P^{(k-1)}(\gamma )=0$ но $P^{k}(\gamma )\neq 0$. В этом случае частное решение будет иметь вид

$y_{p}(t)={\frac {Bt^{k}e^{\gamma t}}{P^{(k)}(\gamma )}},k=2,\ldots ,m$

Приведенное выше уравнение называется формулой обобщенной экспоненциальной реакции .

Пример

Найти частное решение следующего ОДУ;

$y'''-3y'+2y=6e^{t}.$

характеристический полином $P(s)=s^{3}-3s+2$.

Проведя расчеты, получаем следующее:

$P(1)=0,P'(1)=0,P''(1)=6\neq 0.$

Исходная формула экспоненциального отклика в этом случае неприменима из-за деления на ноль. Следовательно, используя обобщенную формулу экспоненциального отклика и рассчитанные константы, частное решение имеет вид

$y_{p}(t)={\frac {6t^{2}e^{t}}{P''(1)}}={\frac {6t^{2}e^{t}}{6}}=t^{2}e^{t}.$

Примеры применения

Движение предмета, подвешенного на пружине

Предмет, подвешенный на пружине со смещением $d$. Действующая сила — это гравитация, сила пружины, сопротивление воздуха и любые другие внешние силы.

Из закона Гука уравнение движения объекта выражается следующим образом:

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+r{\frac {dx}{dt}}+kx=F(t),$

где $F(t)$ является внешней силой.

Теперь, если сопротивлением и пренебречь $F(t)=F_{0}\cos(\omega t)$, где $\omega ={\sqrt {\tfrac {k}{m}}}$ (частота внешней силы совпадает с собственной частотой). Следовательно, гармонический осциллятор с синусоидальной силой выражается следующим образом:

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+kx=F(t).$

Тогда частное решение

$x_{p}={\frac {F_{0}}{2{\sqrt {km}}}}t\sin(\omega t).$

Применяя комплексную замену и ЭРФ: если $z_{p}$ является решением комплексного ДУ

$m{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+kz=F_{0}e^{i\omega t},$

затем $x_{p}=\operatorname {Re} (z_{p})$ будет решением данного ДУ.

Характеристический полином $P(s)=ms^{2}+k$, и $\gamma =i\omega$, так что $P(\gamma )=0$. Однако, поскольку $P'(s)=2ms$, затем $P'(\gamma )=P'(i\omega )=2m\omega i\neq 0$. Таким образом, резонансный случай ЭРФ дает

${\begin{aligned}y_{p}&=\operatorname {Re} \left({\frac {F_{0}te^{i\omega t}}{P'(\gamma )}}\right)\\[4pt]&=\operatorname {Re} \left({\frac {F_{0}t(\cos(\omega t)+i\sin(\omega t))}{2mi\omega }}\right)\\[4pt]&=\operatorname {Re} \left({\frac {-F_{0}t(i\cos(\omega t)-\sin(\omega t))}{2m\omega }}\right)\\[4pt]&={\frac {F_{0}t\sin(\omega t)}{2m\omega }}\\[4pt]&={\frac {F_{0}}{2{\sqrt {km}}}}t\sin(\omega t).\end{aligned}}$

Электрические схемы

Учитывая электрический ток, текущий по электрической цепи, состоящей из сопротивления ( $R$), конденсатор ( $C$), провода катушки ( $L$) и аккумулятор ( $E$), соединенные последовательно.

Эта система описывается интегро-дифференциальным уравнением, найденным Кирхгофом, называемым законом напряжения Кирхгофа , связывающим резистор $R$, конденсатор $C$, индуктор $L$, аккумулятор $E$, и текущий $I$ в схеме следующим образом:

$LI'(t)+RI(t)+{\frac {1}{C}}\int _{t_{0}}^{t}I(s)\,ds=\int _{t_{0}}^{t}E(s)\,ds$

Дифференцируя обе части приведенного выше уравнения, получаем следующий ОДУ.

$LI''(t)+RI'(t)+{\frac {1}{C}}I(t)=E(t)$

Теперь, предполагая $E(t)=E_{0}\sin(\omega _{0}t)$, где $\omega _{0}={\sqrt {\tfrac {1}{LC}}}$. ( $\omega _{0}$ называется резонансной частотой в цепи LRC ). Согласно приведенному выше предположению, выход (частное решение), соответствующий входу $E(t)$ можно найти. Для этого данные входные данные можно преобразовать в сложную форму:

$E(t)=E_{0}\sin(\omega _{0}t)=\operatorname {Im} (E_{0}e^{i\omega _{0}t})$

Характеристический полином $P(s)=Ls^{2}+Rs+{\frac {1}{s}}$, где $P(i\omega _{0})=i\omega _{0}R\neq 0$. Следовательно, из ЭРФ частное решение можно получить следующим образом:

${\begin{aligned}I_{p}&=\operatorname {Im} \left({\frac {E_{0}e^{i\omega _{0}t}}{P(i\omega _{0})}}\right)\\&=\operatorname {Im} \left({\frac {E_{0}e^{i\omega _{0}t}}{i\omega _{0}R}}\right)\\&=\operatorname {Im} \left({\frac {-E_{0}(i\cos(\omega _{0}t)-\sin(\omega _{0}t))}{\omega _{0}R}}\right)\\[4pt]&={\frac {-E_{0}\cos(\omega _{0}t)}{\omega _{0}R}}\end{aligned}}$

усиление и

Учитывая общую систему LTI

$P(D)x=Q(D)f(t)$

где $f(t)$ это вход и $P(D),Q(D)$ заданы полиномиальные операторы, предполагая, что $P(s)\neq 0$.В случае, если $f(r)=F_{0}\cos(\omega t)$, частным решением данного уравнения является

$x_{p}(t)=\operatorname {Re} \left(F_{0}{\frac {Q(i\omega )}{P(i\omega )}}e^{i\omega t}\right).$

Учитывая следующие концепции, используемые в основном в физике и обработке сигналов.

• Амплитуда входного сигнала $F_{0}$. Он имеет те же единицы измерения, что и входное количество.
• Угловая частота входа $\omega$. Он имеет единицы радианы/время. Часто ее называют частотой, хотя технически частота должна иметь единицы циклов/времени.
• Амплитуда ответа $A=F_{0}|Q(i\omega )/P(i\omega )|$. Он имеет те же единицы измерения, что и количество ответов.
• Выигрыш $g(\omega )=|Q(i\omega )/P(i\omega )|$. Коэффициент усиления — это коэффициент, на который умножается входная амплитуда, чтобы получить амплитуду отклика. В нем есть единицы, необходимые для преобразования входных единиц в выходные.
• Фазовая задержка $\phi =-\operatorname {Arg} (Q(i\omega )/P(i\omega ))$. Фазовая задержка измеряется в радианах, т.е. она безразмерна.
• Временной лаг $\phi /\omega$. Здесь есть единицы времени. Это время, когда пик выходного сигнала отстает от пика входного сигнала.
• Комплексный выигрыш $Q(i\omega )/P(i\omega )$. Это коэффициент, на который умножается комплексный входной сигнал, чтобы получить комплексный выходной результат.

Внешние ссылки

• Операторы и формула экспоненциального ответа
• Обобщенная формула экспоненциального отклика