Формула экспоненциального ответа

В математике формула экспоненциального отклика (ERF), также известная как экспоненциальный отклик и комплексная замена , представляет собой метод, используемый для нахождения частного решения неоднородного линейного обыкновенного дифференциального уравнения любого порядка. ^[1]^[2] Формула экспоненциального отклика применима к неоднородным линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами, если функция является полиномиальной , синусоидальной , экспоненциальной или комбинацией этих трех. ^[2] Общее решение неоднородного линейного обыкновенного дифференциального уравнения представляет собой суперпозицию общего решения соответствующего однородного ОДУ и частного решения неоднородного ОДУ. ^[1] Альтернативными методами решения обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка являются метод неопределенных коэффициентов и метод вариации параметров .

Контекст и метод [ править ]

Применимость [ править ]

Метод ERF нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения применим, если неоднородное уравнение преобразуется или может быть преобразовано к виду $f(t)=B_{1}e^{\gamma _{1}t}+B_{2}e^{\gamma _{2}t}+\cdots +B_{n}e^{\gamma _{n}t}$ ; где $B,\gamma$ являются действительными или комплексными числами и $f(t)$ — однородное линейное дифференциальное уравнение любого порядка. Затем формула экспоненциального ответа может быть применена к каждому члену правой части такого уравнения. Благодаря линейности формулу экспоненциального отклика можно применять до тех пор, пока в правой части есть члены, которые складываются по принципу суперпозиции .

Сложная замена [ править ]

Комплексная замена — это метод преобразования неоднородного члена уравнения в комплексную показательную функцию, который превращает данное дифференциальное уравнение в комплексную показательную функцию.

Рассмотрим дифференциальное уравнение $y''+y=\cos(t)$ .

Для комплексной замены формулу Эйлера можно использовать ;

{\begin{aligned}\cos(t)&=\operatorname {Re} (e^{it})=\operatorname {Re} (\cos(t)+i\sin(t))\\\sin(t)&=\operatorname {Im} (e^{it})=\operatorname {Im} (\cos(t)+i\sin(t))\end{aligned}}

Следовательно, данное дифференциальное уравнение изменится на $z''+z=e^{it}$ . Решение комплексного дифференциального уравнения можно найти как $z(t)$ , из которого действительная часть является решением исходного уравнения.

Комплексная замена применяется при решении дифференциальных уравнений, когда неоднородный член выражается через синусоидальную функцию или показательную функцию, которую можно преобразовать в комплексную показательную функцию дифференцирования и интегрирования. Такой сложной экспоненциальной функцией легче манипулировать, чем исходной функцией.

Когда неоднородный член выражается в виде показательной функции, метод ERF или метод неопределенных коэффициентов можно использовать для нахождения конкретного решения . Если неоднородные члены не могут быть преобразованы к комплексной показательной функции, то метод Лагранжа изменения параметров для поиска решений можно использовать .

Линейный, не зависящий от времени оператор [ править ]

Дифференциальные уравнения важны при моделировании природных явлений. В частности, существует множество явлений, описываемых как линейные дифференциальные уравнения высокого порядка , например, вибрация пружины, схема LRC , отклонение балки , обработка сигналов , теория управления и системы LTI с петлями обратной связи. ^[1] ^[3]

Математически система инвариантна ко времени, если всякий раз, когда на входе $f(t)$ есть ответ $x(t)$ тогда для любой константы «а» входные данные $f(t-a)$ есть ответ $x(t-a)$ . Физически временная инвариантность означает, что реакция системы не зависит от того, в какое время начинается ввод. Например, если система пружина-масса находится в равновесии , она будет реагировать на данную силу одинаково, независимо от того, когда эта сила была приложена.

Когда стационарная система также является линейной, ее называют линейной стационарной системой (LTI-системой). Большинство этих систем LTI выведены из линейных дифференциальных уравнений, где неоднородный член называется входным сигналом, а решение неоднородных уравнений называется ответным сигналом. Если входной сигнал подается экспоненциально, соответствующий ответный сигнал также изменяется экспоненциально.

Учитывая следующее $n$ линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка

a_{n}{\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+\cdots +a_{1}{\frac {dy}{dt}}+a_{0}y=f(t)\qquad \qquad \quad (1)

и обозначая

L=a_{n}D^{n}+a_{n-1}D^{n-1}+\cdots +a_{1}D^{1}+a_{0}I,

D^{k}={\frac {d^{k}}{dt^{k}}}(k=1,2,\ldots ,n),

где $a_{0},\ldots ,a_{n}$ являются постоянными коэффициентами, образует дифференциальный оператор $L$ , который является линейным и инвариантным во времени и известен как оператор LTI . Оператор, $L$ получается из его характеристического полинома ;

P(s)=a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{0}

формально заменив здесь неопределенный s оператором дифференцирования $D$

L=P(D)

P(D)=a_{n}D^{n}+a_{n-1}D^{n-1}+\cdots +a_{0}I

Следовательно, уравнение (1) можно записать в виде

P(D)y=f(t)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2)

Постановка задачи и метод ERF [ править ]

Учитывая приведенное выше дифференциальное уравнение LTI с экспоненциальным входом $f(t)=Be^{\gamma t}$ , где $B$ и $\gamma$ даны числа. Тогда частное решение

$y_{p}={\frac {Be^{\gamma t}}{P(\gamma )}}\qquad$

обеспечить только это $P(\gamma )\neq 0$ .

Доказательство : Ввиду линейности оператора $P(D)$ , уравнение можно записать как

P(D)(y_{p})=P(D)\left({\frac {Be^{\gamma t}}{P(\gamma )}}\right)={\frac {B}{P(\gamma )}}P(D)(e^{\gamma t})\qquad \qquad (3)

С другой стороны, поскольку

P(D)\left(e^{\gamma t}\right)=P(\gamma )e^{\gamma t},

подставив это в уравнение (3), получим

P(D)(y_{p})=P(D)\left({\frac {Be^{\gamma t}}{P(\gamma )}}\right)={\frac {B}{P(\gamma )}}P(D)\left(e^{\gamma t}\right)={\frac {B}{P(\gamma )}}P(\gamma )e^{\gamma t}=Be^{\gamma t}.

Поэтому, $y_{p}$ является частным решением неоднородного дифференциального уравнения.

Таким образом, приведенное выше уравнение для конкретного ответа $y_{p}$ называется формулой экспоненциального отклика (ERF) для данного экспоненциального входа.

В частности, в случае $P(\gamma )=0$ , решение уравнения (2) имеет вид

y_{p}={\frac {Bte^{\gamma t}}{P'(\gamma )}},\qquad P'(\gamma )\neq 0

и называется формулой резонансного отклика .

Пример [ править ]

Найдем частное решение линейного неоднородного ОДУ 2-го порядка;

2x''+x'+x=1+2e^{t}+e^{-t}\cos(t).

Характеристический полином $P(s)=2s^{2}+s+1$ . Кроме того, неоднородный термин, $f(t)=1+2e^{t}+e^{-t}\cos(t)$ можно записать следующим образом

f(t)=f_{1}(t)+f_{2}(t)+f_{3}(t),f_{1}(t)=1,f_{2}(t)=2e^{t},f_{3}(t)=e^{-t}\cos(t).

Тогда частные решения, соответствующие $f_{1}(t),f_{2}(t)$ и $f_{3}(t)$ , находятся соответственно.

Во-первых, учитывая неоднородный член, $f_{1}(t)=1$ . В этом случае, поскольку $f_{1}(t)=1=e^{0\cdot t},\gamma =0$ и $P(\gamma )=P(0)=1\neq 0$ .

из ERF, частное решение, соответствующее $f_{1}(t)$ может быть найден.

x_{1p}={\frac {f_{1}(t)}{P(0)}}={\frac {1}{1}}=1

.

Аналогично можно найти частное решение, соответствующее $f_{2}(t)$ .

x_{2p}={\frac {f_{2}(t)}{P(1)}}={\frac {2e^{t}}{4}}={\frac {e^{t}}{2}}.

Найдем частное решение ДУ, соответствующее 3-му члену;

2x''+x'+x=e^{-t}\cos(t).

Для этого уравнение необходимо заменить комплексным уравнением, действительной частью которого является:

2z''+z'+z=e^{(-1+i)t}.

Применение формулы экспоненциального отклика (ERF) дает

{\begin{aligned}z_{p}&={\frac {e^{(-1+i)t}}{P(-1+i)}}\\&={\frac {ie^{(-1+i)t}}{3}}&&P(-1+i)=2(-1+i)^{2}+(-1+i)+1=-3i\end{aligned}}

и реальная часть

x_{3p}=-{\frac {1}{3}}e^{-t}\sin(t).

Следовательно, частное решение данного уравнения $x_{p}$ является

x_{p}=x_{1p}+x_{2p}+x_{3p}=1+{\frac {e^{t}}{2}}-{\frac {1}{3}}e^{-t}\sin(t).

Сравнение с методом неопределенных коэффициентов [ править ]

Метод неопределенных коэффициентов представляет собой метод соответствующего выбора типа решения в соответствии с формой неоднородного члена и определения неопределенной константы, чтобы оно удовлетворяло неоднородному уравнению. ^[4] С другой стороны, метод ERF позволяет получить специальное решение, основанное на дифференциальном операторе. ^[2] Сходство обоих методов заключается в том, что получаются специальные решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, при этом вид рассматриваемого уравнения одинаков в обоих методах.

Например, найти частное решение задачи $y''+y=e^{t}$ методом неопределенных коэффициентов требует решения характеристического уравнения $\lambda ^{2}+1=0,\lambda =\pm i$ . Неоднородный термин $f(t)=Be^{\gamma t},B=1,\gamma =1$ затем рассматривается, и поскольку $\gamma =1$ не является характеристическим корнем , он представляет частное решение в виде $y_{p}(t)=Ae^{\gamma t}$ , где $A$ является неопределенной константой. Подстановка в уравнение для определения ориентировочной постоянной доходности

\lambda ^{2}Ae^{\lambda t}+Ae^{\lambda t}=e^{\lambda t}

поэтому

A={\frac {1}{\lambda ^{2}+1}}.

Частное решение можно найти в виде: ^[5]

y_{p}(t)=Ae^{\lambda t}={\frac {e^{\lambda t}}{\lambda ^{2}+1}}.

С другой стороны, метод формулы экспоненциального отклика требует характеристического полинома $P(s)=s^{2}+1$ необходимо найти, после чего неоднородные члены $f(t)=Be^{\gamma t},B=1,\gamma =1$ комплексно заменен. Затем частное решение находится по формуле

y_{p}(t)={\frac {e^{\lambda t}}{P(\lambda )}}={\frac {e^{\lambda t}}{\lambda ^{2}+1}}.

Обобщенная формула экспоненциального ответа [ править ]

Обсуждался метод формулы экспоненциального отклика в случае $P(\gamma )\neq 0$ . В случае $P(\gamma )=0,P'(\gamma )\neq 0$ , формула резонансного отклика также рассматривается .

В случае $P(\gamma )=P'(\gamma )=\cdots =P^{(k-1)}(\gamma )=0,P^{k}(\gamma )\neq 0$ , мы обсудим, как будет описан метод ERF в этом разделе.

Позволять $P(D)$ — полиномиальный оператор с постоянными коэффициентами, и $P^{(m)}$ его $m$ -я производная. Тогда ОДА

P(D)y=Be^{\gamma t}

, где

\gamma

является реальным или сложным.

имеет следующее частное решение.

$P(\gamma )\neq 0$ . В этом случае частное решение будет иметь вид $y_{p}(t)={\tfrac {Be^{\gamma t}}{P(\gamma )}}$ .( формула ответа экспоненты )

$P(\gamma )=0$ но $P'(\gamma )\neq 0$ . В этом случае частное решение будет иметь вид $y_{p}(t)={\tfrac {Bte^{\gamma t}}{P'(\gamma )}}$ .( формула резонансного отклика )

$P(\gamma )=P'(\gamma )=\cdots =P^{(k-1)}(\gamma )=0$ но $P^{k}(\gamma )\neq 0$ . В этом случае частное решение будет иметь вид

$y_{p}(t)={\frac {Bt^{k}e^{\gamma t}}{P^{(k)}(\gamma )}},k=2,\ldots ,m$

Приведенное выше уравнение называется формулой обобщенной экспоненциальной реакции .

Пример [ править ]

Найти частное решение следующего ОДУ;

y'''-3y'+2y=6e^{t}.

характеристический полином $P(s)=s^{3}-3s+2$ .

Проведя расчеты, получаем следующее:

P(1)=0,P'(1)=0,P''(1)=6\neq 0.

Исходная формула экспоненциального отклика в этом случае неприменима из-за деления на ноль. Следовательно, используя обобщенную формулу экспоненциального отклика и рассчитанные константы, частное решение имеет вид

y_{p}(t)={\frac {6t^{2}e^{t}}{P''(1)}}={\frac {6t^{2}e^{t}}{6}}=t^{2}e^{t}.

Примеры применения [ править ]

Движение предмета, подвешенного на пружине [ править ]

Предмет, подвешенный на пружине со смещением $d$ . Действующая сила — это гравитация, сила пружины, сопротивление воздуха и любые другие внешние силы.

Из закона Гука уравнение движения объекта выражается следующим образом: ^[6]^[4]

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+r{\frac {dx}{dt}}+kx=F(t),

где $F(t)$ является внешней силой.

Теперь, если пренебречь сопротивлением и $F(t)=F_{0}\cos(\omega t)$ , где $\omega ={\sqrt {\tfrac {k}{m}}}$ (частота внешней силы совпадает с собственной частотой). Следовательно, гармонический осциллятор с синусоидальной силой выражается следующим образом:

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+kx=F(t).

Тогда частное решение

x_{p}={\frac {F_{0}}{2{\sqrt {km}}}}t\sin(\omega t).

Применяя комплексную замену и ЭРФ: если $z_{p}$ является решением комплексного ДУ

m{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+kz=F_{0}e^{i\omega t},

затем $x_{p}=\operatorname {Re} (z_{p})$ будет решением данного ДУ.

Характеристический полином $P(s)=ms^{2}+k$ , и $\gamma =i\omega$ , так что $P(\gamma )=0$ . Однако, поскольку $P'(s)=2ms$ , затем $P'(\gamma )=P'(i\omega )=2m\omega i\neq 0$ . Таким образом, резонансный случай ЭРФ дает

{\begin{aligned}y_{p}&=\operatorname {Re} \left({\frac {F_{0}te^{i\omega t}}{P'(\gamma )}}\right)\\[4pt]&=\operatorname {Re} \left({\frac {F_{0}t(\cos(\omega t)+i\sin(\omega t))}{2mi\omega }}\right)\\[4pt]&=\operatorname {Re} \left({\frac {-F_{0}t(i\cos(\omega t)-\sin(\omega t))}{2m\omega }}\right)\\[4pt]&={\frac {F_{0}t\sin(\omega t)}{2m\omega }}\\[4pt]&={\frac {F_{0}}{2{\sqrt {km}}}}t\sin(\omega t).\end{aligned}}

Электрические схемы [ править ]

Учитывая электрический ток, текущий по электрической цепи, состоящей из сопротивления ( $R$ ), конденсатор ( $C$ ), провода катушки ( $L$ ) и аккумулятор ( $E$ ), соединенных последовательно. ^[3]^[6]

Эта система описывается интегро-дифференциальным уравнением, найденным Кирхгофом, называемым законом напряжения Кирхгофа , связывающим резистор $R$ , конденсатор $C$ , индуктор $L$ , аккумулятор $E$ , и текущий $I$ в схеме следующим образом:

LI'(t)+RI(t)+{\frac {1}{C}}\int _{t_{0}}^{t}I(s)\,ds=\int _{t_{0}}^{t}E(s)\,ds

Дифференцируя обе части приведенного выше уравнения, получаем следующий ОДУ.

LI''(t)+RI'(t)+{\frac {1}{C}}I(t)=E(t)

Теперь, предполагая $E(t)=E_{0}\sin(\omega _{0}t)$ , где $\omega _{0}={\sqrt {\tfrac {1}{LC}}}$ . ( $\omega _{0}$ называется резонансной частотой в цепи LRC ). Согласно приведенному выше предположению, выход (частное решение), соответствующий входу $E(t)$ может быть найден. Для этого данные входные данные можно преобразовать в сложную форму:

E(t)=E_{0}\sin(\omega _{0}t)=\operatorname {Im} (E_{0}e^{i\omega _{0}t})

Характеристический полином $P(s)=Ls^{2}+Rs+{\frac {1}{s}}$ , где $P(i\omega _{0})=i\omega _{0}R\neq 0$ . Следовательно, из ЭРФ частное решение можно получить следующим образом:

{\begin{aligned}I_{p}&=\operatorname {Im} \left({\frac {E_{0}e^{i\omega _{0}t}}{P(i\omega _{0})}}\right)\\&=\operatorname {Im} \left({\frac {E_{0}e^{i\omega _{0}t}}{i\omega _{0}R}}\right)\\&=\operatorname {Im} \left({\frac {-E_{0}(i\cos(\omega _{0}t)-\sin(\omega _{0}t))}{\omega _{0}R}}\right)\\[4pt]&={\frac {-E_{0}\cos(\omega _{0}t)}{\omega _{0}R}}\end{aligned}}

Комплексное усиление задержка фазовая и

Учитывая общую систему LTI

P(D)x=Q(D)f(t)

где $f(t)$ это вход и $P(D),Q(D)$ заданы полиномиальные операторы, предполагая, что $P(s)\neq 0$ . В случае, если $f(r)=F_{0}\cos(\omega t)$ , частным решением данного уравнения является

x_{p}(t)=\operatorname {Re} \left(F_{0}{\frac {Q(i\omega )}{P(i\omega )}}e^{i\omega t}\right).

Учитывая следующие концепции, используемые в основном в физике и обработке сигналов.

Амплитуда входного сигнала $F_{0}$ . Он имеет те же единицы измерения, что и входное количество.
Угловая частота входа $\omega$ . Он имеет единицы радианы/время. Часто ее называют частотой, хотя технически частота должна иметь единицы циклов/времени.
Амплитуда ответа $A=F_{0}|Q(i\omega )/P(i\omega )|$ . Он имеет те же единицы измерения, что и количество ответов.
Выигрыш $g(\omega )=|Q(i\omega )/P(i\omega )|$ . Коэффициент усиления — это коэффициент, на который умножается входная амплитуда, чтобы получить амплитуду отклика. В нем есть единицы, необходимые для преобразования входных единиц в выходные.
Фазовая задержка $\phi =-\operatorname {Arg} (Q(i\omega )/P(i\omega ))$ . Фазовая задержка измеряется в радианах, т.е. она безразмерна.
Временной лаг $\phi /\omega$ . Здесь есть единицы времени. Это время, когда пик выходного сигнала отстает от пика входного сигнала.
Комплексный выигрыш $Q(i\omega )/P(i\omega )$ . Это коэффициент, на который умножается комплексный входной сигнал, чтобы получить комплексный выходной результат.

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Миллер, Хейнс; Мэттук, Артур (июнь 2004 г.), Дифференциальные уравнения , том. IMSCP-MD5-9ca77abee86dc4bbaef9e2d6b157eaa9, стр. 50–56, hdl : 1721.1/34888
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Виркус, Стивен А.; Свифт, Рэндал Дж.; Шиповски, Райан С. (2016), Курс дифференциальных уравнений с краевыми задачами, второе издание , Учебники по математике (2-е изд.), Чепмен и Холл / CRC, стр. 230–238, ISBN 978-1498736053
^ Перейти обратно: ^а ^б Чарльз Л., Филлипс (2007), Сигналы, системы и преобразования , Прентис Холл, стр. 112–122, ISBN 978-0-13-198923-8
^ Перейти обратно: ^а ^б Коддингтон, граф А.; Карлсон, Роберт (1997), Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения (PDF) , стр. 3–80, ISBN 0-89871-388-9
^ Ральф П. Гримальди (2000). «Неоднородные рекуррентные соотношения». Раздел 3.3.3 Справочника по дискретной и комбинаторной математике . Кеннет Х. Розен, изд. ЦРК Пресс. ISBN 0-8493-0149-1 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Эдвардс, К. Генри; Пенни, Дэвид Э. (2008), ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ , Пирсон Прентис Холл, стр. 100–193, ISBN 978-0-13-239730-8

Внешние ссылки [ править ]

[MIT1-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Миллер, Хейнс; Мэттук, Артур (июнь 2004 г.), Дифференциальные уравнения , том. IMSCP-MD5-9ca77abee86dc4bbaef9e2d6b157eaa9, стр. 50–56, hdl : 1721.1/34888

[wirkus-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Виркус, Стивен А.; Свифт, Рэндал Дж.; Шиповски, Райан С. (2016), Курс дифференциальных уравнений с краевыми задачами, второе издание , Учебники по математике (2-е изд.), Чепмен и Холл / CRC, стр. 230–238, ISBN 978-1498736053

[signal-3] Перейти обратно: ^а ^б Чарльз Л., Филлипс (2007), Сигналы, системы и преобразования , Прентис Холл, стр. 112–122, ISBN 978-0-13-198923-8

[ode2-4] Перейти обратно: ^а ^б Коддингтон, граф А.; Карлсон, Роберт (1997), Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения (PDF) , стр. 3–80, ISBN 0-89871-388-9

[Grimaldi-5] Ральф П. Гримальди (2000). «Неоднородные рекуррентные соотношения». Раздел 3.3.3 Справочника по дискретной и комбинаторной математике . Кеннет Х. Розен, изд. ЦРК Пресс. ISBN 0-8493-0149-1 .

[ode1-6] Перейти обратно: ^а ^б Эдвардс, К. Генри; Пенни, Дэвид Э. (2008), ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ , Пирсон Прентис Холл, стр. 100–193, ISBN 978-0-13-239730-8

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]